+浙江省宁波市奉化实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份+浙江省宁波市奉化实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是
A．B．C．D．
2．（3分）已知，下列式子不一定成立的是
A．B．C．D．
3．（3分）下列命题中，逆命题是真命题的是
A．两直线平行，内错角相等B．若，那么
C．对顶角相等D．若，那么
4．（3分）等腰三角形的底角等于，则这个等腰三角形顶角的度数是
A．B．C．D．
5．（3分）若不等式组的解集为，则的取值范围为
A．B．C．D．
6．（3分）如图，中，为中点，在上，且．若，，则的长度是
A．5B．5.5C．6D．6.5
7．（3分）如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为
A．1B．C．D．
8．（3分）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为
A．B．C．D．
10．（3分）将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为
A．B．C．D．7
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）请用不等式表示“的4倍与3的和不大于2”： ．
12．（4分）直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的中线长为 ．
13．（4分）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有 本．
14．（4分）如图，在中，的中垂线交于，的中垂线交于，若，则 ．
15．（4分）如图，点在中，，，，，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（4分）如图，在中，，点在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于，恰有．若，，则 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（1）解不等式：；
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（6分）如图，在的方格纸中，已知格点，请按要求画格点三角形（顶点均在小方格的顶点上）．
（1）在图1中画一个，使点在上，点在上；
（2）在图2中画一个等腰三角形，使点在上，点在上．
19．（6分）如图，在中，是边上的高．
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小．
20．（8分）如图，是等边三角形，点是边上一点，以为边向上作等边，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
22．（10分）某学校为改善办学条件，计划采购、两种型号的空调，已知采购3台型空调和2台型空调，共需费用21000元；4台型空调比5台型空调的费用多5000元．
（1）求型空调和型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购、两种型号空调共30台，且型空调的台数不少于型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
23．（10分）如图，已知在△中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为秒．
（1）出发2秒后，求的长．
（2）出发几秒钟后，恰好平分△的周长．
（3）当为何值时，△为等腰三角形？
24．（12分）在四边形中，和有公共顶点，且．
（1）如图1，是边上的一点．若．求证：．
（2）如图1，是边上的一点．若，连接、，交点为，求的度数．
（3）如图2，、、三点不在一条线上，且，满足，，求的面积．
2023-2024学年浙江省宁波市奉化实验中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项、、的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）已知，下列式子不一定成立的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的基本性质即可进行解答．
【解答】解：、不等式两边同时减去一个相同的数，不等号的方向不变，故成立，不符合题意；
、不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号的方向改变，故成立，不符合题意；
、，
，
；故成立，不符合题意；
、，，
，故不成立，符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（3分）下列命题中，逆命题是真命题的是
A．两直线平行，内错角相等B．若，那么
C．对顶角相等D．若，那么
【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，判断即可．
【解答】解：、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
、若，那么的逆命题是若，那么，是假命题，不符合题意；
、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
、若，那么的逆命题是若，那么，是假命题，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．（3分）等腰三角形的底角等于，则这个等腰三角形顶角的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可确定．
【解答】解：等腰三角形的底角等于，
，
等腰三角形的顶角为，
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．（3分）若不等式组的解集为，则的取值范围为
A．B．C．D．
【分析】先解不等式，然后根据解集为，可得结论．
【解答】解：，
不等式组的解集为，
．
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
6．（3分）如图，中，为中点，在上，且．若，，则的长度是
A．5B．5.5C．6D．6.5
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出长，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：，
，
，为中点，
，
，
由勾股定理得：，
故选：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线和勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
7．（3分）如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为
A．1B．C．D．
【分析】延长交于点，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解．
【解答】解：延长交于点，
在中，，，
，
平分，且，
，
，，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，三角形面积的计算，证明是解决问题的关键．
8．（3分）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．
【解答】解：由得，，
，
故原不等式组的解集为：，
不等式组的正整数解有4个，
其整数解应为：3、4、5、6，
的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查解一元一次不等式组的整数解，列出关于的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．
9．（3分）如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为
A．B．C．D．
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，则的最小值为的长，过点作于点，在△中，，，可求，在中，，所以的最小值为．
【解答】解：作点关于的对称点，连接交于点，
，
，
的最小值为的长，
过点作于点，
，，
，
，
，
，
在△中，，
，
，
，
，
，
在中，，
的最小值为，
故选：．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．
10．（3分）将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为
A．B．C．D．7
【分析】设为，为，为，图2中的余角为，根据题意和图形可得，设为，则，根据上式列出方程即可解答．
【解答】解：如图，设为，为，为，图2中的余角为，
为等腰三角形，，
，，
，
，
结合两图，可得，
设为，
根据勾股定理得，
，
解得：，
，
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，结合两图得到等量关系式是解题关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）请用不等式表示“的4倍与3的和不大于2”： ．
【分析】根据“的4倍与3的和不大于2”，可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
12．（4分）直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的中线长为 ．
【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形斜边的中线的性质解答．
【解答】解：由勾股定理得，斜边长为：，
则斜边上的中线长为：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
13．（4分）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有 26 本．
【分析】设共有名学生，根据每人分3本，那么余8本，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，可得出不等式，解出即可．
【解答】解：设共有名学生，则图书共有本，
由题意得：，
解得：，
为非负整数，
．
这些书共有：（本．
故答案为：26．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式组即可求解．
14．（4分）如图，在中，的中垂线交于，的中垂线交于，若，则 20 ．
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，，求出，代入求出即可．
【解答】解：，
，
的中垂线交于，的中垂线交于，
，，
，，
，
，
，
故答案为：20．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出和是解此题的关键．
15．（4分）如图，点在中，，，，，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
【解答】解：，，，
，
，
，
是直角三角形，，
阴影．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是求出的长．
16．（4分）如图，在中，，点在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于，恰有．若，，则 ．
【分析】延长，交于点，由等腰三角形的性质可得出，，，证明是等腰直角三角形，可求出，则根据三角形面积求出的值，即可得解．
【解答】解：延长，交于点，
，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
．
．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（1）解不等式：；
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1计算即可．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可．
【解答】解：（1）去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化1得：．
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为．
解集在数轴上表示如图所示．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式的解集是解答此题的关键．
18．（6分）如图，在的方格纸中，已知格点，请按要求画格点三角形（顶点均在小方格的顶点上）．
（1）在图1中画一个，使点在上，点在上；
（2）在图2中画一个等腰三角形，使点在上，点在上．
【分析】（1）根据直角三角形的定义画出图形；
（2）根据等腰三角形的定义画出图形．
【解答】解：（1）如图1中，即为所求；
（2）如图2中，即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图0应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（6分）如图，在中，是边上的高．
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小．
【分析】（1）三角形的面积知道了，高知道了，根据三角形的面积公式，求出底边长，再根据中线性质求出的长度．
（2）根据三角形内角和定理求出，再由角平分线性质求出的度数，三角形外角与内角的关系可求出的度数，在直角三角形中进而求出的大小．
【解答】解：（1），，
，
是边上的中线，
；
（2），，
，
是的平分线，
，
是的一个外角，
，
在直角三角形中．
【点评】本题考查了三角形面积、三角形内角和、外角和内角的关系，三角形中线、三角形角平分线、高，关键要掌握这些要素之间的关系进行相关的计算．
20．（8分）如图，是等边三角形，点是边上一点，以为边向上作等边，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【分析】（1）由和都是等边三角形，得，，，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）由，得，则．
【解答】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
．
（2）解：，，，
，
，
的长是2．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．
22．（10分）某学校为改善办学条件，计划采购、两种型号的空调，已知采购3台型空调和2台型空调，共需费用21000元；4台型空调比5台型空调的费用多5000元．
（1）求型空调和型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购、两种型号空调共30台，且型空调的台数不少于型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）根据“采购3台型空调和2台型空调，共需费用21000元；4台型空调比5台型空调的费用多5000元”可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题．
【解答】解：（1）设型空调每台需元，型空调每台需元．
由题意可列：，
解得．
答：型空调每台需5000元，型空调每台需3000元．
（2）设采购型空调台，则采购型空调．
由题意可列：，
解得：．
为正整数，
，11，12．
有三种采购方案：
方案一：采购10台型空调，20台型空调；
方案二：采购11台型空调，19台型空调；
方案三：采购12台型空调，18台型空调；
（3）设总费用为元，
，
当时，，
当时，，
当时，，
费用最低的方案是采购10台型空调，20台型空调；最低费用是110000元．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
23．（10分）如图，已知在△中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为秒．
（1）出发2秒后，求的长．
（2）出发几秒钟后，恰好平分△的周长．
（3）当为何值时，△为等腰三角形？
【分析】（1）根据题意求出，再根据勾股定理计算，得到答案；
（2）根据题意用表示出、，根据三角形的周长公式列出方程，解方程得到答案；
（3）分在上、时、在上、、在上，时、在上，时四种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）从点开始，按，且速度为2，
出发2秒后，，
由勾股定理得：；
（2）设秒后，恰好平分△的周长，
此时，，，
由题意可知，点不可能位于线段和上，点一定在线段上，
则，
解得：；
（3）①当在上、时，，
解得：；
②当在上、时，，
则，
解得：；
③当在上，时，
如图1，过点作交于，则，
，，
，
，
，
，
解得：；
④当在上，时，
如图2，过点作于，则，
，
，
解得：，
，
，
解得：，
综上可得：或6或6.5或5.4时，△为等腰三角形．
【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的概念和性质，掌握等腰三角形的概念、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
24．（12分）在四边形中，和有公共顶点，且．
（1）如图1，是边上的一点．若．求证：．
（2）如图1，是边上的一点．若，连接、，交点为，求的度数．
（3）如图2，、、三点不在一条线上，且，满足，，求的面积．
【分析】（1）可证明，进而得出结论；
（2）可计算得出，，，从而，进而求得结果；
（3）作，交的延长线于，作，交的延长线于，可证明，从而，，在中得出，即，同理可得，，两式相加可得出，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：，
，
，
，，
，
；
（2）解：如图1，
，
，，，
，
，
同理可得：，
，
；
（3）解：如图2，
作，交的延长线于，作，交的延长线于，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
①，
同理可得，
，
，
②，
①②得，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/29 2:05:10；用户：佩服还小飞飞；邮箱：rFmNt06nLZ6sDiSU3_grzcMSxM@；学号：26025303