广东省部分学校2025届高三上学期9月联合教学质量检测 数学试题（含解析）

这是一份广东省部分学校2025届高三上学期9月联合教学质量检测 数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了 选择题的作答， 非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
高三数学试卷
本试卷4页 满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知 ，则 （ ）
A．B．C．D．
3．已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（ ）(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)
A．众数约为10B．中位数约为6.5
C．平均数约为6.76D．该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.6
5．抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）
A．5B．9C．8D．10
6．已知数列an满足，对，，都有，为数列an的前n项乘积，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．​
B．​
C．​
D．​
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数，则（ ）
A．是最小正周期是
B．是的一个极值点
C．的最小值是
D．在上单调递减
10．在圆锥中，为高，为底面圆的直径，圆锥的底面半径为，母线长为，点为的中点，圆锥底面上点在以为直径的圆上（不含两点），点在上，且，当点运动时，则（ ）

A．三棱锥的外接球体积为定值
B．直线与直线不可能垂直
C．直线与平面所成的角可能为
D．
11．已知双曲线的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，为的右支上一点（异于点），的内切圆圆心为.则以下结论正确的是（ ）
A．直线与的斜率之积为4
B．若，则
C．以为直径的圆与圆相切
D．若，则点坐标为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知在的展开式中第5项为常数项，展开式中含有顶的系数为 .
13．已知函数，正数满足，则的最小值为 ．
14．正方体的棱长为，是侧面（包括边界）上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体积的最大值是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知数列中，，且，为数列的前n项和，，数列是等比数列，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
16．图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且．
(1)证明：平面平面ABC；
(2)点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值．
17．夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤）
(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
(3)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式.
18．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为A，B，点在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为1,0．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求证：．
19．已知函数.
(1)函数与的图像关于对称，求的解析式；
(2)在定义域内恒成立，求a的值；
(3)求证：，.
1．A
【分析】根据补集概念及其运算可得，再由交集运算可得答案.
【详解】由，可得,
又，可得.
故选：A
2．A
【分析】运用复数乘除法运算化简.
【详解】.
故选：A.
3．C
【分析】根据已知算出，根据投影向量的定义即可求解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，
所以在上的投影向量为.
故选：C.
4．D
【分析】根据频率分布直方图可依次计算众数，中位数，平均数可判断A，B，C；利用百分位数的定义求解判断D.
【详解】对于A，由图可知众数在内，所以众数是6，故A错误；
对于B，由图，中位数在内，所以，解得
，故B错误；
对于C，平均数为，故C错误；
对于D，由图，该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为，故D正确.
故选：D.
5．B
【分析】利用抛物线的焦点弦性质可得，利用基本不等式即可求得的最小值.
【详解】由抛物线焦点弦性质可得，则，
所以，令，，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为9.
故选：B.
6．A
【分析】依题意，先令，可得，再令，结合，可得，进而判断出数列an是以首项为，公比为的等比数列，最后结合等比数列的通项公式即可求值.
【详解】因为对，，都有，
所以令，有，则有，
令，有，
又因为，所以，
因为，
，且，
所以，即，
所以，
则，所以数列an是以首项为，公比为的等比数列，
所以
，
故选：A.
7．A
【分析】由条件结合零点的定义可得在上有三个根，结合正弦函数性质列不等式可求的取值范围.
【详解】令，
则，
当时，则，
因为函数在上有三个零点，
所以，
∴，
故选：A.
8．B
【分析】利用导数求值域，根据值域交集非空即可得解.
【详解】因为函数，
，在区间上是单调减函数，
所以，
又在区间上是单调增函数，
所以​，
由于​使得​，
所以​
当时，或​，
解得或​．
所以当时，
得．
故选：B．
【点睛】关键点睛：根据在于理解，使得的实质即是两个函数的值域交集非空，然后利用导数求出值域，根据集合关系求解即可.
9．AD
【分析】通过可判断A；求导得，根据极值点定义即可判断B；根据B中导函数，分析其单调性即可判断CD.
【详解】对A，假设是最小正周期是为，
则,
显然根据正弦的诱导公式知的最小正值为，则是最小正周期是，故A正确；
对B，
，
，且当时，f'x