高一数学上学期第一次月考填空题压轴题十五大题型专练-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

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题型1
集合中元素的个数问题
1．（2024高三·河北·学业考试）设集合A=1,2,3，B=4,5，M=xx=a+b,a∈A,b∈B，则M中的元素个数为 4 ．
【解题思路】求出所有a+b的值，根据集合元素的互异性可判断个数.
【解答过程】因为集合M中的元素x=a+b，a∈A，b∈B，所以当b=4时，a=1，2，3，此时x=5，6，7．当b=5时，a=1，2，3，此时x=6，7，8．
根据集合元素的互异性可知，x=5，6，7，8．即M=5,6,7,8，共有4个元素．
故答案为：4．
2．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合A=a+ba∈P,b∈Q，若P={0,2,5}，Q={1,2,6}，则A中元素的个数是 8 ．
【解题思路】直接根据定义求出集合中的元素即可.
【解答过程】因为定义集合A=a+ba∈P,b∈Q，
又0+1=1，0+2=2，0+6=6，2+1=3，2+2=4，2+6=8，5+1=6，5+2=7，5+6=11，
所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个.
故答案为：8．
3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合A=x1−a≤x≤1+a,a∈R中只有一个整数元素，则实数a的取值范围为 0,1 .
【解题思路】确定A≠∅得到a≥0，1∈A，得到1+a<21−a>0，解得答案.
【解答过程】集合A=x1−a≤x≤1+a,a∈R中只有一个整数元素，
则A≠∅，1−a≤1+a，即a≥0，此时1∈A，故1+a<21−a>0，解得a<1.
故a∈0,1.
故答案为：0,1.
4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合A=x|x2+ax+b=2,a,b∈R中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则4a+b= −2 .
【解题思路】先x2+ax+b=2得x2+ax+b=2或x2+ax+b=−2，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程x2+ax+b−2=0有两个根，方程x2+ax+b+2=0有一个根；求出b=14a2−2，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出a，得出b，即可得出结果.
【解答过程】由x2+ax+b=2得x2+ax+b=2或x2+ax+b=−2，
方程x2+ax+b−2=0的判别式为Δ1=a2−4b−2=a2−4b+8，
方程x2+ax+b+2=0的判别式为Δ2=a2−4b+2=a2−4b−8，
显然Δ1>Δ2，
又集合A=x|x2+ax+b=2,a,b∈R中有且只有3个元素，
所以方程x2+ax+b−2=0和x2+ax+b+2=0共三个根，
且只能方程x2+ax+b−2=0有两个根，方程x2+ax+b+2=0有一个根；
即a2−4b+8>0a2−4b−8=0，即b=14a2−2；
所以方程x2+ax+b−2=0可化为x2+ax+14a2−4=0，解得x=2−a2或x=−2−a2，
方程x2+ax+b+2=0可化为x2+ax+14a2=0，解得x=−a2，
则2−a2>−a2>−2−a2，
又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以2−a22=−a22+−2−a22−a2>02−a2>0−2−a2>0，
解得a=−16，
则b=14a2−2=62，因此4a+b=−2.
故答案为：−2.
题型2
根据元素与集合的关系求参数
5．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合A=x1【解题思路】根据题意得2∈A，可得到关于m的不等式1<2m−2<3，从而求解.
【解答过程】因为2∈A，集合A=x1即等价于2m−2>12m−2<3，解之得：32故实数m的范围是：32,52.
故答案为：32,52.
6．（2023高三·全国·专题练习）设集合A=2,3,a2−3a,a+2a+7，B={|a−2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为 {4} .
【解题思路】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果.
【解答过程】因为4∈A，即4∈2,3,a2−3a,a+2a+7，
所以a2−3a=4或a+2a+7=4，
若a2−3a=4，则a=−1或a=4；
若a+2a+7=4，即a2+3a+2=0，则a=−1或a=−2.
由a2−3a与a+2a+7互异，得a≠−1，
故a=−2或a=4，
又4∉B，即4∉{|a−2|,3}，所以|a−2|≠4，解得a≠−2且a≠6，
综上所述，a的取值集合为{4}.
故答案为：{4}.
7．（23-24高一上·河南南阳·期中）已知集合A=1,2,3，B=1,m,n，若2−m∈A，n+2∈A，则m+n= −1 .
【解题思路】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到m=0n=−1或m=−1n=0，即可得到答案.
【解答过程】解：因为2−m∈A，所以2−m=1或2−m=2或2−m=3，
解得m=1或m=0或m=−1，
因为n+2∈A，所以n+2=1或n+2=2或n+2=3，
解得n=−1或n=0或n=1，
又因为B={1,m,n}，所以m=0n=−1或m=−1n=0，即m+n=−1.
故答案为：−1.
8．（2024高一·全国·专题练习）已知t∈R，集合A=t,t+1∪t+4,t+9，0∉A，若存在正数λ，对任意a∈A，都有λa∈A，则t的所有可能的取值组成的集合为 1,−3 ．
【解题思路】根据t所处的不同范围，得到a∈t,t+1和a∈t+4,t+9时，λa所处的范围；再利用集合A的上下限，得到λ与t的等量关系，从而构造出方程，求得t的值.
【解答过程】因为0∉A，则只需考虑下列三种情况：
①当t>0时，因为a∈t,t+1∪t+4,t+9，则1a∈1t+9,1t+4∪1t+1,1t，
且λ>0，可得λa∈λt+9,λt+4∪λt+1,λt，
又因为λa∈A，则λt+9≥tλt+4≤t+1且λt+1≥t+4λt≤t+9，
可得：tt+9≤λ≤tt+9t+1t+4≤λ≤t+1t+4，
则λ=tt+9=t+1t+4，解得t=1；
②当t+9<0即t<−9时，与①构造方程相同，即t=1，不合题意，舍去；
③当t+1<0t+4>0，即−4可得λ=tt+1=t+4t+9，解得t=−3；
综上所述：t=1或−3.
故答案为：1,−3.
题型3
根据集合间的关系求参数
9．（2024高一上·全国·专题练习）设集合A={−1,1}，集合B＝{x|x2−2ax+b=0}，若B≠∅且B⊆A，则实数ab= 0或−1或1 .
【解题思路】且B⊆{−1,1}，∴关于x的方程x2−2ax+b=0的根只能是−1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ=0.
【解答过程】∵B=x∣x2−2ax+b=0⊆A={−1,1}，且B≠∅，
∴B={−1}或B={1}或B={−1,1}．
当∴B={−1}时，
Δ=4a2−4b=0且1+2a+b=0，
解得a=−1,b=1.则ab=−1；
当B={1}时，
Δ=4a2−4b=0且1−2a+b=0，
解得a=b=1.则ab=1
当B={−1,1}时，
有(−1)+1=2a,(−1)×1=b，
解得a=0,b=−1.则ab=0；
所以ab=0或−1或1.
故答案为：0或−1或1.
10．（23-24高一上·上海·期中）已知集合A=x|x2+5x−6=0,B=x|x2+2(m+1)x+m2−3=0．若B⊆A，则实数m的取值范围是 −∞,−2 ．
【解题思路】由B⊆A，分集合B为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可.
【解答过程】因为A=x|x2+5x−6=0=−6,1
由于B⊆A
所以可以分为三种情况：
①当B为空集时，Δ=4m+12−4m2−3<0，解得m<−2；
②当B不为空集时，
当Δ=4m+12−4m2−3=0时，m=−2，
此时B=x|x2+2(m+1)x+m2−3=0=1，满足题意.
当Δ=4m+12−4m2−3>0时，m>−2，有韦达定理得
1−6=−2m+1−1×6=m2−3，此时m无解，
综上：故实数m的取值范围是−∞,−2.
故答案为：−∞,−2.
11．（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）设已知集合A=1,3,a,B=1,a2−a+1，且B⊆A，则a= −1或2 ．
【解题思路】分两种情况进行讨论，进行求解即可.
【解答过程】∵B⊆A,∴a2−a+1=3或a2−a+1=a.
①由a2−a+1=3，得a2−a−2=0，解得a=−1或a=2，
当a=−1时， A=1,3,−1,B=1,3，满足B⊆A，
当a=2时， A=1,3,2,B=1,3，满足B⊆A，
②由a2−a+1=a，得a2−2a+1=0，解得a=1，
当a=1时， A=1,3,1不满足集合元素的互异性，
综上，若B⊆A，则a=−1或a=2，
故答案为−1或2．
12．（2024高一上·江苏·专题练习）已知集合A={x∣−3≤x≤4},B={x∣2m−1【解题思路】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合建的包含关系得到不等式（组）求解.
【解答过程】解：分两种情况考虑：
①若B不为空集，可得：2m−1解得：m<2，
∵B⊆A,A=x|−3≤x≤4，
∴2m−1≥−3且m+1≤4，
解得：−1≤m≤3，所以−1≤m<2,
②若B为空集，符合题意，可得：2m−1≥m+1，
解得：m≥2.
综上，实数m的取值范围是m≥−1.
故答案为：−1,+∞.
题型4
交、并、补集的混合运算
13．（23-24高一·全国·课后作业）设集合A=x−4≤x<2，B=x−1≤x<3，C=xx≤0或x≥2，则A∩C∪B= x−4≤x<3 ．
【解题思路】先由题意求出A∩C，再和集合B求并集，即可得出结果.
【解答过程】因为A=x−4≤x<2，C=xx≤0或x≥2，
所以A∩C=x−4≤x≤0，又B=x−1≤x<3，
∴A∩C∪B=x−4≤x<3．
故答案为x−4≤x<3.
14．（23-24高一·全国·课后作业）已知全集为U，U={a|a∈N+,且a≤9}，且CUA∩B={1,9}，A∩B={2}，CUA∩CUB={4,6,8}，则集合A= {2,3,5,7} .
【解题思路】由题意可知U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，然后再作出Venn图，根据Venn图即可直观的求出集合A.
【解答过程】将已知条件中的集合U={a|a∈N+且a≤9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
CUA∩B={1,9}，A∩B={2}，CUA∩CUB={4,6,8}在Venn图中表示出来，如图所示.

由Venn图可以直观地得出A={2,3,5,7}.
故答案：{2,3,5,7}.
15．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合U=1,2,3,4,5,A=2,3,B=x∣x=2k,k∈Z，则B∩∁UA= 4 .
【解题思路】首先求∁UA，再求B∩∁UA的值.
【解答过程】∁UA=1,4,5，所以B∩∁UA=4.
故答案为：4.
16．（2024·江苏扬州·三模）已知全集U=−2,−1,0,1,2,3，集合A=−1,0,1，B=−1,1,2，则∁UA∩∁UB= −2,3 .
【解题思路】本题首先可以根据题意求出∁UA以及∁UB中所包含的元素，然后根据交集的相关性质即可得出结果.
【解答过程】因为全集U=−2,−1,0,1,2,3，A=−1,0,1，B=−1,1,2，
所以∁UA=−2,2,3，∁UB=−2,0,3，
所以∁UA∩∁UB=−2,3，
故答案为：−2,3.
题型5
集合混合运算中的求参问题
17．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合A=x|8【解题思路】当B=∅时，2a−1≤a，此时符合题意；当B≠∅时，2a−1>a，求出∁UB再与集合A进行交集运算，根运算的结果列不等式，解不等式即可求解.
【解答过程】当B=∅时，2a−1≤a，解得：a≤1，此时∁UB=U，
∁UB∩A=U∩A=x|8当B≠∅时，2a−1>a，解得a>1，
因为集合U=x|0所以∁UB=x|0因为∁UB∩A=x|8所以2a−1≤8，解得：a≤92，
所以B≠∅时，1综上所述：实数a的取值范围是−∞,92.
故答案为：−∞,92.
18．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知集合A=xa0，集合C=xx≥1，若(CRB)∪C∩A=∅，则实数a的取值范围是 a|a≤1 .
【解题思路】通过集合运算得出(CRB)∪C，对集合A进行分类讨论，A=∅时显然成立，A≠∅时无解.
【解答过程】∵B=yy>0=xx>0 ∴CRB=xx≤0
∴(CRB)∪C=xx≤0或x≥1
∵ (CRB)∪C∩A=∅
当a≥2a−1时，a≤1，A=∅满足题意.
当a<2a−1时，a>1时，a≥02a−1≤1解得a∈∅
综上所述，a≤1.
故答案为：a|a≤1.
19．（23-24高一上·江苏扬州·开学考试）已知全集U={xx=3n,1≤n≤5且n∈N}，A=x|x2−px+27=0,p∈N，B=x|x2−15x+q=0,q∈N，且A∪∁UB=3,9,12,15，则p+q的值为 66 ．
【解题思路】由题意，A、B的元素个数最多为2个，分别对集合元素个数（即Δ）分类讨论，即可结合集合的整数元素求得对应的整数解，即可确定非负数p、q
【解答过程】由题意，A、B的元素个数最多为2个.
U={3,6,9,12,15}，A∪∁UB=3,9,12,15，
对x2−px+27=0，Δ=p2−108，如有根可设为x1、x2 x1≤x2；
对x2−15x+q=0，Δ=225−4q，如有根可设为x3、x4 x3≤x4.
（1）当Δ=p2−108=0⇒p=63∉N，不符合；
（2）当Δ=p2−108<0⇒p<63，则A=∅，则∁UB=3,9,12,15，则B=6，故x3=6或x4=6且有x3+x4=15x3x4=qq∈N⇒x3=6x4=9q=54，即此时B=6,9与B=6矛盾，不符合；
（3）当Δ=p2−108>0⇒p>63，则x1x2=27x1+x2=pp∈Nx1、x2∈A∪∁UB⇒x1=3x2=9p=12，则A=3,9，则12,15⊆∁UB，
i.当Δ=225−4q=0⇒q=2254∉N，不符合；
ii.当Δ=225−4q<0⇒q>2254，B=∅，则A∪∁UB=3,6,9,12,15，不符合；
iii.当Δ=225−4q>0⇒q<2254，则B=x3,x4，则x3+x4=15x3x4=qq∈N12,15⊆∁UB⇒x3=6x4=9q=54，
综上，p=12, q=54, p+q=66.
故答案为：66.
20．（23-24高一上·北京·期中）已知A=xx+3x−1≤0，B=x2m+1【解题思路】根据集合的运算法则，把A∩CRB=A，转化为A∩B=ϕ，分类讨论，结合集合的运算，即可求解.
【解答过程】由题意，集合A=xx+3x−1≤0=x|−3≤x<1，B=x2m+1因为A∩CRB=A，可得A⊆CRB，即A∩B=ϕ，
当B=ϕ时，可得2m+1≥7−m，解得m≥2；
当B≠ϕ时，则满足2m+1<7−m1≤2m+1或2m+1<7−m7−m≤−3，解得0≤m≤2或ϕ，
综上可得，实数m的取值范围是[0,+∞).
故答案为：[0,+∞).
题型6
集合的新定义问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
21．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合U=1,2,3,4,5的两个非空子集A，B满足A∩B=∅，则称A,B为集合U的一组“互斥子集”，A,B与B,A视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 90 组．
【解题思路】由题意，任意一个元素只能在集合A,B,C=∁UA∪B之一中，求出这5个元素在集合A,B,C中的个数，再求出A,B分别为空集的种数，从而即可得解．
【解答过程】任意一个元素只能在集合A,B,C=∁UA∪B之一中，
则这5个元素在集合A,B,C中，共有35=243种；
其中A为空集的种数为25=32，B为空集的种数为25=32，
∴A,B均为非空子集的种数为35−25−25+1=243−32−32+1=180，
又A,B与B,A视为同一组互斥子集，
U共有互斥子集12×180=90种.
故答案为：90．
22．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设P为非空实数集满足：对任意给定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P，则称P为幸运集.
①集合P={−2,−1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}为幸运集；
③若集合P1、P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有0∈P；
其中正确结论的序号是 ②④ .
【解题思路】①取x=y=2判断；②设x=2k1∈P,y=2k2∈P判断；③举例P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}判断；④由x、y可以相同判断；
【解答过程】①当x=y=2，x+y=4∉P，所以集合P不是幸运集，故错误；
②设x=2k1∈P,y=2k2∈P，则x+y=2k1+k2∈A,x−y=2k1−k2∈A,xy=2k1⋅k2∈A，所以集合P是幸运集，故正确；
③如集合P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}为幸运集，但P1∪P2不为幸运集，如x=2,y=3时，x+y=5∉P1∪P2，故错误；
④因为集合P为幸运集，则x−y∈P，当x=y时，x−y=0，一定有0∈P，故正确；
故答案为：②④.
23．（23-24高三下·重庆·期中）已知集合M=x∈N1≤x≤12，集合A1,A2,A3满足：①每个集合都恰有4个元素；②A1∪A2∪A3=M.集合Aii=1,2,3中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xii=1,2,3，则X1+X2+X3的最大值与最小值的差为 12 ．
【解题思路】判断集合A1,A2,A3中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可.
【解答过程】因为A1,A2,A3满足:①每个集合都恰有4个元素；②A1∪A2∪A3=M，
所以A1,A2,A3一定各包含4个不同数值，
集合A1,A2,A3中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是12，11，9，
特征数的和X1+X2+X3最小，如：A1={1,10,11,12}，特征数为13；
A2={2,7,8,9}，特征数为11；A3={3,4,5,6}，特征数为9；
则X1+X2+X3最小，最小值为13+11+9=33；
当集合A1,A2,A3中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时，
特征数的和X1+X2+X3最大，如：A1={1,2,3,12}，特征数为13；
A2={4,5,6,11}，特征数为15；A3={7,8,9,10}，特征数为17；
则X1+X2+X3最大，最大值为13+15+17=45，
故X1+X2+X3的最大值与最小值的差为45−33=12.
故答案为：12.
24．（2024·湖北·二模）已知X为包含v个元素的集合（v∈N∗，v≥3）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称X,A组成一个v阶的Steiner三元系．若X,A为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为 7 ．
【解题思路】令X={a,b,c,d,e,f,g}，列举出所有三元子集，结合X,A组成v阶的Steiner三元系定义，确定A中元素个数.
【解答过程】由题设，令集合X={a,b,c,d,e,f,g}，共有7个元素，
所以X的三元子集，如下共有35个：
{a,b,c}、{a,b,d}、{a,b,e}、{a,b,f}、{a,b,g}、{a,c,d}、{a,c,e}、{a,c,f}、{a,c,g}、{a,d,e}、{a,d,f}、{a,d,g}、{a,e,f}、{a,e,g}、{a,f,g}、{b,c,d}、{b,c,e}、{b,c,f}、{b,c,g}、{b,d,e}、{b,d,f}、{b,d,g}、{b,e,f}、{b,e,g}、{b,f,g}、{c,d,e}、{c,d,f}、{c,d,g}、{c,e,f}、{c,e,g}、{c,f,g}、{d,e,f}、{d,e,g}、{d,f,g}、{e,f,g}，
因为A中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以A中元素满足要求的有：
{a,b,c}、{a,d,e}、{a,f,g}、{b,d,f}、{b,e,g}、{c,d,g}、{c,e,f}，共有7个；
{a,b,c}、{a,d,f}、{a,e,g}、{b,d,e}、{b,f,g}、{c,d,g}、{c,e,f}，共有7个；
{a,b,c}、{a,d,g}、{a,e,f}、{b,d,e}、{b,f,g}、{c,d,f}、{c,e,g}，共有7个；
{a,b,d}、{a,c,e}、{a,f,g}、{b,c,f}、{b,e,g}、{c,d,g}、{d,e,f}，共有7个；
{a,b,d}、{a,c,g}、{a,e,f}、{b,c,e}、{b,f,g}、{c,d,f}、{d,e,g}，共有7个；
{a,b,d}、{a,c,f}、{a,e,g}、{b,c,e}、{b,f,g}、{c,d,g}、{d,e,f}，共有7个；
{a,b,e}、{a,c,d}、{a,f,g}、{b,c,f}、{b,d,g}、{c,e,g}、{d,e,f}，共有7个；
{a,b,e}、{a,c,f}、{a,d,g}、{b,c,d}、{b,f,g}、{c,e,g}、{d,e,f}，共有7个；
{a,b,e}、{a,c,g}、{a,d,f}、{b,c,d}、{b,f,g}、{c,e,f}、{d,e,g}，共有7个；
{a,b,f}、{a,c,d}、{a,e,g}、{b,c,e}、{b,d,g}、{c,f,g}、{d,e,f}，共有7个；
{a,b,f}、{a,c,e}、{a,d,g}、{b,c,d}、{b,e,g}、{c,f,g}、{d,e,f}，共有7个；
{a,b,f}、{a,c,g}、{a,d,e}、{b,c,d}、{b,e,g}、{c,e,f}、{d,f,g}，共有7个；
{a,b,g}、{a,c,d}、{a,e,f}、{b,c,e}、{b,d,f}、{c,f,g}、{d,e,g}，共有7个；
{a,b,g}、{a,c,e}、{a,d,f}、{b,c,d}、{b,e,f}、{c,f,g}、{d,e,g}，共有7个；
{a,b,g}、{a,c,f}、{a,d,e}、{b,c,d}、{b,e,f}、{c,e,g}、{d,f,g}，共有7个；
共有15种满足要求的集合A，但都只有7个元素.
故答案为：7.
题型7
由充分条件、必要条件求参数
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
25．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“1【解题思路】由题意可得1【解答过程】由x−2m<1，得2m−1因为“1所以集合x1所以2m−1≤12m+1≥2（不同时取等号），解得12≤m≤1，
所以实数m的取值范围为12≤m≤1.
故答案为：12≤m≤1.
26．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知x表示不大于x的最大整数，A=y|y=x−[x]，B=y|0≤y≤m，若y∈A是y∈B的充分不必要条件，则m的取值范围是 1,+∞ .
【解题思路】先求出集合A，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解.
【解答过程】对于集合A=y|y=x−[x]，不失一般性我们不妨设k≤x此时由x的定义可知，有0≤y=x−x=x−k<1，
所以A=y|y=x−[x]=y|0≤y<1，
若y∈A是y∈B的充分不必要条件，则AB ，
所以m的取值范围是1,+∞.
故答案为：1,+∞.
27．（23-24高一上·福建·期中）已知命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根”，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1，则实数m的取值范围是 m>0 ．
【解题思路】先求得p为真命题时a的取值范围，再根据必要不充分条件求得m的取值范围.
【解答过程】若命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根”为真命题，
a=0时，2x+1=0,x=−12，符合题意；
当a<0时，Δ=4−4a>0，且x1+x2=−2a>0,x1x2=1a<0，
则此时方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根，符合题意；
当a>0时，由Δ=4−4a=0，解得a=1，
此时方程为x2+2x+1=x+12=0,x=−1符合题意；
由Δ=4−4a>0解得00，
则此时方程ax2+2x+1=0有两个负根，符合题意.
综上所述，p为真命题时，a的取值范围是−∞,1.
若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1，
则m+1>1,m>0.
故答案为：m>0.
28．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合A={x∈Z|点(x−1,x−a)不在第一、三象限}，集合B=t1≤t<3，若“y∈B”是“y∈A”的必要条件，则实数a的取值范围是 0【解题思路】由必要条件得A⊆B，进而有A可能为1，2，1,2，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可.
【解答过程】由“y∈B”是“y∈A”的必要条件，即A⊆B，
由A中元素为整数，故A只可能为1，2，1,2，
由点不在第一、三象限，得：x−1≥0x−a≤0或x−1≤0x−a≥0，即x≥1x≤a①或x≤1x≥a②，
当a<1时，①无解，由②得a≤x≤1，
此时A=x∈Za≤x≤1，故A=1，有0当a≥1时，由①②得1≤x≤a，
此时A=x∈Z1≤x≤a，因1∈A，只须3∉A，有1≤a<3；
综上：实数a的取值范围是x0故答案为：0题型8
全称量词与存在量词中的含参问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
29．（23-24高二下·江西南昌·期末）若“∃x∈1,3，使得x2−mx+4≥0成立”为假命题，则实数m的取值范围是 (5,+∞) ．
【解题思路】根据题意，转化为“∀x∈1,3，使得x2−mx+4<0成立”为真命题，结合二次函数的性质，即可求解.
【解答过程】由“∃x∈1,3，使得x2−mx+4≥0成立”为假命题，
可得“∀x∈1,3，使得x2−mx+4<0成立”为真命题，
设fx=x2−mx+4，则满足f1=5−m<0f3=13−3m<0，解得m>5，
即实数m的取值范围是(5,+∞).
故答案为：(5,+∞).
30．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）设命题p:∀x∈2,2，x+2x≥a，若¬p是假命题，则实数a的取值范围是 −∞,22 .
【解题思路】根据命题的否定与原命题的关系得出命题p是真命题，即可根据命题p得出a≤x+2xmin，x∈2,2，再根据基本不等式或对勾函数的性质得出x+2xmin在x∈2,2上的最小值，即可得出答案.
【解答过程】∵¬p是假命题，
∴p是真命题，
∵p:∀x∈2,2，x+2x≥a，
∴a≤x+2xmin，x∈2,2，
当x>0时，x+2x≥2x⋅2x=22，当且仅当x=2x时，即x=2时，等号成立，
∵x∈2,2，可取到x=2，
∴x+2xmin=22，
∴a≤22，
故答案为：−∞,22.
31．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知命题p:“∀x∈R，2kx2+kx−38<0恒成立”是真命题，则实数k的取值范围是 −3,0 .
【解题思路】分k=0与k≠0两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数k的不等式组，由此可解得实数k的取值范围.
【解答过程】已知命题p:“∀x∈R，2kx2+kx−38<0恒成立”是真命题.
当k=0时，则有−38<0恒成立，合乎题意；
当k≠0时，则有2k<0Δ=k2+3k<0，解得−3综上所述，实数k的取值范围是−3,0.
故答案为：−3,0.
32．（23-24高三上·山东济南·阶段练习）命题“∃x∈−1,2，2x2+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是 −8,0 .
【解题思路】由题意可得2x2+a=0在x∈−1,2有解，可得a=−2x2，只需求x∈−1,2时，y=−2x2的值域即为实数a的取值范围.
【解答过程】若命题“∃x∈−1,2，2x2+a=0”是真命题，
则2x2+a=0在x∈−1,2有解，
所以a=−2x2在x∈−1,2有解，
因为x∈−1,2，所以−2x2∈−8,0，
所以a∈−8,0，
故答案为：−8,0.
题型9
利用作差法、作商法比较大小
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
33．（23-24高一上·天津和平·阶段练习）若实数a，b，c满足b+c=3a2−4a+6，b−c=a2−4a+4，试确定a，b，c的大小关系是 b≥c>a .
【解题思路】由已知用a表示出b,c然后作差比较大小．
【解答过程】由b+c=3a2−4a+6b−c=a2−4a+4，得b=2a2−4a+5c=a2+1，
b−c=a2−4a+4=(a−2)2≥0，a=2时，b=c，a≠2时，b>c，
c−a=a2−a+1=a−122+34>0，所以c>a．
所以b≥c>a．
故答案为：b≥c>a．
34．（2024高一·上海·专题练习）P=a2+a+1,Q=1a2−a+1,(a∈R)，则P,Q的大小关系为 ≥ ．
【解题思路】用作商法比较P,Q的大小关系，化简即可得结果.
【解答过程】因为P=a2+a+1=a+122+34>0，a2−a+1=a−122+34>0 则Q>0
由PQ=a2+a+1a2−a+1=a2+12−a2=a4+a2+1≥1
所以P≥Q
故答案为：≥.
35．（2024高三·全国·专题练习）某生活用品价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买方式不同：甲每周买3斤该用品，乙每周买10元钱的该用品，则
乙 的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠).(填“甲”或“乙”)
【解题思路】根据题意，求得甲、乙购买该用品的平均单价，结合作差比较法，即可求解.
【解答过程】由题意得甲购买该用品的平均单价为3a+3b6=a+b2，
乙购买该用品的平均单价为2010a+10b=2aba+b，
因为a≠b，可得a+b2−2aba+b=(a−b)22(a+b)>0，所以a+b2>2aba+b，
即乙的购买方式更优惠.
故答案为：乙.
36．（24-25高一上·上海·课后作业）设a>b>0，m>0，n>0，则p=ba，q=ab，r=b+ma+m，s=a+nb+n的大小顺序是 p【解题思路】方法一：利用特殊值法，方法二：作差法，两两作差比较大小.
【解答过程】方法一：特殊值法 取a=4，b=2，m=3，n=1，
则p=12，q=2，r=57，s=53，则p方法二：作差法
因为a>b>0，m>0，n>0，所以b−a<0,a+m>0，
所以p−r=ba−b+ma+m=ab+bm−ab−ama(a+m)=b−amaa+m<0，
所以p因为a>b>0，m>0，n>0，
所以a+m>b+m>0，a+n>b+n>0，
所以b+ma+m<1，a+nb+n>1，所以r或r−s=b+ma+m−a+nb+n=b−ab+a+m+na+mb+n<0，所以rs−q=a+nb+n−ab=b−anbb+n<0，所以s所以p故答案为：p题型10
利用不等式的性质求取值范围
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
37．（2024高一上·全国·专题练习）已知1≤a+b≤4，−1≤a−b≤2，则4a−2b的取值范围为 −2,10 .
【解题思路】利用待定系数法可得4a−2b=a+b+3a−b，利用不等式的基本性质可求得4a−2b的取值范围.
【解答过程】解：设4a−2b=xa+b+ya−b=x+ya+x−yb，
所以x+y=4x−y=−2，解得x=1y=3，
因为1≤a+b≤4，−1≤a−b≤2，
则−3≤3a−b≤6，
因此，−2≤4a−2b≤10.
故答案为：−2,10.
38．（2024高三·全国·专题练习）已知π<α+β<4π3，−π<α−β<−π3，求2α−β的取值范围为 −π,π6 .
【解题思路】先利用待定系数法得到2α−β=12α+β+32α−β，再利用不等式的性质即可得解.
【解答过程】设2α−β=xα+β+yα−β=x+yα+x−yβ,x,y∈R，
则x+y=2x−y=−1，解得x=12y=32，
所以2α−β=12α+β+32α−β，
因为π<α+β<4π3，−π<α−β<−π3，
所以π2<12α+β<2π3，−3π2<32α−β<−π2，
所以−π<2α−β<π6．
则2α−β的取值范围为−π,π6．
故答案为：−π,π6.
39．（2024高一上·全国·专题练习）已知a【解题思路】由已知条件推导出c=−a+2b3，a<0，c>0，再分别由b【解答过程】因为a则c=−a+2b3，且6a0，
由b−1，即ba>−15，
又a因此ba的取值范围是−15故答案为：−1540．（23-24高三下·江西·开学考试）定义mina1,a2,⋯,an表示a1、a2、⋯、an中的最小值，maxa1,a2,⋯,an表示a1、a2、⋯、an中的最大值，设0【解题思路】设n−m=x，p−n=y，2−p=z，可知x>0，y>0，z>0，可得出n=2−y−zm=2−x−y−z，设M=maxx,y,z，分n≥3m、m+2n≤3两种情况讨论，结合不等式的基本性质可求得M的最小值.
【解答过程】设n−m=x，p−n=y，2−p=z，且00，y>0，z>0，
所以，n=2−y−zm=2−x−y−z，
若n≥3m，则2−y−z−≥32−x−y−z，故3x+2y+2z≥4，
设M=maxx,y,z，因此，3M≥3x2M≥2y2M≥2z，故7M≥3x+2y+2z≥4，即M≥47，
若m+2n≤3，则2−x−y−z+22−y−z≤3，即x+3y+3z≥3，
则M≥x3M≥3y3M≥3z，故7M≥x+3y+3z≥3，当且仅当x=3y=3z=37时，等号成立，
综上所述，minmaxn−m,p−n,2−p的最小值为37.
故答案为：37.
题型11
条件等式求最值
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
41．（2024高三·全国·专题练习）已知x>0，y>0，且xy+x−2y=4，则2x+y的最小值是 7 .
【解题思路】将式子变形为x=2+2y+1，即可利用不等式求解，或者将式子变形为x−2y+1=2，结合不等式即可求解．
【解答过程】方法一：因为xy+x−2y=4，故y+1x=4+2y，解得x=2y+2+2y+1=2+2y+1，
故2x+y=4+4y+1+(y+1)−1≥3+24y+1⋅(y+1)=7，
当且仅当4y+1=y+1 ，即y=1，x=3时等号成立．
方法二：因为xy+x−2y=4，则x−2y+1=2，且y+1>0，故x−2>0，
故2x+y=2(x−2)+(y+1)+3≥22(x−2)(y+1)+3=7，
当且仅当2x−2=y+1 ，即y=1，x=3时等号成立．
故答案为：7．
42．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若a>0，b>0，且4a−1b−1=4，则4a+b的最小值为 6 ．
【解题思路】由题意可得4ab−3=4a+b，利用基本不等式计算可得ab≥32，即4a+b≥4ab≥6，即可求解.
【解答过程】由a>0,b>0,(4a−1)(b−1)=4，
得4ab−4a−b+1=4，整理得4ab−3=4a+b≥4ab，
当且仅当b=4a=3时等号成立.
则4ab−4ab−3≥0，故(2ab+1)(2ab−3)≥0，
解得ab≥32或ab≤−12（舍去），
所以4a+b≥4ab≥6，当且仅当b=4a=3时取等号，
即4a+b的最小值为6.
故答案为：6.
43．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知正实数a,b,c满足b+c=1，则8ab2+abc+18a+1的最小值为 16 .
【解题思路】变形得到8ab2+abc+18a+1=a⋅(9bc+cb+2)+18a+1，利用两次基本不等式，求出最小值．
【解答过程】任意的正实数a，b，c，满足b+c=1，
所以8ab2+abc+18a+1=a⋅8b2+1bc+18a+1=a⋅8b2+(b+c)2bc+18a+1
=a⋅9b2+2bc+c2bc+18a+1=a⋅(9bc+cb+2)+18a+1，
由于b，c为正实数，
故由基本不等式得9bc+cb≥29bc⋅cb=6，
当且仅当9bc=cb，即b=14，c=34时，等号成立，
所以a⋅(9bc+cb+2)+18a+1
≥8a+18a+1=8(a+1)+18a+1−8
≥28(a+1)⋅18a+1−8=16，
当且仅当8(a+1)=18a+1，即a=12时，等号成立，
综上，8ab2+abc+18a+1的最小值为16．
故答案为：16．
44．（23-24高二下·山东德州·期末）已知a>0,b>0，且a+b=1，记1a+4ab的最小值为M，记a2+1ab的最小值为N，则M+N= 7+22 .
【解题思路】变形得到1a+4ab=1a+41−bb=1a+4b−4，利用基本不等式“1”的妙用得到1a+4b≥9，从而得到M=5，再变形得到a2+1ab=−1+a+1−a2+a，换元得到a+1−a2+a=1−t+2t+3，利用基本不等式求出t+2t≥22，从而得到N=2+22，计算出答案.
【解答过程】a>0,b>0，a+b=1，故1a+4ab=1a+41−bb=1a+4b−4，
其中1a+4b=1a+4b⋅a+b=1+4+ba+4ab≥5+2ba⋅4ab=9，
当且仅当ba=4ab，即a=13,b=23时，等号成立，
故1a+4ab=1a+4b−4≥5，即M=5，
a2+1ab=a2+1a1−a=a2+1−a2+a=−−a2+a+a+1−a2+a=−1+a+1−a2+a，
因为a>0,b>0，故b=1−a>0，所以0令a+1=t，则1故a+1−a2+a=t−t−12+t−1=t−t2+3t−2=1−t+2t+3，
其中t+2t≥2t⋅2t=22，当且仅当t=2t，t=2时，等号成立，
故a+1−a2+a=1−t+2t+3≥13−22=3+22，
故a2+1ab=−1+a+1−a2+a≥2+22，即N=2+22，
所以M+N=5+2+22=7+22.
故答案为：7+22.
题型12
基本不等式的恒成立、有解问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
45．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意x∈1,+∞，关于x的不等式x+4x−1−a>0恒成立，则实数a的取值范围是 −∞,5 .
【解题思路】由题意结合基本不等式求出即可.
【解答过程】由题意可得当x∈1,+∞时，x−1+4x−1>a−1恒成立，
因为x−1+4x−1≥2x−14x−1=4，当且仅当x−1=4x−1,x>1即x=3时取等号，
所以4>a−1⇒a<5，即实数a的取值范围是−∞,5，
故答案为：−∞,5.
46．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足x+y=6，若不等式a≤x2x+1+y2y+2恒成立，则实数a的取值范围是 −∞,4 ．
【解题思路】将x2x+1+y2y+2变形为x+1+1x+1−2+y+2+4y+2−4=3+1x+1+4y+2，利用均值不等式求1x+1+4y+2的最小值即可求解.
【解答过程】因为x+y=6，
所以t=x2x+1+y2y+2=x+12−2x+1+1x+1+y+22−4y+2+4y+2
=x+1+1x+1−2+y+2+4y+2−4=3+1x+1+4y+2，
所以t=3+1x+1+4y+2=3+x+1+y+291x+1+4y+2
=329+y+29x+1+4x+19y+2≥329+2y+29(x+1)×4(x+1)9(y+2)=4，等号成立当且仅当y=4,x=2，
所以x2x+1+y2y+2min=4，a≤4，
故实数a的取值范围是−∞,4.
故答案为：(−∞,4].
47．（23-24高三上·天津河西·阶段练习）已知正数x，y满足4x+9y=xy且x+y【解题思路】不等式x+y【解答过程】由已知得：4y+9x=1，
x+y=(x+y)(4y+9x)=4xy+9yx+13≥24xy×9yx+13=25，
当且仅当x=15,y=10时取等号；
由题意：x+ymin即m2−24m>25，
解得：m<−1或m>25，
故答案为：(−∞,−1)∪(25,+∞).
48．（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）已知x>0，y>0，且2y+x=xy，若x+2y≥m2+2m恒成立，则实数m的取值范围为 −4,2 .
【解题思路】依题意可得2x+1y=1，利用基本不等式求出x+2y的最小值，进而得到关于m的一元二次不等式，解得m的范围．
【解答过程】∵x>0，y>0，2y+x=xy，
∴ 2x+1y=1，
∴x+2y=x+2y2x+1y=4+4yx+xy≥4+24yx⋅xy=8，
当且仅当4yx=xy，即x=4，y=2时取等号，
即x+2y≥8（当且仅当x=4，y=2时取等号），
因为x+2y≥m2+2m恒成立，∴m2+2m≤8，解得−4≤m≤2，
即实数m的取值范围为−4,2.
故答案为：−4,2.
题型13
由一元二次不等式的解确定参数
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
49．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）若不等式−2【解题思路】由题可得y=x2+mx−m2对称轴在(n,2)之间，最小值大于−2，且x2+mx−m2=1的两个根为n,2，列出相应不等式，找到关于n,m的范围，再根据韦达定理解出n,m的值，计算m+n即可.
【解答过程】因为不等式−2而y=x2+mx−m2=x+12m2−54m2开口向上，所以有n≤−m2≤2，
且最小值大于−2，即−54m2>−2，解得m2<85，
且x2+mx−m2=1的两个根为n,2，
所以n+2=−m2n=−m2−1，解得m=3n=−5或m=−1n=−1，
当m=3n=−5时，不符合m2<85，故舍去，
所以m=−1n=−1，所以m+n=−2.
故答案为：−2.
50．（23-24高一上·上海长宁·期中）关于x的不等式3x+12【解题思路】根据不等式(−a+9)x2+6x+1<0的整数解恰有3个，先确定Δ=4a>0且有9−a>0得出0【解答过程】关于x的不等式3x+12此不等式整数解恰有3个，则有Δ=4a>0且有9−a>0，故有0令(−a+9)x2+6x+1=0即3x+12=ax2得，x1=−13−a ，x2=−13+a
故不等式(−a+9)x2+6x+1<0的解集为{x|−13−a因为0所以解集中一定恰有−1,−2,−3三个整数 ，可得−4≤−13−a<−3，解得649故答案为：64951．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于x的不等式ax2+bx>cx−2的解集为x1【解题思路】由题意首先得出a,b,c的关系，进一步结合a<0即可求解.
【解答过程】由已知，不等式ax2+b−cx+2c>0的解集为x1故a<0，且x1=1，x2=3为方程ax2+b−cx+2c=0的两根，
所以−b−ca=42ca=3，解得b=−52ac=32a，故不等式ax2+bx+c<0为ax2−52ax+32a<0，
即x2−52x+32>0，解得x<1或x>32.
故答案为：−∞,1∪32,+∞．
52．（23-24高一上·江苏常州·期中）若a>1，且不等式x2−a+4ax+4<0的解集中有且仅有四个整数，则a的取值范围是 (4,5] .
【解题思路】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果.
【解答过程】由x2−a+4ax+4<0，可得x−ax−4a<0，
由题意当1若满足解集中仅有四个整数，为2,3,4,5，则5<4a≤6，
此时23≤a<45，与1当a=2时，即a<4a，不等式的解集为∅，不符合题意；
当a>2，即a>2>4a时，不等式的解集为4a,a；
若满足解集中仅有四个整数，可能为2,3,4,5，或1,2,3,4，
当为2,3,4,5时，则5当整数解为1,2,3,4时，0<4a<1，且4解得4综上知，实数a的取值范围是4,5.
故答案为：4,5.
题型14
一元二次不等式恒成立问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
53．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的不等式x2−a+4x+2a+5≥0在−∞,2上恒成立，则a的最小值为 −2 .
【解题思路】分离常数后，不等式可化为a≥−x2+4x−52−x，变形后，利用基本不等式求出右边函数的最大值即可.
【解答过程】由不等式x2−a+4x+2a+5≥0在−∞,2上恒成立，
得2−xa≥−x2+4x−5在−∞,2上恒成立，所以2−x>0，
所以a≥−x2+4x−52−x=−x2−4x+4−12−x=−2−x2−12−x=−2−x−12−x在−∞,2上恒成立，
又2−x+12−x≥22−x⋅12−x=2，
所以−2−x+12−x≤−2，当且仅当2−x=12−x，即x=1时，等号成立.
所以a≥−2，故a的最小值为−2.
故答案为：−2.
54．（23-24高一上·云南临沧·期末）在R上定义运算⊗：x⊗y=xy+1,x>y,yx+1,y≥x.若不等式x+3⊗x−a>−1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 −6,0 ．
【解题思路】根据题意，对a分a>−3以及a≤−3讨论，将原不等式转化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式运算可得解.
【解答过程】因为x+3⊗x−a>−1恒成立，
所以当a>−3时，原不等式化为x+3x−a+1>−1恒成立，
即x2+4−ax+4−3a>0恒成立，
故Δ=4−a2−44−3a<0，解得−4又因为a>−3，所以−3当a≤−3时，原不等式化为x+4x−a>−1恒成立，
即x2+4−ax+1−4a>0恒成立，
故Δ=4−a2−41−4a<0，解得−6又因为a≤−3，所以−6综上可得−6故答案为：−6,0.
55．（23-24高三上·北京东城·期末）已知不等式xy≤ax2+2y2，若对任意x∈1,2及y∈2,3，该不等式恒成立，则实数a的范围是 [−1,+∞) .
【解题思路】分离参数可得a≥yx−2yx2，令yx=t，则1≤t≤3，再利用二次函数配方求最值，只需a≥yx−2yx2max即可.
【解答过程】由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，
即a≥yx−2yx2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，
令yx=t，则1≤t≤3，
∴a≥t−2t2在1,3上恒成立，
∵y=−2t2+t=−2t−14+18，
∴ymax=−1，
∴a≥−1，
故答案为：[−1,+∞).
56．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设a∈R，若对任意实数x不等式x2+a+2x+13−2ax2+5x+3−2a≥0恒成立，则a的取值范围是 −4,0 ．
【解题思路】当a=32时，取x=−4可验证原不等式不成立；当a≠32，根据二次不等式在R上恒成立的条件可列不等式组，求解即可.
【解答过程】当a=32时，原不等式可化为5xx2+72x+1≥0，而x=−4时，5xx2+72x+1=−20×16−14+1=−60<0，不满足题意，舍去；
当a≠32时，原不等式等价于x2+a+2x+1≥03−2ax2+5x+3−2a≥0或x2+a+2x+1≤03−2ax2+5x+3−2a≤0在R上恒成立.
若x2+a+2x+1≥0在R上恒成立，只需Δ=a+22−4≤0，解得−4≤a≤0，
若3−2ax2+5x+3−2a≥0在R上恒成立，
只需3−2a>0Δ=25−43−2a2≤0，解得a≤14，
所以x2+a+2x+1≥03−2ax2+5x+3−2a≥0在R上恒成立，只需−4≤a≤0a≤14，即−4≤a≤0；
因为y=x2+a+2x+1开口向上，所以x2+a+2x+1≤0在R上不恒成立，
即x2+a+2x+1≤03−2ax2+5x+3−2a≤0在R上不恒成立.
综上，a的取值范围是−4,0.
故答案为：−4,0.
题型15
一元二次不等式有解问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
57．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于x的不等式ax2−2x+1≤0在0,2上有解，则实数a的取值范围是 −∞,1 .
【解题思路】根据题意将不等式转化为a≤2x−1x2在0,2能成立即可，再由二次函数性质求出y=2x−1x2max,x∈0,2即可得a的取值范围是−∞,1.
【解答过程】由不等式ax2−2x+1≤0以及x∈0,2可得a≤2x−1x2，
依题意可知a≤2x−1x2max,x∈0,2即可，
令y=2x−1x2,x∈0,2，
又y=2x−1x2=−1x−12+1，由x∈0,2可得1x∈12,+∞，
利用二次函数性质可知ymax=−1−12+1=1，即可得a≤1；
即实数a的取值范围是−∞,1.
故答案为：−∞,1.
58．（23-24高二下·吉林·期末）若∃x∈[1,2]使关于x的不等式x2−ax+1≥0成立，则实数a的取值范围是 （−∞，52] ．
【解题思路】根据题意，∃x∈1，2，使关于x的不等式x2−ax+1≥0成立，则ax≤x2+1，即a≤（x+1x）max，x∈1，2，再结合对勾函数找到最大值即可求出实数a的取值范围．
【解答过程】解：∃x∈1，2，使关于x的不等式x2−ax+1≥0成立，
则ax≤x2+1，即a≤（x+1x）max，x∈1，2，
令g（x）=x+1x，x∈1，2，则对勾函数g（x）在1，2上单调递增，
所以g（x）max=g（2）=52，
故a∈（−∞，52].
故答案为：（−∞，52].
59．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）若两个正实数x,y满足1x+4y=2，且不等式x+y4【解题思路】根据基本不等式及一元二次不等式的解法计算即可.
【解答过程】若不等式 x+y4x+y4min即可,
由题意可知：
x+y4=x+y41x+4y×12=2+y4x+4xy×12≥2+2y4x×4xy×12=2 ，
当且仅当 4xy=y4x, 即x=1,y=4时, 等号成立,
可得m2−m>2, 即m2−m−2>0, 解得m>2或m<−1,
所以实数 m的取值范围是−∞,−1∪2,+∞.
故答案为：−∞,−1∪2,+∞.
60．（2024·天津·一模）已知函数f(x)=x2−x,x≤02x,x>0.若存在x∈R使得关于x的不等式f(x)≤ax−1成立，则实数a的取值范围是 (−∞,−3]∪[−1,+∞) .
【解题思路】对x的取值进行分类讨论，将问题转化为求函数的最大值以及最小值的问题，即可求得参数的取值范围.
【解答过程】由题意，当x=0时，不等式f(x)≤ax−1可化为0≤−1显然不成立；
当x<0时，不等式f(x)≤ax−1可化为x2−x+1≤ax，所以a≤x+1x−1，
又当x<0时，x+1x=−(−x)+−1x≤−2，
当且仅当−x=−1x，即x=−1时，等号成立；
当x>0时，不等式f(x)≤ax−1可化为2x+1≤ax，
即a≥1x+2x=1x+12−1≥−1；
因为存在x∈R使得关于x的不等式f(x)≤ax−1成立，
所以，只需a≤−2−1=−3或a≥−1.
故答案为：(−∞,−3]∪[−1,+∞).