新课标Ⅱ数学2024年高考模拟试卷附答案

这是一份新课标Ⅱ数学2024年高考模拟试卷附答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
2．已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
3．已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在之间，单位：kg）并部分整理下表
据表中数据，结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
5．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
6．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
7．已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．1C．2D．3
8．设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
9．对于函数和，下列说法正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图像有相同的对称轴
10．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
11．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题
12．记为等差数列的前n项和，若，，则 .
13．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
14．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
17．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF对折至△PEF，使得．
(1)证明：；
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．
18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
19．已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意的正整数，.
答案
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【解析】若，则.
故选C.
2．已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选B.
3．已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【解析】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选B.
4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在之间，单位：kg）并部分整理下表
据表中数据，结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
【答案】C
【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.
【解析】
A, 根据频数分布表可知, ,所以亩产量的中位数不小于 , A 错误；
B，亩产量不低于的频数为，因此低于的稻田占比为，B错误；
C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，C正确；
D，根据频数分布表可得，亩产量在的频数为，
所以平均值为，D错误.
故选C.
5．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【答案】A
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【解析】设点，则，
因为为的中点，所以，即，又在圆上
所以，即，即点的轨迹方程为.
故选A.
6．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【解析】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以正确；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，由偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以正确；
故选D.
7．已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.
【解析】解法一：分别取的中点，则，
可知，
设正三棱台的为，
则，解得，
如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，
则，，
可得，
结合等腰梯形可得,
即，解得，
所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD=A1MAM=1；
解法二：将正三棱台补成正三棱锥，
则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，
因为，则，可知，则，
设正三棱锥的高为，则，得，
取底面ABC的中心为，则PO⊥底面ABC，且，
所以与平面ABC所成角的正切值.
故选B.
8．设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】解法一：根据题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.
【详解】解法一：根据题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，此时，错误；
若，当时，可知，此时，错误；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；可知若，正确；
若，当时，可知，此时，错误；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：根据题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选C.
二、多选题
9．对于函数和，下列说法正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图像有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】由正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【解析】A令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然零点不同，A错误；
B显然，B正确；
C由周期公式，的周期均为，C正确；
D由正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D错误.
故选BC。
10．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A、抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B、三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C、根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D、根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.
【解析】A抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和相切，A正确；
B三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，
此时切线长，B正确；
C当时，，此时，故或，当时，，，，不满足；当时，，，，不满足；于是不成立，C错误；
D方法一：利用抛物线定义转化
由抛物线的定义，，这里，于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，，中点，中垂线的斜率为，于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点，使得，D正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D正确.
故选ABD。
11．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【分析】A、先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B、根据极值和导函数符号的关系进行分析；C、假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D、若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【解析】A，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A正确；
B，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B错误；
C假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，
即，由二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C错误；
D方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D正确.
故选：AD
三、填空题
12．记为等差数列的前n项和，若，，则 .
【答案】95
【解析】因为数列为等差数列，由题意得，解得，
则.
答案为：.
13．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【解析】法一：由题意得，
因为，，则，，
又因为，则，，则，则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则

答案为：.
14．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
【答案】 24 112
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.
【详解】根据题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有种选法；
每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.
答案为：24；112
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.
【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，根据题意，，
根据向量的数量积公式，，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，于是，
，
根据正弦定理可得，，即，
解得，故的周长为
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.
【解析】（1）当时，则，，可得，，
即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.
（2）解法一：因为的定义域为，且，若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，错误；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，
若有极小值，则有零点，令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，正确，根据题意可得：，即，构建，因为则在内单调递增，
可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为.
17．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF对折至△PEF，使得．
(1)证明：；
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；
（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可.
【解析】（1）由，得，又，在中，根据余弦定理得,
所以，则，即，所以，又平面，所以平面，又平面，
故；
（2）连接，由，则，
在中，，得，
所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，由是的中点，得，
所以，
设平面和平面的一个法向量分别为，
则，，
令，得，所以，所以，设平面和平面所成角为，则，即平面和平面所成角的正弦值为.
18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】(1)
(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.
【解析】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为，则，，
则，
应该由甲参加第一阶段比赛.
19．已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意的正整数，.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可；
（2）根据等比数列的定义即可验证结论；
（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.
【解析】（1）
根据已知有，故的方程为.
当时，过且斜率为的直线为，与联立得到解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.
故，从而，.
（2）由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程.展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.
从而根据韦达定理，另一根，相应的.
所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.
所以.
这就得到，.
所以
.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定）
证明：
.
证毕，回到原题.
根据上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
而又有，，
因此利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明的取值是与无关的定值，所以.
方法二：由于上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
可得，
以及.
两式相减，即得.
移项得到.
故.
而，.所以和平行，这就得到，即.
亩产量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1100，1150）
[1150，1200）
频数
6
12
18
24
10
亩产量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1100，1150）
[1150，1200）
频数
6
12
18
24
10