福建省三明第一中学2024−2025学年高二上学期8月月考 数学试题（含解析）

这是一份福建省三明第一中学2024−2025学年高二上学期8月月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（ ）

A．B．C．D．
2．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量
B．若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直
C．是任意一个平面的一个法向量
D．一个平面的法向量是不唯一的
4．如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ）
A．B．
C．D．
5．空间向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（ ）

A．1B．2C．4D．8
7．已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（ ）.
A．B．1C．D．
8．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ）

A．
B．当时，
C．若，，则
D．平行六面体的体积
二、多选题（本大题共3小题）
9．设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则，使得D．若，则
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若，则向量，的夹角是锐角
B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
11．在四面体中，已知，，则（ ）
A．直线AC与DB所成的角为
B．直线AD与平面ABC所成角的正弦值为
C．平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为
D．若E，F分别是AB，CD上的动点，则EF的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，且，则 ．
13．已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则z＝ .
14．正方体的棱长为分别为上的点，，分别为上的动点.若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
16．已知空间三点，，，设，．
(1)若与互相垂直，求实数的值；
(2)若，，求．
17．如图，在平行六面体中，，.

(1)求体对角线的长度；
(2)求证：四边形为正方形.
18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，.
（ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；
（ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．在空间直角坐标系O-xyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.
(1)证明：向量是平面的法向量；
(2)若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；
(3)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，，，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值.
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解.
【详解】由题意，长方体中，，，，
可得，
因为点为的中点，由中点公式可得，点的坐标为.
故选A.
2．【答案】A
【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可.
【详解】构成空间的一组基底，则均为非零向量，且不共线，
对于A：假设共面，则存在不全为零的实数，使，即，
因为均为非零向量，则，则，与不共线矛盾，故不共面；
对于B：，故共面；
对于C：，故共面；
对于D：，故共面.
故选.
3．【答案】C
【分析】由直线的方向向量的定义，平面的法向量的定义及性质即可判断.
【详解】对于A：根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量，故A正确；
对于B：由平面的法向量的定义可知，平面的法向量垂直于平面共面的所有向量，若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直，故B正确；
对于C：由平面的法向量的定义可知，法向量是非零向量，故C错误；
对于D：由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，故D正确.
故选C.
4．【答案】B
【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案.
【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，易得在上，则，
所以．
故选B．
5．【答案】C
【分析】根据投影向量公式计算即可.
【详解】，，
由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为.
故选C.
6．【答案】A
【分析】根据数量积的几何意义即可求解.
【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为，
由数量积的几何意义可知，.
故选A.
7．【答案】C
【分析】根据题意取，然后求出在方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果.
【详解】由题意取，则，
所以到的距离为
.
故选C.
8．【答案】C
【分析】对于A，根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；对于B，结合新定义和数量积公式，即可判断；对于C，根据条件求，即可判断；对于D，根据新定义和数量积的几何意义，即可判断.
【详解】对于A：，而，故，故A正确；
对于B：，当时，有意义，则，故B正确；
对于C：因为，，所以，，所以，故C错误；
对于D：的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，
就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，故D正确．
故选C.
9．【答案】ACD
【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可得直线的方向向量及法向量间的关系.
【详解】对于A：若，则，所以，故A正确；
对于B：若，则，故B错误；
对于C：若，则，
所以，使得，故C正确；
对于D：若，则，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】BC
【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；根据异面直线的平行线即可判断D.
【详解】对于A：若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故 A错误；
对于B：根据空间向量共面定理知，空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确.
对于C：因为，且，所以四点共面,故C正确.
对于D：分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.
故选BC.
11．【答案】BCD
【分析】由题意，把四面体放置在一个长方体中，设长方体的棱长分别为，求得，以为坐标原点，结合向量的坐标运算，以及向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，把四面体放置在一个长方体中，如图所示，
设长方体的棱长分别为，可得，解得，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
对于A：直线与为异面直线，设直线与所成的角为，
则，故A错误；
对于B：由，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成的角为，
可得，故B正确；
对于C：由，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设平面和平面所成的角为，
可得，故C正确；
对于D：取的中点，分别连接，
因为，可得和，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
所以线段为异面直线和的公垂线段，即和上两动点的最短距离，
又由，，所以，即和上两动点的最短距离为，
故D正确.
故选BCD.
12．【答案】2
【分析】根据空间向量垂直的坐标关系即可求解.
【详解】因为，所以，解得.
13．【答案】
【分析】利用空间位置的向量关系即可求解.
【详解】平面的法向量为，依题意，，则，
所以，所以.
14．【答案】
【分析】建立适当的空间直角坐标，求出平面的法向量，根据平面，可得,进而求出的坐标，再根据外接球球心O在过的外心且垂直平面ABP的垂线MN上，结合球心到球面上任何一点的距离都相等，即可求出半径以及球的表面积.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则
,
设平面的法向量为，，
则，令，解得，所以，
又平面，所以,所以，
解得，
再根据下图：作的平行线,分别为的中点，连接,
因为为直角三角形，故的外接球球心在过的外心且垂直平面的垂线上，
连接GO,根据球心到球面上任何一点的距离都相等，
故,故,由题可设，,所以，
又,
所以,解得，所以，所以,
所以,
所以球的表面积为.
【关键点拨】解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）因为是的中点,所以，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；
（2）因为是的中点,所以，再根据空间向量的减法运算即可求出结果；
（3）因为，分别，的中点，所以，又是的中点，，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；
【详解】（1）因为是的中点，所以，
所以；
（2）因为是的中点,所以，
所以；
（3）因为，分别，的中点，所以，
又是的中点，所以，
所以.
16．【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案；
（2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案.
【详解】（1），
故，
，
因为互相垂直，所以，
解得或；
（2），
设，则且，
解得或，
故或.
17．【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求出.
（2）利用平行六面体的结构特征，结合已知及正方形的判定推理即得.
【详解】（1）在平行六面体中，，
由，，
得，
所以.
（2）在平行六面体中，，则四边形为平行四边形，
由，，得是等边三角形，即，则为菱形；
又，则，即，
所以四边形为正方形.
18．【答案】(1)证明见详解
(2)（i）；（ii）存在，
【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，从而得证；
（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面的距离公式法求解即可.
【详解】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：
∵M为棱PC的中点，
∴，∵，∴，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴，
又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．
（2）∵，∴，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，
∴平面ABCD，
又AD，平面ABCD，∴，，又，
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：则，
∵M为棱PC的中点，
∴.
（i），
设平面BDM的一个法向量为，
则，令，则，∴，
易得平面PDM的一个法向量为，
∴，
∴平面面夹角的余弦值为.
（ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，
设，
则，
由（2）知平面BDM的一个法向量为，，
∴点Q到平面BDM的距离是，
∴，∴．
19．【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】（1）由空间向量的垂直即可证明；
（2）设直线l的方向向量，由与两平面的法向量垂直列方程求解；
（3）写出三个平面的法向量，求得与交线的方向向量，进而可求解.
【详解】（1）取平面内的任意两点，，
则两式相减得，
即，所以，从而，
故是平面的法向量.
（2）记平面，的法向量为，，
设直线l的方向向量，
因为直线l为平面和平面的交线，所以，，
即，取，则，
所以直线l的单位方向向量为.
（3）设，
由平面经过点，，，
所以，解得，即，
所以记平面，，的法向量为，，，
与（2）同理，与确定的交线方向向量为，
所以，即，解得.
【关键点拨】结合已知概念求出相关法向量，即可解决问题.