辽宁省普通高中2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学模拟试题（2）

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参考答案
命题范围：集合、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形、向量、复数、数列、排列组合、统计概率
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一个空2分，第二个空3分．
12．．13．．14．；．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）()；（2）．
16．（1），对称中心为；
（2）；（3）．
17．（1）分布列见解析，；（2）．
18．（1）,；（2）；（3）证明见解析．
19．（1）；（2）；
（3）当为奇数时，有唯一零点，无最小值；
当为偶数时，没有零点，存在最小值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
B
A
D
B
C
题号
9
10
11
答案
AD
BD
ACD
辽宁省普通高中2024-2025学年度上学期11月期中模拟试题（2）
高三数学（教师版）
命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞
命题范围：集合、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形、向量、复数、数列、排列组合、统计概率
试卷难度：提升
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合的子集个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】D
【分析】先求出集合，再求出子集个数即可.
【详解】由题意，得,故集合A子集个数为个.
故选：D.
2．若复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的运算法则求出z，再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解．
【详解】设，则，
则，即，所以，，
解得，，故，对应的点在第四象限．
故选：D．
3．2024年春节期间，有五部电影上映，小李准备和另3名同学一行去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小李看电影，且4人中恰有2人看同一部电影的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】计算古典概型问题的概率、排列组合综合
【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足小李看电影，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】依题意每位同学均有种选择，则四位同学一共有种方案，
若小李看电影，且4人中恰有两人看同一部电影，
有两人看电影，则有种方案，有一人看电影，则有种方案，
即满足小李看电影，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案，
所以所求概率.
故选：C.
4．记的三个内角的对边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算可得，结合余弦定理运算求解.
【详解】因为，且，
则，即，
可得，
因为，则，
即，可得，
所以的取值范围为.
故选：B.
5．已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据题设条件及奇函数的性质，得到，，从而有，再结合函数的定义域得到或，分或两种情况，利用函数的单调性，即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
易知，所以，即有，得到，
所以，函数定义域为且，
得到，所以，
故，
有，即，满足题意，
所以，定义域为且，
又，所以或，
当，即或，时，，
此时在上单调递增，不合题意，
当，时，，
，
由，得到或（舍去），
又在区间上有最小值，所以，解得，
此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，满足题意，
故选：A.
【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用奇函数的定义关于原点对称，从而得到，再利用，得到，即可求解.
6．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得，进而求得.
【详解】关于的方程在内有两个不同的解，
即（，取为锐角）
在内有两个不同的解，
即方程在内有两个不同的解．
不妨令，由，则，
所以，
所以．则，
即，
所以．
故选：D．
7．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x，y，z若x，y的样本相关系数为，y，z的样本相关系数为，则x、z的样本相关系数的最大值为（ ）
附：相关系数
A．B．C．D．1
【答案】B
【知识点】向量夹角的计算、相关系数的计算、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦
【分析】利用相关系数公式，可看成两个维向量的夹角公式，从而把相关系系数问题转化为向量夹角问题，即可得解.
【详解】设，，,
则有，，，
由相关系数公式可知：，
设与夹角为，与夹角为，
由x，y的样本相关系数为，所以，，
由这两个夹角均为锐角且，所以与夹角的可能性是，
则与夹角余弦值的最大值为，此时x与z样本相关系数最大，
即，
故选：B.
8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，对于数列，若，下列说法正确的是（ ）
A．存在的等比数列，使得为等比数列
B．，均存在等差数列，使得为等差数列
C．，均不存在等比数列，使得为等差数列
D．若存在等差数列，使得为等比数列，且，则的最小值为
【答案】C
【分析】对于A选项，假设使得列等式即可判断，对于B选项，列出等式结合等差数列的性质即可判断，对于C选项，结合导数即可求解，对于D选项，根据公差的不同分类即可求解.
【详解】假设使得，
因为，所以若，则，否则，
因为，所以，
不妨设，，所以，
所以，所以，
当且仅当时等号成立，
若，左式恒大于右式，故A错误；
若存在等差数列，使得为等差数列，
所以，因为，
所以，
所以，设等差数列的公差为，
所以，
所以，故B选项错误；
若存在等比数列，使得为等差数列，
所以，不妨设，，
只需，只需，
设等比数列公比为，所以，
令，所以，
令，因为，
所以，，
，所以，，
，
所以单调递增，令，
所以，所以，
所以无解，故C正确；
令，，，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，当时，
，当时，
，当时，
，故D选项错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键假设命题正确列出式子判断是否矛盾.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有
A．若，则的最大值是
B．若，则的最小值为2
C．若，，均为正实数，且，则的最小值是4
D．已知，，且，则最小值是
【答案】AD
【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．
【详解】对于A，由可得，
由基本不等式可得，
当且仅当即时取等号，
所以的最大值为，故A正确；
对于B，，
当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得，
则最小值不为2，故B错误；
对于C，由可得
，
当且仅当且，即，，时，等号成立，
由于，，均为正实数，则等号取不到，故C错误；
对于D，由可得，
代入到，
当且仅当即时，等号成立，故D正确．
故选：AD．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象是中心对称图形
B．的图象是轴对称图形
C．是周期函数，且最小正周期为
D．存在最大值与最小值
【答案】BD
【分析】利用辅助角公式化简，根据函数的对称性，周期的定义判断BC，令，则，根据函数为偶函数，再利用导数可求其最值，判断D，证明为函数的对称轴，结合单调性推出矛盾排除A.
【详解】，
对于B选项，，则函数关于对称．故B正确．
对于C选项，，
所以为函数的周期．故C错．
对于D选项，令，由于为偶函数，则只需要考虑部分即可．，则．故D正确．
对于A选项，因为，
所以函数的图象关于对称，又函数的图象关于对称，
因为在上单调递增，且，
函数在上单调递减，
所以在上单调递减，
由对称性，周期性可得若函数有对称中心，
则为其一个对称中心，，
但，故A错误．
故选：BD.
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．是整数
C．，（是不大于x的最大整数）
D．，则
【答案】ACD
【分析】对于选项A: 令时，利用二项式定理计算即可；对于选项B: 表示出，取特殊值验证即可; 对于选项C: 作差说明为正整数即可；对于选项D: 分奇偶讨论计算，，即可推理作答.
【详解】对于选项A: 由，当时，即，所以,，故，故A正确；
对于选项B:由题意可得，不妨令，
所以，此时不是整数，故B错误；
对于选项C: ,
即，
所以
，
，
易知，正整数，
为正整数，
，
所以，故C正确；
对于选项D:当为正偶数时，
，
，，
所以，即.
当为正奇数时，
，
，
，，
所以，即.
综上可得：若，则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：涉及二项式定理的问题，二项式定理的核心是通项公式，求出给定二项式的通项公式是解决问题的关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一个空2分，第二个空3分．
12．若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出函数的导函数，依题意在区间上有解，即在区间上能成立，则，，令，，利用导数求出函数的最大值，即可得解.
【详解】因为，所以，
依题意在区间上有解，即在区间上能成立，
则只需，；
令，，则，所以在区间上单调递增，
所以，所以，即实数的取值范围为.
故答案为：
13．定义在R上的函数满足，且关于对称，当时，，则 .
【答案】
【分析】推导出函数是周期为4的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性以及并项求和法可求得所求代数式的值.
【详解】由题意得，，令，则，
所以函数图象关于直线对称，即，
设，又关于对称，
所以，即，
所以，所以函数是奇函数，
所以函数图象关于原点中心对称，
所以，所以，
故函数是周期函数，周期为4.
又当时，，且，故可以得出.
进而.
那么
.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
（1）若，则函数关于成中心对称；
（2）若，则函数关于成中心对称.
14．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 ； （用含的式子表示，）.
【答案】
【分析】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为、，根据乘法原理和加法原理得到；在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数，即的个数为、、、、，根据乘法原理和加法原理结合二项式定理可求得的表达式.
【详解】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为、，
根据乘法原理和加法原理得到.
在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数，
即的个数为、、、、，
根据乘法原理和加法原理得到，
，
，
两式相减得到.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用和的展开式求数列通项是解题的关键，需要灵活掌握.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设公差不为0的等差数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可；
（2）列出通项公式，根据通项求出的前n项和，再根据通项求出的前2n项和，两式相减解得的通项公式，最后分组求和求出数列的前n项和.
【详解】（1），设公差为d，首项为
，因为公差不为0，所以解得，
，数列的通项公式为，.
（2）
①
②
得，解得
16．已知，，函数．
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若，求的值；
（3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围．
【答案】（1），对称中心为；（2）；（3）
【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可；
（2）由得出，再根据两角差的余弦公式，辅助角公式计算即可；
（3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解．
【详解】（1），
令，则，，
函数的对称中心为．
（2）由可知，，
化简有，
则
．
（3）由可得，即，
又，所以，
由正弦定理有，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，
所以，则，
所以周长的取值范围为．
17．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.
（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.
【答案】（1）分布列见解析，；（2）
【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果；
（2）根据甲、乙答对题数为二项分布及独立事件的概率求出每轮答题中取得胜利的概率，
再由二次函数的性质求出结果.
【详析】（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为：
.
（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，
设乙答对题数为，则，
设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”,
则
由，又，所以，
则，又，所以，
设，所以，由二次函数可知当时取最大值，
所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为.
18．已知函数，函数与的图像关于对称，.
（1）求的解析式；
（2）在定义域内恒成立，求a的值；
（3）求证：，.
【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析
【分析】（1）设图像上任意一点坐标为，利用其对称点在的图像上可函数的解析式；
（2）令，可得为的一个极大值点，求得，再证明当时，在恒成立即可；
（3）由（2）可知：，可得，进而可得，利用在上恒成立且当且仅当时取等，可得，，可证结论.
【详解】（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，
则其关于对称的点在图像上，
则，则，
故，；
（2）令，，
则在在恒成立，
又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，
，，
下证当时，在恒成立，
令，,
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
故，在上恒成立，又，
则时，恒成立，
综上，.
（3）由（2）可知：，
则，即，
则，
又由（2）可知：在上恒成立，
则在上恒成立且当且仅当时取等，
令，，则，
即，
则
，
综上，，即证
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略:形如的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3、数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
19．定义函数．
（1）求曲线在处的切线斜率；
（2）若对任意恒成立，求k的取值范围；
（3）讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．若有最小值m﹐证明：；若没有最小值，说明理由．
（注：…是自然对数的底数）
【答案】（1）；（2）；
（3）当为奇数时，有唯一零点，无最小值；当为偶数时，没有零点，存在最小值
【解析】（1）由，
可得,
所以曲线在处的切线斜率.
（2）若对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令，则，
由解得，或；由解得，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，且当时，，
故的最小值为，
故，即的取值范围是.
（3），
当时，，
因此当为奇数时，，
此时
则，所以单调递减.
此时，显然有唯一零点，无最小值.
当时，
且当时，
，
由此可知此时不存在最小值.
从而当为奇数时，有唯一零点，无最小值，
当时，即当为偶数时，，
此时，
由，解得；由，解得
则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，
即，所以当为偶数时，没有零点.
设，
，
所以在上单调递增，，即.
令可得，
当时
，
即.
从而当为偶数时，没有零点，存在最小值.
综上所述，当为奇数时，有唯一零点，无最小值；
当为偶数时，没有零点，存在最小值.
0
1
2
3
P