广东省部分学校2025届高三上学期9月联合教学质量检测数学试题

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满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，可得,
又，可得.
故选：A
2．已知 ，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】.
故选：A.
3．已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，即，
又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，
所以在上的投影向量为.
故选：C.
4．某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（ ）(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)
A．众数约为10B．中位数约为6.5
C．平均数约为6.76D．该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.6
【答案】D
【详解】对于A，由图可知众数在内，所以众数是6，故A错误；
对于B，由图，中位数在内，所以，解得
，故B错误；
对于C，平均数为，故C错误；
对于D，由图，该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为，故D正确.
故选：D.
5．抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）
A．5B．9C．8D．10
【答案】B
【详解】由抛物线焦点弦性质可得，则，
所以，令，，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为9.
故选：B.
6．已知数列an满足，对，，都有，为数列an的前n项乘积，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为对，，都有，
所以令，有，则有，
令，有，
又因为，所以，
因为，
，且，
所以，即，
所以，
则，所以数列an是以首项为，公比为的等比数列，
所以
，
故选：A.
7．已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】令，
则，
当时，则，
因为函数在上有三个零点，
所以，
∴，
故选：A.
8．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．​
B．​
C．​
D．​
【答案】B
【详解】因为函数，
，在区间上是单调减函数，
所以，
又在区间上是单调增函数，
所以​，
由于​使得​，
所以​
当时，或​，
解得或​．
所以当时，
得．
故选：B．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数，则（ ）
A．是最小正周期是
B．是的一个极值点
C．的最小值是
D．在上单调递减
【答案】AD
【详解】对A，假设是最小正周期是为，
则,
显然根据正弦的诱导公式知的最小正值为，则是最小正周期是，故A正确；
对B，
，
，且当时，f'x<0，
当时，f'x<0，则在的左右两侧，导函数符号不变，故不是的一个极值点，故B错误；
对C，，
当时，f'x≥0，函数单调递增；
当，时，，函数单调递减；
所以，故C错误；
对D，由C项分析可知，令，则的一个单调减区间为，
则在上单调递减，故D正确；
故选：AD.
10．在圆锥中，为高，为底面圆的直径，圆锥的底面半径为，母线长为，点为的中点，圆锥底面上点在以为直径的圆上（不含两点），点在上，且，当点运动时，则（ ）

A．三棱锥的外接球体积为定值
B．直线与直线不可能垂直
C．直线与平面所成的角可能为
D．
【答案】AD
【详解】连接，
对于A，易知平面，平面，所以，
因为点在以为直径的圆上（不含、），
所以，，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，为的中点，，
所以，
所以点为三棱锥的外接球的球心，
所以三棱锥的外接球的半径为r=1，
所以三棱锥的外接球体积为定值，A正确；
由已知，，，，
所以，
所以为等腰直角三角形，连接，又为的中点，故，
又，，平面，平面，
则平面，又平面，所以，故B错误；
因为平面，又平面，所以，
又，，平面，平面，则平面，
所以在平面上的射影为，
所以为直线与平面所成的角，
设，则，又，
所以，
所以，
令，则，解得，
即，与矛盾，C错误；
对于D中，因为平面，平面，
所以，又，，
所以，
所以，，
由基本不等式可得，即，
所以，D正确.
故选：AD

11．已知双曲线的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，为的右支上一点（异于点），的内切圆圆心为.则以下结论正确的是（ ）
A．直线与的斜率之积为4
B．若，则
C．以为直径的圆与圆相切
D．若，则点坐标为
【答案】BC
【详解】设点,，,，,，
则且，两式相减得，，
，故A错误，
由于，，若，
由余弦定理可得，
解得，由于，故，故B正确，
在双曲线右支上，，
是线段的中点，，
是线段的中点，，
，，，
即圆心距等于两圆的半径之差，
以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确．
记，则，，，
解得或 （舍去），，
的面积为，
设三角的内切圆半径为，则，所以，
设圆与三边相切于，则
设则
故，解得，所以,故或,D错误，
故选：BC．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知在的展开式中第5项为常数项，展开式中含有顶的系数为 .
【答案】
【详解】的展开式中第5项为，
第5项为常数项，故，则，
所以的展开式中第项为：，
当时，，故第2项为：.
故答案为：
13．已知函数，正数满足，则的最小值为 ．
【答案】12
【详解】因为定义域为，又，
所以为奇函数，有，
又，所以，即，
又因为为正数，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：12．
14．正方体的棱长为，是侧面（包括边界）上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体积的最大值是 ．
【答案】
【详解】由已知平面，平面，
所以,
因为平面，平面，
所以，
所以，又，
所以，又的面积是面积的倍，
所以，
以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设点的坐标为，则，，
由已知，
所以，
所以，其中，，
所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的一段圆弧，
过点作，因为平面，
所以平面，即平面，
所以为三棱锥的高，
所以三棱锥的体积，
因为，，
所以， ，
所以当时，取最大值，最大值为，
所以当时，三棱锥体积取最大值，最大值为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知数列中，，且，为数列的前n项和，，数列是等比数列，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，；
(2)数列的前项和为.
【详解】（1）由已知当，时，，，
所以，
又，
所以，
所以，
所以数列为等差数列，公差为，
又，所以，
所以当，时，，
又，
所以，，
设等比数列的公比为，
因为，，
所以，，
所以，所以，
（2）由（1），
所以，
所以数列的前项和，
所以.
16.（本小题15分）
图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且．
(1)证明：平面平面ABC；
(2)点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）由于正方形ABCD的边长为，所以．
取AC的中点O，连接PO，BO，
由题意，得，再由，可得，即．
由题易知，又，面，所以平面ABC，
又平面PAC，所以平面平面ABC．
（2）由（1）可知，，又，
故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
所以，，，
由题意知，所以．
所以．
设平面MBC的法向量为，
则令，得；
设平面的法向量为，
，令，得；
则，
设，，则上式可化为，
即，所以（舍去），
所以，解得．
17.（本小题15分）
夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤）
(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
(3)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为；
（2）设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹，
根据题意得，，
所以．
（3）设表示第天选择绿豆汤，则，
根据题意得，，
由全概率公式得，，
即，整理得，，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，所以..
18.（本小题17分）
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为A，B，点在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为1,0．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，可得，解得，
故椭圆C的标准方程为：；
（2）
如图，当直线l的斜率时，可得，显然满足；
当时，不妨设直线，由消去，整理得，，
显然，设，则由韦达定理，故，
因,则，
则，
此式的分子为：，
故得，即，得证.
19.（本小题17分）
已知函数.
(1)函数与的图像关于对称，求的解析式；
(2)在定义域内恒成立，求a的值；
(3)求证：，.
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，
则其关于对称的点在图像上，
则，则，
故，；
（2）令，，
则在在恒成立，
又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，
，，
下证当时，在恒成立，
令，,
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
故，在上恒成立，又，
则时，恒成立，
综上，.
（3）由（2）可知：，
则，即，
则，
又由（2）可知：在上恒成立，
则在上恒成立且当且仅当时取等，
令，，则，
即，
则
，
综上，，即证