江西省赣州市信丰县第一中学（江西省信丰中学北校区）2024−2025学年高一上学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份江西省赣州市信丰县第一中学（江西省信丰中学北校区）2024−2025学年高一上学期开学考试 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．下列命题中，含有存在量词的是（ ）
A．存在一个直角三角形三边长均为整数B．所有偶函数图象关于y轴对称
C．任何梯形都不是平行四边形D．任意两个等边三角形都相似
3．化简的结果是（ ）
A．6B．C．D．
4．若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
6．下列表示：①，②，③，④中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．在数轴上点对应的数分别是，点在表示和的两点之间（包括这两点）移动，点在表示和0的两点（包括这两点）之间移动，则以下四个代数式的值，可能比2021大的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（ ）
A．2B．－20C．2或－20D．2或20
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题中，正确的有（ ）
A．集合的所有真子集为
B．若（其中），则
C．是菱形是平行四边形
D．
10．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则A=∅
B．若且，则
C．若且，则
D．存在，使得
11．对于实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．分解因式： .
13．已知，求= .
14．已知实数x，y满足方程组，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知.
(1)解关于的不等式；
(2)若不等式的解集为，求实数的值．
16．（1）计算：；
（2）解不等式组：；
（3）先化简再求值： ，其中．
17．已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
18．如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴，垂足为点.
（1）求直线的函数关系式；
（2）动点在线段上从原点出发以每秒一个单位的速度向移动，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点.设点移动的时间为秒，的长度为个单位，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点与点，点重合的情况），连接，，当为何值时，四边形为平行四边形？问对于所求的值，平行四边形能否为菱形？请说明理由.
19．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；
；
；
(2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值；
(3)若关于的方程（、是常数，）是“邻根方程”，令，试求的最大值．
参考答案
1．【答案】D
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选D.
2．【答案】A
【分析】根据存在量词的含义判断即可.
【详解】“存在”、“有一些”、“某些”等等，这些叫做存在量词.
故选A.
3．【答案】D
【分析】两个根号里面均提公因式32即可配成完全平方公式，从而可求计算求解.
【详解】
故选D.
4．【答案】C
【分析】求解一元二次不等式解得的范围；再整理化简目标式即可.
【详解】将不等式因式分解得，
即或，
无解或，
所以
故选C.
5．【答案】B
【分析】解不等式求出集合，根据交集的定义即可.
【详解】由题意可知，，
，
所以.
故选B.
6．【答案】A
【分析】根据空集的含义，结合元素和集合的关系以及集合间的关系判断①，②，③，④是否正确，即得答案.
【详解】对于①，是单元素集合，其元素为0，为空集，无元素，二者不相等，错误；
对于②，由于是单元素集合，其元素为0，
是一个集合，不是的元素，故错误；
对于③，空集是任何非空集合的真子集，故正确；
对于④，为空集，它没有任何元素，故错误，
故选A.
7．【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可结合选项求解.
【详解】由题意.可知：而是负数，只有的值可以超过2021，如，
故选D.
8．【答案】B
【分析】利用韦达定理可求的值.
【详解】因为，，故为方程的两个根，
故.
又
，
故选B.
【思路导引】利用同构的思想来构建方程，根据根与系数的关系，得到两根和、两根积，再将代数式整合成与两根和、两根积有关的代数式.
9．【答案】BC
【分析】根据集合间的关系判断各个选项；
【详解】对于A，集合真子集是，共3个，所以A错误；
对于B，由，知，，则，则B正确；
对于C，菱形是特殊的平行四边形，所以C正确；
对于D，，所以，所以D错误.
故选BC.
10．【答案】AB
【分析】根据集合的新定义，结合选项以及集合交并补的性质逐一判断即可．
【详解】对于，因为，所以，
所以，且中的元素不能出现在中，因此，即正确；
对于，因为，所以，
即与是相同的，所以，B正确；
对于，因为，所以，
所以，即错误；
对于，由于
,
而，故，即错误．
故选AB．
11．【答案】BD
【分析】对于A，特殊值法，取判断；对于B，由结合不等式性质判断；对于C，作差法判断；对于D，由或时，根据的大小情况判断.
【详解】对于A：当时，不成立，故A错误；
对于B：由，有，则，故B正确；
对于C：由，则，故C错误；
对于D：若或，有，与题设矛盾，故，故D正确.
故选BD.
12．【答案】
【分析】前三项用十字相乘法分解因式，后两项提公因数，再对其提公因式得答案.
【详解】利用分组分解法（前三项与后两组）
故答案为：.
13．【答案】1
【解析】将式子三个一分组，每组都有因式x2+x+1，求得答案.
【详解】由，则
.
故答案为：1.
14．【答案】13
【分析】根据立方和公式、完全平方和公式即可求解．
【详解】，
把代入，可得，

．
故答案为：13.
15．【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)由f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，得a2－6a－3<0，求解即可；
（2）f(x)>b的解集为(－1,3)，等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，由根与系数的关系求解即可.
【详解】(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
∴原不等式可化为a2－6a－3<0，解得3－2∴原不等式的解集为{a|3－2(2)f(x)>b的解集为(－1,3)，等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
等价于解得.
16．【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）根据特殊角的三角函数和根式的性质化简计算即可；
（2）利用一元一次不等式组的解法直接求解即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式先化简式子，再把代入求值即可.
【详解】（1）；
（2）由，得，由，得，
解得，所以不等式组的解集为；
（3）原式，
当时，原式．
17．【答案】(1)
(2)不可能，理由见解析
【分析】（1）直接根据列不等式求解；
（2）先得到，再根据包含关系列不等式求解.
【详解】（1）因为，
所以或或，
解得或或，
所以；
（2）若，，
对，都有，则，
所以，该不等式组无解，
故命题：“，都有”为真命题不可能.
18．【答案】（1）；（2）；（3）或2；不是菱形；答案见解析.
【解析】（1）由条件可得，，可求得直线的解析式.
（2）由秒时，点，所以 ，，再根据得出答案.
(3) 若四边形为平行四边形，则有，此时，有，解得，,再分别计算能否为菱形.
【详解】（1）抛物线与轴交于点，则.
轴，垂足为点,,所以
设直线的解析式为
则 ，解得
可得直线的解析式为
（2）点从点移动到点共要3秒,所以
秒时，点，所以
（3）若四边形为平行四边形，则有，此时，有，解得，
所以当或2时，四边形为平行四边形.
①当时，，，故，又在中，，故，此时四边形为菱形
②当时，，，故，又在中，，故，此时四边形不是菱形.
【思路导引】本题主要考查求函数解析式，二次函数的应用以及特殊四边形的性质和判定，考查数形结合思想.
19．【答案】(1)不是“邻根方程”， 是 “邻根方程”
(2)或
(3)
【分析】（1）分别求出、的根，即可判断；
（2）利用求根公式解出方程，利用，即可解出答案；
（3）利用求根公式解出方程，利用，可得，代入，利用二次函数的最值，即可解出答案.
【详解】（1），
所以，
所以，，，故不是“邻根方程”；
，
所以，
所以，故是 “邻根方程”；
（2）因为方程（是常数）是“邻根方程”，
所以方程必有两不相等实根，即，记，
由求根公式有：，
所以，
解得：或；
（3）因为方程是“邻根方程”， 记，
所以，
所以，
所以当时，的最大值为.