2024-2025学年北京市石景山区第九中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市石景山区第九中学高三上学期10月月考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A=0,1,3，B=−1,0,2,3，则A∪B等于( )
A. −1,0,1,2,3B. −1,0,2,3C. 0,1,3D. 0,3
2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A. y=x+1B. y=1x
C. y=−x3 D. y=x2,x≥0,−x2,x<0
3.已知csα+β=14,csαcsβ=13，则tanαtanβ=( )
A. 14B. 13C. 3D. 4
4.已知等比数列{an}满足a1+a3=5，a2=2，则{an}的公比为( )
A. −2或−12B. −2或12C. 2或−12D. 2或12
5.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a= 13，b= 3，c=2，则角A=( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
6.已知a=lg42，b=lg104，c=12−0.2，则下列判断正确的是( )
A. c7.“x<−1”是“x2+x>0”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.在ΔABC中，若sin2A+sin2BA. 钝角B. 直角C. 锐角D. 不能确定
9.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为
A. 2sinα−2csα+2；B. sinα− 3csα+3
C. 3sinα− 3csα+1D. 2sinα−csα+1
10.在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格a与其实际价值之间，存在着相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格a与其实际价值的差距.设顾客第n次的还价为bn，商家第n次的讨价为cn，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价a的一半，即第一次还价b1=a2，商家第一次的讨价为b1与标价a的平均值，即c1=a+b12；…，顾客第n次的还价为上一次商家的讨价cn−1与顾客的还价bn−1的平均值，即bn=cn−1+bn−12，商家第n次讨价为上一次商家的讨价cn−1与顾客这一次的还价bn的平均值，即cn=cn−1+bn2，现有一件衣服标价1200元，若经过n次的“对半讨价还价”，bn与cn相差不到2元，则n的最小值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数fx= x−12−x的定义域为 ．
12.半径为6，圆心角等于π3的扇形的面积是 ．
13.若将函数f(x)=sin(x−π3)的函数图象平移φ(φ∈R)个单位，得到一个偶函数的图象，则φ的最小值为 ．
14.点P从 22, 22出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动π3弧长到达Q点，则点Q的坐标为 ．
15.已知函数f(x)=xex，给出下列结论：
①(1,+∞)是f(x)的单调递减区间；
②当k∈(−∞,1e)时，直线y=k与y=f (x)的图象有两个不同交点；
③函数y=f(x)的图象与y=x2+1的图象没有公共点；
④当x∈(0,+∞)时，函数y=f(x)+1f(x)的最小值为2．
其中正确结论的序号是
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知数列an是公差不为0的等差数列，a3=6,a1,a2,a4成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=2anan+1，设数列bn的前n项和为Sn，求Sn．
17.(本小题12分)
已知函数fx= 2sinx−π4+2csx．
(1)求fx的最小正周期；
(2)求fx图象的对称轴方程；
(3)求fx在−π,0上的最大值和最小值．
18.(本小题12分)
设函数fx=xx2−3x+a，a∈R
(1)当a=−9时，求函数fx的单调增区间；
(2)若函数fx在区间1,2上为减函数，求a的取值范围；
(3)若函数在区间0,2内存在两个极值点x1，x2，且fx1−fx2>fx1+fx2，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
在▵ABC中，sinA= 3sinB，C=π6．
(1)求∠BAC的大小；
(2)E是AC的中点.从条件①BE= 7，条件②a+b+c=4+2 3，条件③c= 2b中选择一个作为已知，使▵ABC存在且唯一确定，求▵ABC的面积；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=(1+ax)ex，其中a>0．
(Ⅰ)求函数f(x)的零点；
(Ⅱ)讨论y=f(x)在区间(−∞,0)上的单调性；
(Ⅲ)在区间(−∞,−a2]上，f(x)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
21.(本小题12分)
在无穷数列an中，a1=1，对于任意n∈N∗，都有an∈N∗，an(1)设数列an为1,4,7,10,⋯，写出b1，b2，b3，b4的值；
(2)若an为等比数列，且a2=2，求b1+b2+b3+⋯+b50的值．
(3)设ap=q，a1+a2+⋯+ap=A，直接写出b1+b2+⋯+bq的值．(用p,q,A表示)
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.D
5.D
6.D
7.A
8.C
9.A
10.B
11.{x|x≥1,且x≠2}
12.6π
13.π6
14. 2− 64, 2+ 64
15.①③
16.(1)因为a3=6,a1,a2,a4成等比数列，
所以a3=a1+2d=6a1+d2=a1a1+3d，解得a1=2d=2,
所以an=2+2n−1=2n．
(2)因为bn=2anan+1，
所以bn=22n2n+2=12n−12n+2，
所以Sn=b1+b2+b3+…+bn−1+bn=12−14+14−16+16−18+⋯+12n−12n+2，
所以Sn=12−12n+2=n2n+2．

17.(1)因为fx= 2 22sinx− 22csx+2csx
=sinx+csx= 2sinx+π4，
所以fx的最小正周期为：T=2π1=2π；
(2)令x+π4=π2+kπ,k∈Z，得x=π4+kπ,k∈Z，
所以fx图象的对称轴方程为x=π4+kπ,k∈Z；
(3)因为x∈−π,0，所以x+π4∈−3π4,π4，
注意到y=sinx在−34π,−π2上单调递减，在−π2,π4上单调递增，
而 2sin−3π4=−1， 2sinπ4=1， 2sin−π2=− 2，
所以fxmin=− 2，fxmax=1．

18.(1)当a=−9时，f(x)=x(x2−3x−9)，则f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)，由f′(x)>0解得：x<−1或x>3，
所以函数fx的单调增区间是(−∞,−1)，(3,+∞)．
(2)函数f(x)=x(x2−3x+a)，则f′(x)=3x2−6x+a，因函数fx在区间1,2上为减函数，则∀x∈(1,2)，f′(x)≤0成立，
即∀x∈(1,2)，3x2−6x+a≤0⇔a≤−3x2+6x，显然−3x2+6x在1,2上单调递减，即∀x∈(1,2)，−3x2+6x>0，则a≤0，
所以a的取值范围是a≤0．
(3)由(2)知，f′(x)=3x2−6x+a，因函数fx在区间0,2内存在两个极值点x1，x2，则f′(x)=0在区间0,2内有两个不等根x1，x2，
即有f′(0)=f′(2)=a>0f′(1)=−3+a<0，解得0不妨令00，当x1则fx在x1处取得极大值f(x1)，在x2取得极小值f(x2)，显然，f(x1)>f(x2)，
由f(x1)−f(x2)>f(x1)+f(x2)两边平方得f(x1)⋅f(x2)<0，
而f(x1)⋅f(x2)=x1(x12−3x1+a)⋅x2(x22−3x2+a)<0，即(x12−3x1+a)(x22−3x2+a)<0，
整理得：(x1x2)2−3x1x2(x1+x2)+a[(x1+x2)2−2x1x2]+9x1x2−3a(x1+x2)+a2<0，
把x1+x2=2,x1x2=a3代入上述不等式并整理得：49a2−a<0，解得0综上得0所以实数a的取值范围是0
19.(1)因为sinA= 3sinB，由正弦定理可得a= 3b，
又因为C=π6，
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC=3b2+b2−2 3b2× 32=b2，
即c=b，则B=C=π6，所以∠BAC=π−B+C=2π3．
(2)对于①：AC边上的中线长为BE= 7，
在▵BCE，由余弦定理得BE2=BC2+CE2−2BC⋅CE⋅csC
即 72=3b2+b24−2× 3b×b2× 32，解得b=2，
则b=c=2,a=2 3，
所以▵ABC的面积为S▵ABC=12acsinB=12×2 3×2×12= 3；
对于②：因为a+b+c= 3b+b+b=4+2 3，解得b=2，
则b=c=2,a=2 3，
所以▵ABC的面积为S▵ABC=12acsinB=12×2 3×2×12= 3；
对于③：若c= 2b，这与b=c相矛盾，不合题意；

20.(I)解f(x)=0，得x=−a，所以函数f(x)的零点为−a
(II)函数f(x)在区域(−∞,0)上有意义，f′(x)=x2+αx−ax2ex，
令产(x)=0，得x1=−a− a2+4a2，x2=−a+ a2+4a2，
因为a>0，所以x1<0，x2>0．
当x在定义域上变化时，f(x)的变化情况如下：
所以在区间(−∞,−a− a2+4a2)上f(x)是增函数，
在区间(−a− a2+4a2,0)上f(x)是减函数．
(III)在区间(−∞,−a2]上f(x)存在最小值f(−a2)
证明：由(I)知−a是函数f(x)的零点，
因为−a−x1=−a−−a− a2+4a2=−a+ a2+4a2>0
所以x1<−a<0．
由f(x)=(1+ax)ex知，当x<−a时，f(x)>0．
又函数在(x1,0)上是减函数，
且x1<−a<−a2<0．
所以函数在区间x1,−a2上的最小值为f(−a2)，，且f(−a2)<0．
计算得f(−a2)=−e−a2．

21.(1)由使得an得an≤1，则b1=1，
an≤2，则b2=1，
an≤3，则b3=1，
an≤4，则b4=2，
所以b1=1,b2=1,b3=1,b4=2；
(2)∵an为等比数列，a1=1，a2=2，∴an=2n−1，
所以a3=4,a4=8,a5=16,a6=32,a7=64，
∵使得an≤m成立的n的最大值为bm，
∴b1=1，b2=b3=2，b4=b5=b6=b7=3，b8=b9=⋯=b15=4，
b16=b17=⋯=b31=5，b32=b33=⋯=b50=6，
∴b1+b2+b3+⋯+b50=1+2×2+4×3+8×4+16×5+19×6=243；
(3)设a2=k(k>1)，
因为a1所以b1=b2=⋯=bk−1=1，且bk=2，
所以数列{bn}中等于1的项有k−1个，即a2−a1个，
设a3=l(l>k)，
则bk=bk+1=⋯=bl−1=2，且bl=3，
所以数列{bn}中等于2的项有l−k个，即a3−a2个，
以此类推，数列{bn}中等于p−1的项有ap−ap−1个.，
所以b1+b2+⋯+bq=(a2−a1)+2(a3−a2)+⋯+(p−1)(ap−ap−1)+p
=−a1−a2−⋯−ap−1+(p−1)ap+p
=pap+p−(a1+a2+⋯+ap−1+ap)
=p(q+1)−A，
即b1+b2+⋯+bq=p(q+1)−A．
x
(−∞,x1)
(x1,0)
f′x
+
−
f(x)