福建省三明市三元区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含答案)

这是一份福建省三明市三元区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数：-1，0， 2，-12，其中最小的是( )
A. -1B. 0C. 2D. -12
2.以下几何体的主视图是矩形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，利用工具测量角，则∠1的大小为( )
A. 30°
B. 60°
C. 40°
D. 50°
4.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. a<-2B. b<1C. a>bD. -a>b
5.县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1)( )
A. 0.905B. 0.90C. 0.9D. 0.8
6.下列运算正确的是( )
A. (m-1)2=m2-1B. (2m)3=6m3
C. m7÷m3=m4D. m2+m5=m7
7.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=30°，则∠ABO的度数为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
8.我国明代数学读本《算法统宗》一书有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托如果1托为5尺，那么索长和竿子长分别为多少尺？设索长为x尺，竿子长为y尺，可列方程组为( )
A. x-y=52x-y=5B. x-y=5y-x2=5C. x-y=5x-y2=5D. y-x=5x-y2=5
9.定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b=(a+b)(a-b)-1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3=(4+3)(4-3)-1=7-1=6.若x*k=x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为( )
A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
10.如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合).将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM.下列结论：①PB平分∠APG；②BP=EF；③PH=AP+HC；④MH=MF，其中正确结论的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：(12)-1=______．
12.菱形ABCD的周长为8，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，则OE的长是______．
13.若关于x的一元二次方程(a-1)x2+a2x-a=0有一个根是x=1，则a的值为 ．
14.在一个不透明的袋子中装有3张完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3.从中随机抽取两张，组成的两位数是3的倍数的概率为______．
15.如图所示，扇形AOB的圆心角是直角，半径为3 3，C为OA边上一点，将△BOC沿BC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D处，则阴影部分的面积为 ．
16.如图，在平面直角坐标系中，点B在函数y=3x的图象上，点A在函数y=kx图象上，若OA=2OB，∠AOB=90°，则k的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程组：x+y=53x-y=3．
18.(本小题8分)
解不等式组x-1≤2xx-1219.(本小题8分)
如图，已知CA=CD，CB=CE，AB=DE.求证：∠1=∠2．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(1-1x+2)÷x2-1x+2，其中x= 3+1．
21.(本小题8分)
如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE．
(1)求证：BE是⊙O的切线．
(2)若AC=4，CE=1，求tan∠BAD．
22.(本小题10分)
如图，三根同样的绳子AA1、BB1、CC1穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等．
(1)姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子BB1的概率为______；
(2)在互相看不见的条件下，姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率．
23.(本小题10分)
某综合与实践小组想要测量如图1所示的池塘A、B两个端点的距离，但没有足够长的测量工具，两个小组的同学想到了不同的测量方案．

(1)勤奋小组的同学根据平时学习到的知识，设计了如下的测量方案：
①先在池塘一侧的平地上取一个可以直接到达A、B两点的点C(可以测得AC、BC的距离)；
②连接AC并延长至点D，使______，连接BC并延长至点E，使______；
③连接DE并测量出它的长度，则______的长度就是A、B两个端点的距离；
④用直尺和圆规在图1中画出测量示意图(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)；
⑤成员任务分配与实地测量(略)．
请你帮勤奋小组的同学将测量方案补充完整，并说明此测量方案合理的理由．
(2)创新小组的同学受到启发，经过组内成员的探究，画出如图2所示的示意图，并得到了如下的测量方案：
①派一名同学戴一顶太阳帽M，在点B处立正站好；
②调整太阳帽，使视线通过帽檐正好落在池塘对面的点A处；
③该同学旋转180°后保持方才的姿势，再次使视线通过帽檐，且将视线所落在平地上的位置记为点H；
④测得BH的长度就是A、B两个端点的距离．
试说明该测量方案可行的理由．
24.(本小题12分)
已知抛物线y=ax2+ax-1(a为常数，且a≠0)．
(1)请直接写出该抛物线的对称轴：直线______．
(2)若对于任意实数x，抛物线y=ax2+ax-1始终在x轴下方，求a的取值范围；
(3)若a=1，设抛物线y=ax2+ax-1的顶点为M.若直线l与抛物线相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与抛物线的对称轴相交于点E，且点E在点M的上方，过点A作直线y=-32的垂线，垂足为D.若点D、M、B三点共线，那么直线AB是否经过一个定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
25.(本小题14分)
问题提出如图(1)，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=α (α≥90°)，AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究(1)先将问题特殊化，如图(2)，当α=90°时，直接写出∠GCF的大小；
(2)再探究一般情形，如图(1)，求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展将图(1)特殊化，如图(3)，当α=120°时，若DGCG=12，求BECE的值．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.D
5.C
6.C
7.C
8.B
9.C
10.B
11.2
12.1
13.-1
14.13
15.27π4-9 3
16.-12
17.解：x+y=5 ①3x-y=3 ②
①+②得：4x=8，
解得：x=2，
把x=2代入①得：2+y=5，
解得：y=3，
所以原方程组的解为：x=2y=3．
18.解：由x-1≤2x得：x≥-1，
由x-12则不等式组的解集为-1≤x<3，
将解集表示在数轴上如下：
19.证明：在△ABC和△DEC中，
CA=CDCB=CEAB=DE，
∴△ABC≌△DEC(SSS)，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
∵∠1=∠ACB-∠ACE，∠2=∠DCE-∠ACE，
∴∠1=∠2．
20.解：原式=(x+2x+2-1x+2)×x+2(x-1)(x+1)
=x+1x+2×x+2(x-1)(x+1)
=1x-1，
当x= 3+1时，原式=1 3+1-1=1 3= 33．
21.(1)证明：如图，连接OB，

∵CB平分∠ACE．
∴∠ACB=∠ECB，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠BCE=∠CBO，
∴OB//ED．
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO．
∴BE是⊙O的切线；
(2)解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵BE⊥ED，
∴∠E=90°，
∴∠E=∠ABC，
∵∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴BCAC=CEBC，
∵AC=4，CE=1，
∴BC= AC⋅CE=2，
∴BE= BC2-CE2= 3，
∵∠BCD+∠BAD=∠BCD+∠BCE=180°，
∴∠BCE=∠BAD，
∴tan∠BAD=tan∠BCE=BECE= 3．
22.(1)13；
(2)列举得：ABA1B1，ABA1C1，ABB1C1，ACA1B1，ACA1C1，ACB1C1，BCA1B1，BCA1C1，BCB1C1；
∴共有9种等可能的结果，其中符合题意的有6种，
∴这三根绳子能连接成一根长绳的概率是：P=69=23．
23.(1)②CD=CA；CE=CB；
③DE；
④测量示意图如解图所示：
理由：在△DEC与△ABC中，
CD=CA∠DCE=∠ACBCE=CB，
∴△DEC≌△ABC(SAS)，
∴DE=AB；
(2)根据题意，得∠HMB=∠AMB，BM=BM，∠MBH=∠MBA，
∴△MBH≌MBA(ASA)，
∴BH=BA．
24.(1)x=-12；
(2)由题意得：a<0且Δ<0，
即Δ=a2+4a<0，
解得：-4(3)a=1时，抛物线的表达式为：y=x2+x-1，点M(-12,-54)，
设点A、B的横坐标反比为m，n，直线AB的表达式为：y=kx+b，
则点D(m,-32)，
联立抛物线和直线AB的表达式得：x2+x-1=kx+b，
则m+n=k-1，mn=-b-1，
由点B、M的坐标得，直线BM的表达式为：y=(n+12)(x+12)-54，
将点D的坐标代入上式得：-32=(n+12)(m+12)-54，
整理得：2mn+(m+n)=-12，
即k=2b+2，
则直线AB的表达式为：y=kx+b=b(2x+1)+2x，
当x=-12时，y=-1，
即直线AB过定点(-12,-1)．
25.解：问题探究(1)如图(2)中，在BA上截取BJ，使得BJ=BE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，BA=BC，
∵BJ=BE，
∴AJ=EC，
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠B，∠AEF=∠B=90°，
∴∠CEF=∠EAJ，
∵EA=EF，
∴△EAJ≌△FEC(SAS)，
∴∠AJE=∠ECF，
∵∠BJE=45°，
∴∠AJE=180°-45°=135°，
∴∠ECF=135°，
∴∠GCF=∠ECF-∠ECD=135°-90°=45°；
(2)结论：∠GCF=32α-90°；
理由：在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE．
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB=∠AEF+∠FEC+∠AEB=180°，
∠ABC=∠AEF，
∴∠EAN=∠FEC．
∵AE=EF，
∴△ANE≌△ECF(SAS)．
∴∠ANE=∠ECF．
∵AB=BC，
∴BN=BE．
∵∠EBN=α，
∴∠BNE=90°-12a，
∴∠GCF=∠ECF-∠BCD=∠ANE-∠BCD=(90°+12a)-(180°-a)=32a-90°；
问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．
DGCG=12，
∴DG=m，CG=2m．
在Rt△ADP中，∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠ADP=60°，
∴PD=32m，AP=32 3m，
∵α=120°，
由(2)知，∠GCF=32α-90°=90°，
∵∠AGP=∠FGC，
∴△APG∽△FCG．
∴APCF=PGCG，
∴3 3m2CF=5m22m，
∴CF=6 35m，
由(2)知，BE= 33CF=65m，
∴CE=95m．
∴BECE=23． 移植的棵数a
100
300
600
1000
7000
15000
成活的棵数b
84
279
505
847
6337
13581
成活的频率ba
0.84
0.93
0.842
0.847
0.905
0.905