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数学选修2（理科）第一章 概率与统计正态分布习题
展开这是一份数学选修2（理科）第一章 概率与统计正态分布习题，共7页。试卷主要包含了基础达标，能力提升，创新拓展等内容，欢迎下载使用。
1.设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝eq \f(1,\r(8π))e－eq \f(（x－10）2,8)，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A.10与8 B.10与2
C.8与10 D.2与10
2.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)等于( )
3.某厂生产的零件外径X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为( )
A.上午生产情况正常，下午生产情况异常
B.上午生产情况异常，下午生产情况正常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常
4.(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有( )
A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交
B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升
C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中
D.曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点
5.已知随机变量X服从正态分布N(100，4)，若P(m≤X≤104)＝0.135 9，则m等于( )
A.100 B.101
C.102 D.103
6.设随机变量X～N(3，1)，若P(X>4)＝p，则P(2
8.已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示，若P(X
(1)求X在区间(0，4)内取值的概率；
(2)试求P(X>4).
10.已知公司职工年均收入X服从正态分布，其正态密度曲线如图所示.
(1)写出该公司职工年均收入的正态密度函数的解析式；
(2)求该公司职工年均收入在80 000～85 000元之间的人数所占的百分比.
二、能力提升
11.(多选)设X～N(μ1，σeq \\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq \\al(2,2))，这两个正态密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)>P(X≤σ1)
C.对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)D.对任意正数t，P(X≥t)>P(Y≥t)
12.已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝eq \f(1,\r(2π))·e－eq \f(（x－1）2,2)，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为________，X落在区间(2，3]内的概率为________.
13.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长但不拥挤，到达时间X服从N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？
三、创新拓展
14.(多选)下列说法中正确的是( )
A.设随机变量X服从二项分布Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)＝eq \f(5,16)
B.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4
C.已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(|X|＜2)＝a，则P(X＞2)的值为eq \f(1＋a,2)
D.E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝2D(X)＋3
参考答案与解析
1.答案 B
解析 由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.
2.答案 C
解析 P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)
＝0.5－P(X>2)＝0.35.
3.答案 A
解析 因测量值X为随机变量，
又X～N(10，0.04)，
所以μ＝10，σ＝0.2，
记I＝[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.4，10.6]，
则9.9∈I，9.3∉I.
因此上午生产情况正常，下午生产情况异常.
4.答案 ABD
解析 只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散.
5.答案 C
解析 ∵随机变量X服从正态分布N(100，4)，
∴P(98≤X≤102)＝0.682 7，
P(96≤X≤104)＝0.954 5，
∴P(102≤X≤104)＝eq \f(1,2)(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，
又P(m≤X≤104)＝0.135 9，
∴m＝102.
6.答案 1－2p
解析 由X～N(3，1)，得μ＝3，σ＝1，
所以P(3
解析 由图可以看出P(550＜ξ＜600)＝P(400＜ξ＜450)＝0.3.
8.答案 0.36
解析 ∵随机变量X～N(2，σ2)，∴μ＝2，由正态分布图象的对称性，可得曲线关于直线x＝2对称，
∴P(X>4－a)＝P(X
＝1－P(X
＝1－2P(X
因为P(0
10.解 设该公司职工年均收入X～N(μ，σ2)，
由题图可知μ＝80 000，σ＝5 000.
(1)该公司职工年均收入的正态密度函数解析式为
f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))e－eq \f(（x－μ）2,2σ2)＝eq \f(1,5 000\r(2π))e－eq \f(（x－80 000）2,2×5 0002).
(2)因为P(75 000≤X≤85 000)
＝P(80 000－5 000≤X≤80 000＋5 000)
≈0.682 7，
所以P(80 000≤X≤85 000)＝eq \f(1,2)P(75 000≤X≤85 000)≈0.341 4.
即该公司职工年均收入在80 000～85 000元之间的人数所占的百分比约为34.14%.
二、能力提升
11.答案 BC
解析 由题图可知μ1<0<μ2，0<σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2)
当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，
P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，
∴P(X≥t)
解析 由正态分布的概率密度函数知μ＝1，σ＝1，所以总体分布密度曲线关于直线x＝1对称，且在x＝1处取得最大值.
根据正态分布密度曲线的特点可知1为f(x)的极大值点.
由X～N(1，1)，知
P(2
≈eq \f(1,2)×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
13.解 还有7分钟时：
若选第一条路线，即X～N(5，1)，能及时到达的概率
P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5
P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6
14.答案 AB
解析 ∵随机变量X服从二项分布Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,2)))，
则P(X＝3)＝Ceq \\al(3,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(5,16)，故A正确；
∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
∴正态曲线的对称轴是x＝2.
∵P(X＜4)＝0.9，
∴P(2＜X＜4)＝0.4，
∴P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.4，故B正确；
已知随机变量X～N(0，σ2)，
若P(|X|＜2)＝a，
则P(X＞2)＝eq \f(1,2)[1－P(|X|＜2)]＝eq \f(1－a,2)，故C错误；
E(2X＋3)＝2E(X)＋3；
D(2X＋3)＝4D(X)，
故D错误.故选A
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