2024-2025学年北京二中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年北京二中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x>1}，B={x|x2−2x−3>0}，则A∪B=( )
A. (3,+∞)B. (1,3)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(3,+∞)
2.记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5=15，S7=35，则a1=( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
3.已知边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，则AF⋅AE=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.在复平面上，复数1+ai2−i所对应的点在第二象限，则实数a的值可以为( )
A. −12B. 1C. 2D. 3
5.已知sin(π6+α)=− 33，则cs(2π3−2α)=( )
A. −23B. −13C. 23D. 13
6.“sinθ+tanθ>0”是“θ为第一或第三象限角”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2b2+c2−a2=0，则sinB的最大值为( )
A. 33B. 13C. 12D. 23
8.分贝(dB)、奈培(Np)均可用来量化声音的响度，其定义式分别为1dB=10lgAA0，1Np=12lnAA0，其中A为待测值，A0为基准值.如果1dB=tNp(t∈R)，那么t≈( )(参考数据：lge≈0.4343)
A. 8.686B. 4.343C. 0.8686D. 0.115
9.已知函数f(x)的定义域为R，存在常数t(t>0)，使得对任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，当x∈[0,t)时，f(x)=|x−t2|.若f(x)在区间(3,4)上单调递减，则t的最小值为( )
A. 3B. 83C. 2D. 85
10.设函数y=f(x)图象上不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)处的切线的斜率分别是KA，KB，规定φ(A,B)=
KA−KB AB(AB 为线段AB的长度)叫做曲线y=f(x)在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题，其中错误
的是( )
A. 函数y=sinx图象上两点A与B的横坐标分别为1和−1，则φ(A,B)=0
B. 存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数
C. 设A，B是抛物线y=x2上不同的两点，则φ(A,B)⩽2
D. 设A，B是曲线y=ex(是自然对数的底数)上不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则φ(A,B)>1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.(12x−x)8展开式中含x2项的系数是______．
12.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2−4y+3=0相切，则双曲线的离心率为______．
13.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示．
①函数f(x)的最小正周期为______；
②将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象.若函数g(x)为奇函数，则t的最小值是______．
14.已知函数f(x)=sinωx−2csωx(ω>0)，且f(α+x)=f(α−x).若两个不等的实数x1，x2满足f(x1)f(x2)=5且|x1−x2|min=π，则sin4α= ______．
15.已知函数f(x)=xx+2,x∈(12,1]−12x+14,x∈[0,12],g(x)=asin(π3x+3π2)−2a+2(a>0)，给出下列结论：
①函数f(x)的值域为[0,13]；
②函数g(x)在[0,1]上是增函数；
③对任意a>0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解；
④若存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围是59≤a≤45．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知函数f(x)=csωxsin(ωx+π6).且满足_____．
(在下列三个条件中任选一个，并解答问题)
①函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2；
②函数f(x)的图象相邻两个最大值之间的距离为π；
③已知x1≠x2，f(x1)=f(x2)=14，且|x1−x2|的最小值为π2．
(Ⅰ)求函数f(x)的对称中心坐标；
(Ⅱ)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递减区间．
17.(本小题13分)
为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：
(Ⅰ)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
(Ⅱ)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀(>90分)的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(Ⅲ)表中男生和女生成绩的方差分别记为s12，s22，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为s32，试比较s12、s22、s32的大小．(只需写出结论)
18.(本小题14分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB中点．
(Ⅰ)证明：CD⊥平面POC．
(Ⅱ)求二面角C−PD−O的平面角的余弦值．
(Ⅲ)在侧棱PC上是否存在点M，使得BM//平面POD，若存在试求出CMPC，若不存在，请说明理由．
19.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax2+xlnx(a∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)若存在k∈Z，使得f(x)>k恒成立，求k的最大值．
20.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，点A(−2,0)在C上．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过点B(−2,1)且斜率为k的直线交椭圆C于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，试用含k的代数式表示(x1+2)(x2+2)；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，证明：线段PM的中点在定直线上．
21.(本小题15分)
已知n为正整数，数列X：x1，x2，⋯，xn，记S(X)=x1+x2+⋯+xn，对于数列X，总有xk∈{0,1}，k=1，2，⋯，n，则称数列X为n项0−1数列．
若数列A：a1，a2，⋯，an，B：b1，b2，⋯，bn，均为n项0−1数列，定义数列A∗B：m1，m2，⋯，mn，其中mk=1−|ak−bk|，k=1，2，⋯，n．
(Ⅰ)已知数列A：1，0，1，B：0，1，1，直接写出S(A∗A)和S(A∗B)的值；
(Ⅱ)若数列A，B均为n项0−1数列，证明：S((A∗B)∗A)=S(B)；
(Ⅲ)对于任意给定的正整数n，是否存在n项0−1数列A，B，C，使得S(A∗B)+S(A∗C)+S(B∗C)=2n，并说明理由．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.D
5.B
6.C
7.C
8.A
9.B
10.D
11.−7
12.2
13.3π2 π8
14.−45
15.①②④
16.解：(I)因为f(x)=csωxsin(ωx+π6)=csωx[sinωx× 32+csωx×12]=sin2ωx× 34+(1+cs2ωx)×14=12sin(2ωx+π6)+14，
若选择①函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，可得函数周期为π，
所以2π2ω=π，ω=1，
若选择②函数f(x)的图象相邻两个最大值之间的距离为π，可得函数周期为π，
所以2π2ω=π，ω=1，
若选择③已知x1≠x2，f(x1)=f(x2)=14，
即可得12sin(2ωx+π6)=0有2个根x1，x2，|x1−x2|的最小值为π2，可得函数周期为π，
所以2π2ω=π，ω=1，
所以f(x)=12sin(2x+π6)+14，
令2x+π6=kπ,k∈Z，
即x=−π12+kπ2,k∈Z，函数f(x)的对称中心坐标为(−π12+kπ2,14)，k∈Z．
(Ⅱ)因为f(x)=12sin(2x+π6)+14，
令2x+π6∈[π2+2kπ,3π2+2kπ]，k∈Z，
可得x∈[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z，
又因为x∈[0,2π]，令k=0，则x∈[π6,2π3]，
令k=1，则x∈[7π6,5π3]，
所以函数f(x)在[0,2π]上的单调递减区间为[π6,2π3]，[7π6,5π3]．
17.解：(Ⅰ)设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩“为事件A，
由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有C61C61=36种组合，
其中男生成绩高于女生(81,72)，(81,80)，(84,72)，(84,80)，(86,72)，(86,80)，(86,84)，(86,72)，(86,80)，(86,84)，(88,72)，(88,80)，(88,84)，(91,72)，(91,80)，(91,84)，(91,88)，
所以事件A有17种组合，因此P(A)=1736；
(Ⅱ)由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀(>90分)的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为14，
因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数X可取0，1，2，3且X～B(3,14)，
P(X=0)=(34)3=2764，P(X=1)=C31×14×(34)2=2764，P(X=2)=C32×34×(14)2=964，P(X=3)=(14)3=164，
所以随机变量X的分布列为：
数学期望E(X)=0+1×2764+2×964+3×164=4864=34．
(Ⅲ)男生的平均成绩为x1−=81+84+86+86+88+916=86，则s12=16i=16(xi−x−1)2≈9.667；
女生的平均成绩为x2−=72+80+84+88+92+976=85.5，则s22=16i=16(xi−x−2)2≈65.92；
由于从参加活动的男生中抽取成绩为89分的学生组成新的男生样本，
所以x3−=81+84+86+86+88+86+917=86，则s32=17i=17(xi−x−3)2≈8.286；
所以s32k恒成立，所以kb>0)的离心率为 32，点A(−2,0)在C上，
所以ca= 32a=2a2=b2+c2，所以a=2，b=1，c= 3，
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．
(Ⅱ)设过点B(−2,1)且斜率为k的直线为：y−1=k(x+2)，即y=kx+2k+1，
联立方程组x24+y2=1y=kx+2k+1，消去y得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+(16k2+16k)=0，
因为P(x1,y1)，Q(x2,y2)是直线与椭圆的交点，
所以x1+x2=−16k2−8k1+4k2,x1x2=16k2+16k1+4k2，
所以(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4
=16k2+16k1+4k2+−32k2−16k1+4k2+4
=41+4k2．
(Ⅲ)证明：设直线AQ为y=y2x2+2(x−x2)，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，

则M(x1,y2(x1−x2)x2+2)，又因为P(x1,y1)，设PM的中点N(x0,y0)，
于是N(x1,(x1+2)y2+(x2+2)y12(x2+2))，
因为(x1+2)+(x2+2)=4−8k4k2+1，(x1+2)⋅(x2+2)=44k2+1，Δ>0，即k