广东省广州市执信中学2025届高三上学期10月第三次测试 数学试卷（含解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
考试时间120分钟，满分150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 下列四组函数中，表示同一个函数一组是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. 1B. -1C. D. 16
3. 若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知向量集合，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（ ）
A. 是增函数B. 是减函数
C. 可以取到最大值D. 可以取到最小值
6. 已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（ ）
A. 5B. C. 6D.
7. 设为等比数列，则“对于任意，”是“为递减数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 如图，B地在A地正东方向处，C地在B地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远．现要在曲线上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 函数的图象可能是（ ）
A B.
C. D.
10. 有一组样本数据，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据（ ）
A. 第25百分位数不变的概率是
B. 极差不变的概率是
C. 平均值变大的概率是
D. 方差变大的概率是
11. 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（ ）
A. 若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满
B. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
C. 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
D. 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的导函数为，且满足，则______.
13. 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，.若，则的值为____________.
14. 对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和（m是给定的正整数，且），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则_________；所有的和等于________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求AB边上的高．
16. 如图，在四棱锥中，与交于点，点在平面内的投影为点，若为正三角形，且，．

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆与轴正半轴的交点为点，且为等腰直角三角形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知斜率为的直线与椭圆相切于点，点在第二象限，过椭圆的右焦点作直线的垂线，垂足为点，若，求椭圆的方程．
18. 已知函数，，．
（1）若，求极值；
（2）当时，讨论零点个数；
（3）当时，，求实数的取值范围．
19. 将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
（1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
（2）计算以下数列的逆序数．
（ⅰ）；
（ⅱ）；
（3）已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序