云南省大理白族自治州祥云祥华中学2024−2025学年高二上学期9月一调考试 数学试题（含解析）

这是一份云南省大理白族自治州祥云祥华中学2024−2025学年高二上学期9月一调考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（ ）
A．5B．C．3或5D．或3
2．已知直线与垂直，则实数a的值是（ ）
A．0或3B．3C．0或D．
3．已知平行六面体的底面为矩形，，，，则（ ）
A．3B．C．D．
4．已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆，圆，则圆的位置关系为（ ）
A．内含B．外切C．相交D．外离
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
7．设是双曲线左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左.右焦点，若，则等于（ ）
A．2B．2或18C．18D．16
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点B．圆与轴相切
C．若与圆有交点，则的最大值为0D．若平分圆的周长，则
10．已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是圆，其半径为
B．若，，则是两条直线
C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为
11．已知椭圆的离心率为，上下焦点分别为，，M为椭圆上一点（不与椭圆的顶点重合），下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若为直角三角形，则
D．若，则的面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若从点引圆的切线，则切线长是 ．
13．已知圆和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是 ．
14．已知直线为经过坐标原点且不与坐标轴重合的直线，且与椭圆相交于两点，点为椭圆上异于的任意一点，若直线和的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值．
16．已知圆．
(1)求直线被圆截得弦长；
(2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．
17．已知M为圆上一个动点，垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为G.
(1)求点G的轨迹方程；
(2)记（1）中的轨迹为曲线C，直线与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程.
18．已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，直线与双曲线交于两点，求直线与直线的斜率之积．
19．已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据题意先求出c的值，根据椭圆方程的标准形式，求出m的值．
【详解】由题有，所以
当椭圆方程的交点在轴时，
且，解得；
当椭圆方程的交点在轴时，
且，解得；
的值为5或3.
故选C.
2．【答案】D
【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出 的值
【详解】直线与直线互相垂直，
，
即，
解得或不满足直线，舍去)
故选：D.
3．【答案】A
【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积计算即得.
【详解】由，得，，
而，则，又，
所以.
故选A.
4．【答案】B
【分析】联立直线与椭圆的方程，令判别式大于0求解即可.
【详解】将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去得①，
因为直线与椭圆有公共点，所以方程①有实数根，则，得.
故选：B．
5．【答案】C
【分析】将两个圆化为圆的一般方程，得其圆心与半径，再根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系即可.
【详解】圆，化为，圆心为，半径为；
圆，化为，圆心为，半径为．
则两圆心距离为，
因为，所以圆与圆相交．
故选：C．
6．【答案】B
【分析】根据渐近线方程可设双曲线，代入运算，即可得双曲线方程，进而可得实轴长.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，
可设双曲线，
代入可得：，
则双曲线，即，
可知，所以C的实轴长为.
故选：B.
7．【答案】C
【分析】本题目考察双曲线渐近线的方程以及双曲线的定义，由渐近线方程可以求出的值，且是双曲线左支上一点，根据定义可得，根据可求出，且只有一种情况
【详解】根据双曲线方程可得：，渐近线方程变形为，所以，可得：，，所以双曲线方程为，因为是双曲线左支上一点，根据双曲线的定义得：，且，所以
故选：C
8．【答案】A
【分析】不妨设，，则，由题意，结合椭圆定义可列关于的方程由此即可得解.
【详解】
椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，
不妨设，则，
点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，
所以，
又是的中点，
所以，
所以是正三角形，
所以，可得，
设，，
所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是想办法用含的式子表示出，从而即可顺利得解.
9．【答案】AB
【分析】选项A，将方程变形成，即可求解；选项B，将圆变形标准形式，即可求解；选项C，利用直线与圆的位置关系，即可求解；选项D，利用直线过圆心，即可求解.
【详解】对于选项A，直线的方程可化为，由，
解得，所以直线过定点，故选项A正确，
对于选项B，圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，故选项B正确，
对于选项C，当直线与圆有交点时，直线的斜率存在，不妨设直线方程为，即，
由，整理得到，得到，
又，所以，解得，故选项C错误，
对于选项D，若平分圆的周长，将圆心的坐标代入直线的方程，解得此时，故选项D错误，
故选：AB.
10．【答案】AB
【分析】根据选项条件分别化简曲线为圆锥曲线的标准方程，然后逐一分析，即可求解．
【详解】对于A，， ，则是圆，半径为，故A正确；
对于B，若，时，，则是两条直线，故B正确；
对于C，若时，，则，则为焦点在轴的椭圆，故C错误；
对于D，若时，则是双曲线，渐近线方程为，故D错误；
故选：AB．
11．【答案】AC
【分析】根据给定条件，求出判断AB；确定直角顶点计算判断C；利用定义求出并求出三角形面积判断D.
【详解】对于AB，椭圆半焦距，由离心率为，得，，A正确，B错误；
对于C，由知，以线段为直径的圆在椭圆内，即不可能是直角，
由为直角三角形，得或，由椭圆对称性不妨令，
直线，由，得，即，则，
所以，C正确；
对于D，由椭圆定义得，而，解得，
而，则是边长为2的正三角形，其面积为，D错误.
故选：AC
12．【答案】
【分析】由两点之间的距离公式可得，再根据勾股定理即可得解.
【详解】记圆，圆心为，半径，
则，
所以切线长为.
故答案为：3.
13．【答案】
【分析】根据题设，分析且与圆交于两点的临界情况，进而有在临界点之间移动过程中，即可求范围.
【详解】对于上任意一点，当均为圆的切线时最大，
由题意，，即，此时为满足题设条件的临界点，

如上图，若与重合，则，为圆的切线，此时，
综上，在临界点之间移动过程中，有，即，
解得，可得.
故答案为：
14．【答案】
【分析】首先设，，，根据得到，根据,在椭圆上，得到，再计算离心率即可.
【详解】由题知：设，，.
则，.
因为，所以.
又因为,在椭圆上，所以，，
两式相减得，即，
所以，即，
则.
故答案为：.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，进而得到，进而得到平面；
（2）由题易知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值，再用同角三角函数的基本关系计算正弦值；
【详解】（1）如图所示，连接．

因为，分别是棱，的中点，
所以，
因为，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
则．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为平面，
平面,
所以，
又因为，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题中数据可得，，
，．
设平面的法向量为，
则
令，得．
因为，,
所以平面
平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则．
故，
即平面与平面的夹角的正弦值为．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案；
（2）利用待定系数法和相切可求圆的方程.
【详解】（1）由可得，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得弦长为.
（2）设，
则，解得，；
因为圆与圆相切于原点，且圆过点，
所以，，
两边平方整理可得，平方可求，
代入可得，所以圆的方程为.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据为的重心，得，代入，化简即可求解.
（2）根据垂心的概念求得，设直线方程，与椭圆联立韦达定理，利用得，将韦达定理代入化简即可求解.
【详解】（1）设，则，因为的重心，
故有：，解得，代入，化简得，
又，故，所以的轨迹方程为.
（2）因为的垂心，故有，
又，所以，故设直线的方程为，
与联立消去得：，
由得，
设，则，
由，得，所以，
所以，
所以，化简得，
解得（舍去）或（满足），故直线的方程为.
18．【答案】(1)；
(2)．
【分析】(1)根据双曲线标准方程求法，列方程组解决即可；
(2)直线与曲线方程联立方程组，根据韦达定理，得，根据两点斜率公式即可求解.
【详解】(1)依题意知的方程经过点，
可知焦点在轴，且双曲线的实半轴，
故可设双曲线方程为，
因为经过点，代入解得，
故的方程为；
(2)

由(1)知曲线，联立直线与曲线方程，
有，则，于是，
设点，点，显然直线斜率存在，
则，
所以直线与直线斜率之积为．
19．【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得.
（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值.
【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得，
由三角形面积为，得，则，，
所以的方程是.
（2）（i）由（1）知，点，设直线的方程为，设，
由消去x得：，
则，
直线与的斜率分别为，，
于是
，整理得，解得或，
当时，直线过点，不符合题意，因此，
直线：恒过定点.
（ii）由（i）知，，
则，
因此的面积
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.

【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.