福建省永定第一中学2025届高三上学期第一次质量检测数学试卷(含答案)

这是一份福建省永定第一中学2025届高三上学期第一次质量检测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，则( )
A.B.C.D.
2．函数（e为自然对数的底数）在的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
3．已知p：,那么命题p的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
4．已知，则( )
A.B.
C.D.
5．已知函数有最小值,则a的的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．某冷饮店有“桃喜芒芒”“草莓啵啵”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为( )
A.B.C.D.
7．如图，平行六面体的底面ABCD是矩形，，，且，则线段的长为( )
A.B.C.D.
8．已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知a,b,c为实数，且，则下列不等式正确的是( )
A.B.C.D.
10．连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为A事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为B事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为C事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为D事件，则下列叙述中不正确的是( )
A.C与D互斥B.C.A与C相互独立D.B与D不相互独立
11．已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是( )
A.B.为奇函数
C.是周期函数D.
三、填空题
12．已知函数，则的最小值为______.
13．设函数，若不等式恒成立，则a的取值范围是______.
14．已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数a的最大值为______.
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，平面平面ABCD，，点Q为PC的中点.
(1)求证：平面平面PAC；
(2)求二面角的余弦值.
16．已知函数.
(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；
(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
17．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度v和车流密度x满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度时造成堵塞，此时车流速度.
(1)若车流速度，求车流密度x的取值范围；
(2)定义隧道内的车流量为，求隧道内的车流量y的最大值，并指出当车流量最大时的车流密度x.
18．已知某次比赛的乒乓球团体赛采用五场三胜制，第一场为双打，后面的四场为单打.团体赛在比赛之前抽签确定主客队.主队三名选手的一单､二单､三单分别为选手A,B,C，客队三名选手的一单､二单､三单分别为选手X,Y,Z.比赛规则如下：第一场为双打（YZ对阵BC）､第二场为单打（X对阵A）､第三场为单打（Z对阵C）､第四场为单打（Y对阵A）､第五场为单打（X对阵B）.已知双打比赛中YZ获胜的概率是，单打比赛中X,Y,Z分别对阵A,B,C时，X,Y,Z获胜的概率如下表：
(1)求主､客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率；
(2)客队输掉双打比赛后，能否通过临时调整选手Y为三单､选手Z为二单使得客队团体赛获胜的概率增大？请说明理由.
19．已知曲线
(1)若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程；
(2)当时，求在上的值域；
(3)若，讨论的零点个数.
参考答案
1．答案：C
解析：由可得，
解得或，
故或，
又因为，故.故选：C
2．答案：B
解析：由题知的定义域为R，
又因为，
所以为偶函数，即图象关于y轴对称，排除A､C；又，排除D故选：B
3．答案：B
解析：解得.
对于选项A,,反之不能推出,所以是命题p的一个充分不必要条件,故A错误;
对于选项B,,反之不能推出,所以是命题p的一个必要不充分条件,故B正确;
对于选项C,不能推出,反之也不能推出,所以是命题p的一个既不充分也不必要条件,故C错误;
对于选项D,是命题p的充要条件,故D错误.
故选：B.
4．答案：B
解析：因为，
且，
所以故选：B
5．答案：C
解析：当时,,此时;
当时,.
①时,为常函数,此时在R上满足函数有最小值为-1,
②时,函数此时为单调的一次函数,要满足在R上有最小值,
需 解得,
综上,满足题意的实数a的取值范围为：,
故选：C.
6．答案：A
解析：解决该问题，可以将四位同学先分为2，2或3，1两堆，共有种分堆方法，再从4种饮品中选出2种，分配给两堆人，故共有种方法.
所以恰有两种饮品没人购买的概率为.故选：A
7．答案：B
解析：由，
可得，
因为底面为矩形，，
所以，
又
，
所以，
则.故选：B
8．答案：C
解析：如图所示，作出函数的图象，
方程恰有三个不同实数根，等价于上
述两个函数图象有三个交点，
易知，
显然与必有一个交点，
所以要满足题意需与有两个交点，
①先求与相切时k的值，
设切点为，
则，
令，
即单调递增，又，
所以，
当过点时，，
此时满足条件的
②再求与相切时k的值，
联立，
易知切点横坐标为，
显然时，，符合要求，
当过点时，，
此时满足条件的，
综上：
故选：C
9．答案：ACD
解析：因为，
所以，故A正确；
对于B，当时不成立，故B不正确；对于C，
因为，
所以，
所以，
即，故C正确；
，
所以D正确；故选：ACD
10．答案：ABC
解析：因为抛掷一次骰子，包含6个基本事件，
事件A表示结果向上的点数为1,2，所以；
事件B表示第二次抛掷结果向上的点数为，所以；
事件C表示结果向上的点数为，
，共18种情况，
而抛掷两次骰子共出现种情况，
所以；
事件D表示结果向上的点数为，
，共18种情况，
而抛掷两次骰子共出现种情况，所以；
对于A：由上述事件C与事件D表示的结果可知，，所以事件C与事件D互斥且对立，故A正确；
对于B：因为表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率，其中AD有共6种情况，所以，
所以，故B正确；
对于C：因为，
表示两次抛掷结果向上的点数之和为偶数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率，
其中AC有，共6种情况，
所以，所以A与C相互独立，故C正确；
对于D：因为而表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数的概率，
其中BD有，共6种情况，
所以，所以B与D相互独立，故D错误；
故选：ABC.
11．答案：ACD
解析：对于A，由对于任意都满足，
令，则，所以A正确；
对于B，令，可得，
即，所以函数关于点对称，所以B错误；
对于C，又由为偶函数知关于直线对称，即，
可得，则，所以，
所以函数的周期为，故C正确；
对于D，令，则，
可得，
所以，所以D正确.
故选：ACD
12．答案：
解析：函数，
可得：故：，且，
根据均值不等式：，
当且仅当取等号
的最小值为：
13．答案：
解析：函数的定义域为R，即函数是奇函数，
又函数是增函数，是减函数，
因此函数是R上的增函数，
不等式，
于是恒成立，
而，
当且仅当时取等号，则，
所以a的取值范围是.
故答案为：
14．答案：
解析：点到直线的距离为，
则，
因为点在的图象上，
所以，
所以，
令，
因为，
所以在上递增，
当时，，当时，，所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，
所以，
因为对任意的，都有恒成立，所以，
所以实数a的最大值为，
15．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)平面平面，
平面平面平面ABCD，
平面PAB，
又平面
又平面
平面BCP，
平面
在中，Q为PC的中点，
，
又平面PAC，
平面PAC，
又平面
平面平面PAC
(2)作于点H，易知平面ABCD，
在中，，
则，
.
如图以A点为原点，AD,AB所在直线为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
由(1)知平面PAC，
所以平面PAC的一个法向量为，
设平面PCD的一个法向量为，
则，
解得，
取，则，得，
，
由题可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)若不等式的解集为，
即1，2是关于x的方程的两个根，则，即，
则，由得，
即，得，解得或，
即不等式的解集为.
(2)不等式对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
令，
则，令，
解得，
当时，
当时时
故在上单调递增，在上单调递减，
又，故，
所以.
17．答案：(1)
(2)y的最大值为2600，此时车流密度为80.
解析：(1)由题意可知：当时，，
所以，解得：，
所以，
当时，，
解得：，所以；
当时，，
解得：，所以，
综上：车流速度，车流密度x的取值范围为.
(2)由题意可得：
当时，
，
由二次函数的性质可知：当时，y取最大值为1350；
当时，
（当且仅当，即时取等）
所以当时，y取最大值为2600，
综上可知：y的最大值为2600，此时车流密度为80.
18．答案：(1)
(2)能通过临时调整选手Y为三单､选手Z为二单使得客队团体赛获胜的概率增大，理由见解析
解析：(1)设“主､客队分出胜负时恰进行了3场比赛”事件为事件A，
则事件A包含“主队3场全胜”和“客队3场全胜”两类事件，
“主队3场全胜”的概率为，
“客队3场全胜”的概率为，
所以，
所以主､客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率为.
(2)能，理由如下：
设“剩余四场比赛未调整Y,Z出场顺序，客队获胜”为事件M，第二场单打（X对阵A）､第三场单打（Z对阵C）､第四场单打（Y对阵A）､第五场单打（X对阵B）的胜负情况分别为：胜胜胜､胜负胜胜､胜胜负胜､负胜胜胜；
则，
设“剩余四场比赛调整Y,Z出场顺序，客队获胜”为事件N，第二场单打（X对阵A）､第三场单打（Y对阵C）､第四场单打（Z对阵A）､第五场单打（X对阵B）的胜负情况分别为：胜胜胜､胜负胜胜､胜胜负胜､负胜胜胜；
则，
因为，
所以客队调整选手Y为三单､选手Z为二单获胜的概率更大.
19．答案：(1)
(2)
(3)2个；理由见解析
解析：(1)依题意得，，
此时，
，
则切线斜率为，
故切线方程：，
即；
(2)当时，，
则，
在上单调递减，
又，
故值域为.
(3)，
令得，
令得，
令得减区间为，增区间为，
.
当时
在上有且仅有一个零点.
当时，令
在上单调递增，
，
即
又
在上有一个零点，
又
令，
则
在上单调递减，
在上有一个零点.
综上所述，时，有一个零点，时，有2个零点.
选手
A
B
C
X
Y
Z