山东省青岛第一中学2023-2024学年高一上学期阶段性测试（第二次月考） 数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛第一中学2023-2024学年高一上学期阶段性测试（第二次月考） 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了12，25B．1等内容，欢迎下载使用。
数学试题 2023.12
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．定义在上的偶函数，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）
A．1.25B．1.5C．1.67D．2
6．已知满足，且当时，，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
7．已知函数满足：，函数，若，则（ ）
A．B．0C．1D．4
8．已知函数，实数，满足，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列说法错误的是（ ）
A．若角，则角为第二象限角
B．将表的分针拨快分钟，则分针转过的角度是
C．若角为第一象限角，则角也是第一象限角
D．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为
10．函数，被称为狄利克雷函数，则（ ）
A．是偶函数B．对任意，有
C．对任意，有D．对任意，有
11．（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
12．定义为，中较大的数，已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．的值域为
B．是周期函数
C．图像既有对称轴又有对称中心
D．不等式的解集为
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知为坐标原点，若角的终边上一点的坐标为，且，线段绕点逆时针转动后，则此时点的坐标为 .
14．函数在区间上的零点的个数为 .
15．已知，定义表示不超过的最大整数，则函数的值域是 ．
16．已知函数．若方程有5个实数根，则m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知集合，.
(1)求；
(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18．已知．
(1)化简；
(2)若，求的值．
19．已知函数．
(1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间；
(2)若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数的值．
20．已知函数为偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程有且只有一个根，求实数a的取值范围．
21．为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
22．已知函数.
(1)恒成立，求实数的取值范围；
(2)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.
1．B
【分析】利用常用数集的定义与集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，
而，所以.
故选：B.
2．B
【分析】直接由诱导公式分别计算出的大小即可得解.
【详解】由题意，，
，
所以.
故选：B.
3．B
【分析】设等边三角形的边长为，由题意可得，进而求出的值，再求出扇形的面积和等边三角形的面积，从而求出该勒洛三角形的面积.
【详解】设等边三角形的边长为，
则由题意得：，解得：，
所以扇形的半径为，圆心角为，则其面积为，
又等边三角形的面积为，
则该勒洛三角形的面积为，
故选：B.
4．B
【分析】根据题意，由偶函数的性质求出的值，即可得的解析式，进而可得在上的单调性，再根据对数函数的性质即可得解．
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
所以，即，解得，
所以，
当时，为增函数，
因为，
，，
,
所以，
所以，即.
故选：B.
5．B
【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值.
【详解】由题意可得，所以，所以，
所以.
故选：B.
6．C
【分析】结合题意，由得到该函数为偶函数，即可计算，结合周期可计算，得出解析式后结合函数单调性计算即可得.
【详解】因为满足，
即为偶函数，所以，又，
故，则，
因为当时，，
所以，所以，
则，
则当，，
即 时，单调递增，
当，，
即 时，单调递减，
当，可知在上单调递减，则C正确，D错误；
当时，可知在上单调递减，故B错误；
当时，代入增区间通式得在上单调递增，故A错误；
故选：C.
7．B
【分析】通过求来求得正确答案.
【详解】依题意，
所以
所以.
故选：B
8．B
【分析】先判断的奇偶性，由此化简，进而求得正确答案.
【详解】，
所以的定义域为，
，
所以是奇函数，
由可得.
故选：B
9．BCD
【分析】A．根据的范围判断出所在象限；B．根据旋转方向判断出角度的正负；C．举例进行分析；D．根据扇形面积公式进行计算并判断.
【详解】A选项：，故A正确；
B选项：拨快是顺时针旋转，转过的角度是负角，故B错误；
C选项：时，为第一象限角，但不是第一象限角，故C错误；
D选项：，，故D错误.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】A，分是无理数和是有理数，两种情况根据奇偶性的定义讨论.B，分是无理数和是有理数，两种情况，从内函数到外函数讨论.C，时可判断；D分是无理数和是有理数，两种情况结合条件讨论.
【详解】A，若是无理数，则也是无理数，此时，
若是有理数，则也是有理数，此时，
综上恒成立，故函数是偶函数，故A正确；
B，若是有理数，则，则，
若是无理数，则，则，故B正确，
C，若，则，，C错误；
D，若是有理数，则与均为有理数，则，
若是无理数，则与均为无理数，则，
综上：对任意，有，故D正确.
故选：ABD
11．ABD
【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.
【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．
A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；
D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．
故选：ABD．
12．BD
【分析】做出函数的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.
【详解】
做出函数的图像，如图所示：
令，即，则，，解得，，当，时，，
由图可知，的值域为，故A错误；
且是以为最小正周期的周期函数，故B正确；
由图可知函数有对称轴，但是没有对称中心，故C错误；
由图可知，时，，故D正确.
故选：BD.
13．
【分析】根据任意角三角函数的定义可得，设角绕点逆时针转动后得到角，则，结合诱导公式求，进而可求点的坐标.
【详解】若角的终边上一点的坐标为，且，
可得角为第三象限角，且，解得或（舍去），
即点的坐标为，可得，
设角绕点逆时针转动后得到角，则，
可得，
且，
所以此时点的坐标为.
故答案为：.
14．3
【分析】令，结合余弦函数的性质求得方程的解，即得答案.
【详解】令，可得或，
由于，故由得或，
故函数在区间上的零点的个数为3，
故答案为：3
15．
【分析】利用基本不等式求得，可得，由此求得的值域，从而求得函数的值域．
【详解】解：由于当时，利用基本不等式可得．
当时，．
当时，由于，故．
综上可得，，．
而，，
故 或 1，即函数的值域是,，
故答案为:,．
16．
【分析】
令，则有两个不相等的实数根、，则且，则且，或且，或且，再根据二次函数根的分布问题计算可得.
【详解】
因为，所以的图象如下所示：
因为方程有5个实数根，令，
则有两个不相等的实数根、，
则且，或且，或且；
令，当且时，
则，即，解得，
当且，则，此时，
解得，，不符合题意，
当且，则，解得，
此时，解得，不符合题意；
综上可得若方程有5个实数根，
则m的取值范围为．
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确定参数的范围.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由指数、对数不等式可得、，再由补集、交集的定义即可得解；
（2）转化条件为A是C的真子集，由集合间的关系即可得解.
【详解】（1）由题意，，，
∴，∴；
（2）由 “”是“”的必要不充分条件，所以A是C的真子集，
当时，，不符合题意；
当时，，由A是C的真子集，知；
综上，的取值范围是.
18．(1)
(2)．
【分析】（1）直接利用诱导公式化简得到答案.
（2）确定，，根据，计算得到答案.
【详解】（1）
（2），，
，，，
19．(1);;
(2)或.
【分析】（1）根据函数解析式，结合函数周期、对称中心、单调区间的求法，直接计算即可；
（2）分类讨论的范围，列出方程组，解出即可.
【详解】（1）因为,
所以函数的最小正周期为，
令,
得,，
所以函数的对称中心为,
令，
得，
故函数的减区间为.
（2），
又当时，，
则，
若，
则有，解得，
当时，
，解得，
又明显不符合题意，
故或者.
20．(1)
(2)或
【分析】（1）根据为偶函数，将等式化简整理即可得到的值；
（2）根据题意可得，换元得一元二次方程只需其有一正根，分类讨论求解.
【详解】（1）因为为偶函数，所以，

（2）依题意知：

， *
令 则*变为只需其有一正根．
①，不合题意．
②*式有一正一负根，
经验证满足 ∴，
③两相等正根，，经验证
∴
综上所述∴或
21．(1)75人
(2)存在，7
【分析】
（1）由题意列不等式，求解即可；
（2）由技术人员的年人均投入始终不减少得，调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入得，综合得，根据的范围由不等式恒成立求得值.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，
解得，
又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人;
（2）假设存在实数满足条件.
由技术人员年人均投入不减少得, 解得.
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
,
两边同除以得,
整理得,
故有,
因为, 当且仅当时等号成立, 所以,
又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以,
，即存在这样的m满足条件，其值为7.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，转化为恒成立，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）由，令，求得，根据题意，转化为与有4个不同的交点，分、和，三种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
因为不等式恒成立，即恒成立，
即恒成立，
当时，可得恒成立，符合题意；
当时，要使得恒成立，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围.
（2）解：由，令，
当且仅当时，即时，等号成立，
因为方程有四个不同的实根，即与有4个不同的交点，
当时，显然与不能有4个不同的交点；
当时，作出函数的图象，如图所示，
由图象可得，显然与不能有4个不同的交点；
当时，作出函数的图象，如图所示，
由图象可得，当时，函数取得最大值为，
要使得与能有4个不同的交点，则且，
即且，所以，
综上可得，实数的取值范围为.