2025年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷（二）

这是一份2025年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷（二），共7页。试卷主要包含了 考生必须保持答题卡的整洁， 已知a=lg20， 已知z=, 则z的虚部为等内容，欢迎下载使用。


本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时90分钟.
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 用2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上. 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题 (本大题共12 小题，每个小题6分，满分72 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求))
1. 设全集U={0,1,2, 3|,cuA={2},则集合A的真子集的个数是( ).
A.3 B.4 C.7 D.8
2. 求 sin132°cs18°+sin42°cs108°的值( ).
A 12 B. 22 C. 32 D.A.
6/₂
3. 不等式lg12X−1>2的解集是( ).
A.(1, 54 ] B.(1, 54 ) C. (1, +∞) D. (1, 2)
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4.若x>0, 则 x+4x的最小值是( ).
A.4 B. 32 C.2 2 D.12
5. 若函数 fx=x2+1,x≤1lgx−1,x>1, 则f[f(11)]=( ).
A. lg101 B.2 C.1 D.0
6. 已知a=lg20.3, b=lg32, c=20.1, a, b, c的大小关系是( ).
A. b>c>a B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b
7. “-1≤x<1 ”是“lg₂ (x+1)<1”的( ).
A. 充分不必要条件 B. 充分且必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数f(x)=xᵃ 的图象过点(2, 12),则函数f (x) 在定义域上是( ).
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 减函数
9. 在△ABC中, AB=2,AC=3,AB⋅BC=1,则BC =( ).
A. 3 B. 7 C.2 2 D.2 3
10. 已知z=(2+3i)(4i-7)(i为虚数单位), 则z的虚部为( ).
A. -13 B.13 C. -26 D.26
2025 广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷(二) 第2 页 (共4页)11. 已知a，b，c是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( ).
A. 若a⊂α, b⊂β, 则a与b是异面直线
B. 若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线
C. 若a，b不同在平面α内，则a与b是异面直线
D. 若a，b不同在任何一个平面α内，则a与b是异面直线
12. 如图所示是一容量为100 的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[5, 15] 内的频数为( ).
A.20 B.30
C.50 D.70
二、填空题 (本大题共6小题，每小题6分，共36分)
13. 已知函数 fx=1x−2,则该函数的定义域为 .
14. 已知 sinα+π2=23,则cs2α= .
15. 已知 a=21,3a−2b=−41,则 a⋅b= .
16. 某射击运动员在五次射击中分别打出了10，x，10，7，9环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差为 .
17. 在三棱锥P-ABC中, PA⊥平面ABC, △ABC为直角三角形, 若AB⊥BC, AB=BC=1, PA=2, 则三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为 .
18. 某车企生产了A、B、C三款不同的汽车，三款车数量之比为1：2：3，现用分层抽样的方法抽取一个容量为18的样本，则样本中 B 款汽车的数量为 .
2025 广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷 (二) 第3 页 (共4页)三、解答题 (本大题共4小题, 第19, 20, 21小题各10分, 第22 小题12分, 共42分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
19. 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另外投入的成本为C(x)(单位: 万元) =13x2+10x,假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完.
(1) 写出年利润L (x) (万元) 关于年产量x (万件) 的函数关系式；
(2) 年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大? 最大利润是多少?
20. 在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知 a=2,c=3,csB=14.
(1) 求b的值;
(2) 求 sinC 的值.
21. 如图, 已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD 是直角梯形, AB//DC,∠ABC=π4,PA=AD=DC=1, AB=2, PA⊥平面ABCD.
(1) 求证: AB∥平面PCD;
(2) 求证: BC⊥平面PAC;
(3) 若M 是 PC 的中点, 求三棱锥 M-ACD 的体积.
22. 甲、乙两人经常一起进行羽毛球训练，数据显示，甲赢的概率是 34,没有平局的情况. 现有某场公开比赛，采取3局2胜制，先赢2局者获胜，比赛结束.
(1) 若没有进行第3局比赛，求乙获胜的概率；
(2) 若比赛直到第3 局完才知晓胜负，求甲获胜的概率.
2025 广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷 (二) 第4页 (共4页)2025 年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷 (二)
一、选择题
1.【答案】C.
【解析】 ∵CUA=2,∴A=013,则真子集个数是 2³−1=7.2.【答案】A.
【解析】 ∵sin132°=sin90°+42°=cs42°, cs108°=cs90°+18°=−sin18°,
∴原式= =cs42°cs18°+sin42°−sin18°
=cs42°cs18°−sin42°sin18°
= cs (42°+18°)
=cs60°
=12.
3.【答案】B.
【解析】由 lg12x−1>2=lg1214,可得0< x−1<14,所以 14.【答案】A.
【解析】根据基本不等式得 x+4x≥2x⋅4x=4，当且仅当x=2时取等号.
5.【答案】B.
【解析】∵f (11)=1, ∴f [f (11)]=f (1)= 1²+1=2.
6.【答案】C.
【解析】· :a=lg₂0.320=1,∴c>b>a,
7.【答案】C.
【解析】· ∴lg₂x+1<1=lg₂2,∴0∵ “-1≤x<1”是大范围, “-18.【答案】A.
【解析】 ∴fx=xᵃ的图象过点((2, 12). ∴2a=12,解得α=-1, ∴函数. fx=x⁻¹在定义域上是奇函数，在( -∞，0) 上是减函数。(0, +∞) 上是减函数, 故选 A.
9.【答案】A.
【解析】因为 AB⋅BC=2|BC|csπ−B= −2|BC|csB=1
csB=−12|BC|=4+|BC|2−94|BC|,求得 |BC|=3.
10.【答案】A.
【解析】z=(2+3i)(4i-7) = -26-13i, z的虚部为-13. 故选 A.
11.【答案】D.
【解析】A中, 若α与β相交, 则直线a 与b有可能平行、相交、异面； B中，a与c有可能异面, 平行, 相交; C中, 若a, b不同在平面α内，则a与b可能异面，或者相交，故选 D.
12.【答案】D.
【解析】即100×(5×0.04+5×0.1) =70.
二 、填空题
13.【答案】(2, +∞).
【解析】由题意可得 x−2>0,即 x-2>0,解得x>2, ∴定义域为 (2, +∞).
14.【答案】 −19.
【解析】 ∴sinα+π2=csα=23,∴cs2α= 2cs2α−1=2×49−1=−19.
15.【答案】11.
【解析】根据题意得 3a=63,∵3a−2b= ( -4, 1),
∴2b=3d-( -4, 1) = (6, 3) -( -4, 1)
= (10, 2),则 b=51,
∴a·b= (2, 1)·(5, 1)=11.
16.【答案】 65
【解析】五次射击中分别打出了 10, x, 10,7, 9环,
∴这组数据的平均数为 15×(10+x+10+7+9)=9, 解得x=9;
∴ 这 组 数 据 的 方 差 是 s2=15× 2×10−9²+7−9²+2×9−9²= 65.
17.【答案】6π.
【解析】由于三棱锥 P-ABC 中, PA⊥平面 答案ABC, AB⊥BC, AB=BC=1, PA =2, 故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：
则体对角线PC即为外接球的直径，
.2R=|PC|=PA2+AB2+BC2
=22+12+12=6,
故三棱锥 P-ABC的外接球表面积为 S=4πR²=6π.
18.【答案】6.
【解析】由题意可设样本中 B 款汽车的数量为x, 则 21+2+3=x18,解得x=6.
三、解答题
19.【解析】(1) 由题意可得
L (x)=50x-250-C (x)=50x-250- 13x² −10x=−13x2+40x−250.
(2) 由 (1) 得
Lx=−13x2+40x−250=
−13(x2120x+3600)+1200−250=
−13x−602+950,∴当x=60时，所获利润最大，最大利润为950 万元.
20.【解析】 (1) 由余弦定理可得 b²=a²+c²− 2accsB=22+32−2×2×3×14=10,
∴b=10.
(2) 方法1：由余弦定理得 csC=a2+b2−c22ab =4+10−92×2×10=108,因为C 是△ABC 的内角,
sinC=1−cs2C=368.
方法 2:csB=14,且 B 是△ABC的内角, sinB=1−cs2B=154,由正弦定理 bsinB sinC=csinBb=3×15410=368. =csinC可得
21.【解析】(1) :AB∥CD, 又∵CD⊂平面PCD,AB⊄平面PCD,∴AB∥平面PCD.
(2) 在 Rt△DAC 中, ∵ AD = DC =1, ∴AC = AD2+DC2=2,取AB的中点 E, 连接EC, ∴AE=12AB=1,∵ABDC,底面 ABCD 是直角梯形, ∴ CE⊥AB, AD∥CE 且 AD = CE,在Rt△CEB中, BC=CE2+BE2=2,
∵AC2+BC2=22+22=4=AB2故△ABC是直角三角形，
则BC⊥AC, ∵ PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BC,: PA⊂平面PAC, AC⊂平面PAC, 且PA∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC.
(3) 作 AC 中点 N, 连接 MN, 在△PAC 中,∵点M, N分别是PC, AC的中点,
∴MN=12PA且MN∥PA,
则 VM−ACD=12VP−ACD=12×13×12AD.
DC)×PA=16×12×1×1×1=112.
22.【解析】(1) (1) 由题意可得乙赢的概率是1 −34=14,则没有进行第3 局比赛，乙获胜的概率为 14×14=116.
(2) 若比赛直到第 3 局完才知晓胜负，则前两局比赛，甲赢一局输一局，∴甲获胜的概率为 34×14×34+14×34×34=932.