陕西省西安工业大学附属中学2024-2025学年高一上学期期初考试 数学试卷（含解析）

这是一份陕西省西安工业大学附属中学2024-2025学年高一上学期期初考试 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为( )
A.
B.
C.
D.
4.下列命题中，含有存在量词的是( )
A. 存在一个直角三角形三边长均为整数B. 所有偶函数图象关于y轴对称
C. 任何梯形都不是平行四边形D. 任意两个等边三角形都相似
5.已知函数，则( )
A. 是偶函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是增函数
C. 是偶函数，且在上是减函数D. 是奇函数，且在上是减函数
6.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
7.已知：在中，，，AD为BC边上的高，则下列结论中，正确的是( )
A. B. C. D.
8.若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中，正确的有( )
A. 集合的所有真子集为，
B. 若其中a，，则
C. 是菱形是平行四边形
D.
10.下列说法正确的有( )
A. “，使得”的否定是“，都有”
B. 若命题“，”为假命题，则实数m的取值范围是
C. 若a，b，，则“”的充要条件是“”
D. 已知，则的最小值为9
11.下面命题正确的是( )
A. 若x，且，则x，y至少有一个大于1
B. 命题“若，则”的 否 定 是“存在，则”
C. 设x，，则“且”是“”的必要而不充分条件
D. 设a，，则“”是“”的必要不充分条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若集合，则______.
13.设圆与圆的半径分别为3和2，，A，B为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB的长度______.
14.命题“”为真命题，则a的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
分解因式
；
分解因式
16.本小题15分
解方程
17.本小题15分
命题p：关于x的方程有两个不相等的正实根，命题q：，
若命题为真命题，求a的取值范围；
若q是p的充分条件，求m的取值范围.
18.本小题17分
设函数
若不等式的解集为，求a，b的值；
若，，，求的最小值．
19.本小题17分
已知N元正整数集合满足：，且对任意i，…，，，都有
若，写出所有满足条件的集合A；
若恰有N个正约数，求证：；
求证：对任意的i，…，，，都有
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由A中的函数，得到，
解得：，即；
由集合B中的函数，得到
则
故选：
求出A中函数的定义域确定出A，求出B中函数的值域确定出B，确定出两集合的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键，属于基础题．
由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关系，即可得到答案．
【解答】
解：函数的图象是开口向上，以直线为对称轴，
又函数在区间上是减函数，
，
解得
故选
3.【答案】D
【解析】解：在阴影部分区域内任取一个元素x，
则且，即且，
所以，阴影部分可表示为
故选：
在阴影部分区域内任取一个元素x，分析元素x与各集合的关系，即可得出合适的选项．
本题考查了集合的运算与应用问题，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据存在量词的定义可知，“存在”、“有一些”、“某些”等等，这些叫做存在量词．
故选：
根据存在量词的含义判断即可．
本题主要考查了存在量词的判断，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：函数的定义域为，关于原点对称，
，可得为奇函数；
当时，递增，递增，可得在递增，
故选：
由函数奇偶性的定义可得为奇函数；再由函数单调性的性质可得在内的单调性．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为，；
所以，又；
所以
故选：
根据集合的交集和补集的运算得到结果即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为中，，于D，
所以AD平分，结合，可得，
在中，，所以，可知B项符合题意．
故选：
根据题意，在中，，从而利用锐角三角函数的定义算出，可得答案．
本题主要考查等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义等知识，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】【试题解析】
解：是R上的奇函数，且在内是增函数，
在内也是增函数，
又，
当时，；
当时，；
或
解可得或
不等式的解集是
故选
把不等式转化为或的问题解决，根据是奇函数，且在内是增函数，又，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：集合真子集是，，共3个，所以A错误；
由，知，，则，则B正确；
菱形是特殊的平行四边形，所以C正确；
，所以，所以D错误．
故选：
根据集合间的关系判断各个选项．
本题考查集合的包含关系的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确；
对于B，若命题“，”为假命题，则无实根，
则，得，则实数m的取值范围是，故B正确；
对于C，若，则由不能推出，故“”不是“”的充要条件，故C错误；
对于D，，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9，故D正确．
故选：
对于A，根据特称命题的否定形式进行判断即可；
对于B，根据假命题相关知识求解即可；
对于C，根据充要条件相关知识判断即可；
对于D，根据基本不等式相关知识进行判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：A选项：该命题的否定为：若x，且，则x，y都不大于1，即，，则，所以该命题的否定为假命题，原命题为真命题，故A正确；
B选项：命题“若，则”的否定为“存在，则”，故B正确；
C选项：则，，则，，则成立，满足充分性，故C错；
D选项：当时，ab不一定不等于零，当时，a一定不等于零，所以“”时“”的必要不充分条件，故D正确．
故选：
根据命题的否定和充分条件必要条件判断即可．
本题考查命题的否定，以及充分必要条件的判断，属于基础题．
12.【答案】1
【解析】解：因为，可得，所以，
当时，，显然不成立；
所以，解得或舍去，
所以
故答案为：
根据题意，利集合相等和集合中元素的性质，求得，，进而得到答案．
本题考查了集合相等的定义，集合元素的互异性，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得直线为线段AB的中垂线，，
设到AB的距离为d，则到AB的距离为，
则，
解得，
故答案为：
由题意可得直线为线段AB的中垂线，由弦长公式可得AB的值．
本题考查弦长公式的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题，命题“”为真命题，即，
因为所以
所以，
当且仅当，即取得等号，
所以，所以，
故答案为：
由已知利用基本不等式求解即可．
本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
15.【答案】解：令，原式可化为，
故；

【解析】令，原式可化为，再因式分解即可；
原式转化为，再因式分解即可．
本题考查多项式的化简运算，属于基础题．
16.【答案】解：，
，
，
，解得或22，经验证不合题意，舍去，

【解析】把原方程变成，然后两边平方变成，再两边平方即可求出x的值，然后验证即可得出原方程的解．
本题考查了无理方程的解法，是基础题．
17.【答案】解：若命题p为真命题，则，解得
若命题为真命题，则实数a满足或，即a的取值范围是；
若q是p的充分条件，则，
可得，解得，即m的取值范围是
【解析】先由一元二次方程根的判别式与韦达定理，算出p为真命题时a的取值范围，进而可得为真命题时a的取值范围；
根据q是p的充分条件，可得是的子集，进而列式算出实数m的取值范围．
本题主要考查一元二次方程根的判别式与韦达定理、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
18.【答案】解：不等式的解集为，
，3是方程的两个根，
，解得，
，，，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为
【解析】由不等式的解集为，得到，3是方程的根，由根与系数的关系能求出a，b的值；
由，将所求变形为展开，利用基本不等式能求出其最小值．
本题考查二次函数的图象和性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：或或
根据题意可知，若，则，满足题意；
若，则，满足题意；
显然易知当时，，所以或；
当，时，又满足，所以可得满足题意；
因此可得所有满足条件的集合A为或或
证明：由题分别令，，2，，，
可知，
即，，⋯，这个小于的数均为的正约数．
因为的正约数的个数恰为N个其中最大的是，最小的是，
而，
所以，可得
证明：由题可知，
且
所以 ，
将最后一个不等式整理得，即；
又，所以，所以
【解析】根据集合A中元素满足的条件可知，分类讨论检验是否满足，即可求出满足条件的集合A；
利用集合中元素的个数以及恰有N个正约数，再由各个元素的大小关系即可证明；
由元素性质可知，再利用整数大小以及不等式性质即可证明
本题考查集合的新定义，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．