中卫市重点中学2025届数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】

这是一份中卫市重点中学2025届数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的两根为x1，x2，下列结论正确的是（ ）
A．两根之和等于﹣，两根之积等于1
B．x1，x2都是有理数
C．x1，x2为一正一负根
D．x1，x2都是正数
2、（4分）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）．
A．B．C．D．
3、（4分）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．9，12，15B．12，18，22C．8，15，17D．5，12，13
4、（4分）下列函数中，y随x的增大而减小的有（ ）
①y＝﹣2x+1；②y＝6﹣x；③y＝-；④y＝（1﹣）x．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5、（4分）已知四边形ABCD，有以下4个条件：①AB∥CD；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC．从这4个条件中选2个，不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②④
6、（4分）如图，点为的平分线上的一点，于点.若，则到的距离为（ ）
A．5B．4C．3.5D．3
7、（4分）已知直线y＝（k﹣3）x+k经过第一、二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k≠3B．k＜3C．0＜k＜3D．0≤k≤3
8、（4分）一组数据共50个，分为6组，第1—4组的频数分别是5，7，8，10，第5组的频率是0.20，则第6组的频数是（ ）
A．10B．11C．12D．15
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF于点H，连接AH.在转动的过程中，AH的最小值为_________．
10、（4分）在菱形中，已知，，那么__________（结果用向量，的式子表示）．
11、（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交反比例函数和在第一象限的图象于点过点作轴于点交的图象于点连结．若是等腰三角形，则的值是________________．
12、（4分）．在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是____________．
13、（4分）一副常规的直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，若，则______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
15、（8分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
求甲、乙两种商品的每件进价；
该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
16、（8分）如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
(1)求证：AG＝C′G；
(2) 求△BDG的面积．
17、（10分）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若三边长分别是2，和4，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是” ；
（2）如图，中，，，点为的中点，连接，若是常态三角形，求的面积．
18、（10分）如图，已知直线和上一点，用尺规作的垂线，使它经过点．（保留作图痕迹，不写作法）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图是由 5 个边长为 1 的正方形组成了“十”字型对称图形，则图中∠BAC 的度数是_________．
20、（4分）如图，在矩形中，，，是边的中点，点是边上的一动点，将沿折叠，使得点落在处，连接，，当点落在矩形的对称轴上，则的值为______．
21、（4分）商店购进一批文具盒，进价每个4元，零售价每个6元，为促销决定打折销售，但利润率仍然不低于20%，那么该文具盒实际价格最多可打___________折销售
22、（4分）若点在正比例函数的图象上，则__________.
23、（4分）如图，直线 与轴交于点 ，依次作正方形 、正方形 、……正方形 ，使得点、…， 在直线 上，点 在轴上，则点 的坐标是________
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）试判断四边形AECF的形状；
（2）若AE=BE，∠BAC=90°，求证：四边形AECF是菱形．
25、（10分）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象l1分别与x轴，y轴交于A（15，0），B两点，正比例函数y=x的图象l2与l1交于点C（m，3）．
（1）求m的值及l1所对应的一次函数表达式；
（2）根据图象，请直接写出在第一象限内，当一次函数y=kx+b的值大于正比例函数y=x的值时，自变量x的取值范围．
26、（12分）已知中，其中两边的长分别是3，5，求第三边的长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据根与系数的关系，可得答案．
【详解】
解：A、x1+x2＝，x1•x2＝，故A错误；
B、x1＝＝，x2＝＝，故B错误；
C、x1＝＝＞0，x2＝＝＞0，故C错误；
D、x1＝＝＞0，x2＝＝＞0，故D正确；
故选：D．
本题考查查了根与系数的关系，利用根与系数的关系是解题关键．
2、D
【解析】
根据配方法的原理，凑成完全平方式即可.
【详解】
解：
，
，
，
故选：D．
本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积.
3、B
【解析】
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】
解：、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
、，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
故选：B．
此题主要考查了勾股定理逆定理以及勾股数，解答此题掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
4、D
【解析】
①中，k=-2<0；②中，k=-1<0；③中，k=-<0；④中，k=-<0.
根据一次函数y=kx+b（k≠0）的性质，k<0时，y随x的增大而减小．
故①②③④都符合.
故选D.
点睛：本题考查一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
5、C
【解析】
根据平行四边形的判定方法即可一一判断；
【详解】
A、由①②可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
B、由①③可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
C、由①④无法判定四边形ABCD是平行四边形，可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
D、由②④可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：C．
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
6、B
【解析】
如图，作DH⊥OB于H．利用角平分线的性质定理即可解决问题．
【详解】
如图，作DH⊥OB于H．
∵OC平分∠AOB，DE⊥OA，DH⊥OB，
∴DE=DH=4，
故选B．
本题考查角平分线的性质定理，解题的关键是学会添加常用辅助线．
7、C
【解析】
根据一次函数的性质列式求解即可.
【详解】
由题意得
，
∴ 0＜k＜3.
故选C.
本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限．
8、A
【解析】
首先根据频数=总数×频率，求得第五组频数；
再根据各组的频数和等于总数，求得第六组的频数：根据题意，得
第五组频数是50×0.2=1，
故第六组的频数是50-5-7-8-1-1=1．
故选A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1﹣1
【解析】
取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG，依据∠ADB=30°，可得PGDG=1，依据∠DHO=90°，可得点H在以OD为直径的⊙G上，再根据AH+HG≥AG，即可得到当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，根据勾股定理求得AG的长，即可得出AH的最小值．
【详解】
如图，取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG．
∵AB=4，BC=4AD，∴BD8，∴BD=1AB，DO=4，HG=1，∴∠ADB=30°，∴PGDG=1，∴PD，AP=3．
∵DH⊥OF，∴∠DHO=90°，∴点H在以OD为直径的⊙G上．
∵AH+HG≥AG，∴当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，此时，Rt△APG中，AG，∴AH=AG﹣HG=11，即AH的最小值为11．
故答案为11．
本题考查了圆和矩形的性质，勾股定理的综合运用，解决问题的关键是根据∠DHO=90°，得出点H在以OD为直径的⊙G上．
10、
【解析】
根据菱形的性质可知，，然后利用即可得出答案．
【详解】
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴
∴
故答案为：．
本题主要考查菱形的性质及向量的运算，掌握菱形的性质及向量的运算法则是解题的关键．
11、或
【解析】
根据题意，先求出点A、B的坐标，然后得到点C的坐标，由等腰三角形的性质，进行分类讨论，即可求出k的值.
【详解】
解：根据题意，有则，
解得：
同理可得：
为等腰三角形，
当时，
即
整理得
解得或（舍去）；
当时，
即
整理得，
解得或（舍）.
故答案为：或.
本题利用反比例函数与一次函数交点特征将点坐标用含 的式子表示出来，对等腰三角形的腰进行分类讨论.属于常考题型
12、－4或1
【解析】
分析：点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于x轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x的值．
解答：解：∵点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，
∴|x-1|=5，
解得x=-4或1．
故答案为-4或1．
13、
【解析】
作BM⊥FC于M,CN⊥AB于N，根据矩形的性质得到BM=CN,再根据直角三角形的性质求出AB，再根据勾股定理求出BC，结合图形即可求解.
【详解】
作BM⊥FC于M,CN⊥AB于N，
∵AB∥CF,
∴四边形BMCN是矩形，∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM=CN,
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=4，
由勾股定理得BC=
∴BM=CN=BC=
由勾股定理得CM=
∵∠EDF=45°，∴DM=BM=
∴CD=CM-DM=
此题主要考查矩形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、含30°的直角三角形及等腰直角三角形的性质.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析
【解析】
分析：题设作为已知条件，结论作为求证，画出图形，写出已知，求证，然后证明即可．
详解：
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：连结AC
在ΔABC和ΔCDA中．
∵AB=CD，BC=DA，AC=CA，
∴ ΔABC≌ΔCDA，
∴ ∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD，
∴ AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点睛：本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握命题的证明方法，学会写已知求证，属于中考常考题型．
15、 甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【解析】
【分析】设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）)元根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进行求解即可；
设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式进行求解即可．
【详解】设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
甲乙两种商品的销售量为，
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
，
解得，
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键.
16、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据矩形的性质可得AD=BC，AB=DC，AD∥BC，∠BAD=90°，从而得出∠GDB=∠DBC，然后根据折叠的性质可得BC= BC′,∠GBD=∠DBC，从而得出AD= BC′，∠GBD=∠GDB，然后根据等角对等边可得GD=GB，即可证出结论；
（2）设GD=GB=x，利用勾股定理列出方程即可求出GD的长，然后根据三角形的面积公式求面积即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，AB=DC，AD∥BC，∠BAD=90°
∴∠GDB=∠DBC
由折叠的性质可得BC= BC′,∠GBD=∠DBC
∴AD= BC′，∠GBD=∠GDB
∴GD=GB
∴AD－GD= BC′－GB
∴AG＝C′G；
（2）解：设GD=GB=x，则AG=AD－GD=8－x
在Rt△ABG中
即
解得：
即
∴S△BDG=
此题考查的是矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理和求三角形的面积，掌握矩形的性质、折叠的性质、等角对等边、利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
17、（1）是；（2）或．
【解析】
（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，进而求出答案．
【详解】
解：（1），
三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；
（2）中，，，点为的中点，是常态三角形，
当，时，
解得：，
则，
故，
则的面积为：．
当，时，
解得：，
则，
故，
则的面积为：．
故的面积为或．
此题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．
18、见解析
【解析】
根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．
【详解】
解：如图所示．
本题考查了作图-基本作图，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、45.
【解析】
连接BC，通过计算可得AB=BC，再利用勾股定理逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，从而得出结果.
【详解】
解：连接BC，因为每个小正方形的边长都是1，
由勾股定理可得，，，
∴AB=BC，，
∴∠ABC=90°.
∴∠BAC=∠BCA=45°.
故答案为45°.
本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是连接BC，构造等腰直角三角形，而通过作辅助线构造特殊三角形也是解决角度问题的常见思路和方法.
20、2
【解析】
根据旋转的性质在三角形EHG中,利用30°角的特殊性得到∠EGH=30°,再利用对称性进行解题即可.
【详解】
解：如下图过点E作EH垂直对称轴与H，连接BG，
∵，，
∴BE=EG=1,EH=,
∴∠EGH=30°,
∴∠BEG=30°,
由旋转可知∠BEF=15°,BG⊥EF,
∴∠EBG=75°,∠GBF=∠BCG=15°,即
∴m=2
故答案是:2
本题考查了图形旋转的性质,中垂线的性质,直角三角形中30°的特殊性,熟悉30°角的特殊性是解题关键.
21、8
【解析】
设该文具盒实际价格可打x折销售，根据利润率不低于20%列不等式进行求解即可得.
【详解】
设该文具盒实际价格可打x折销售，由题意得：
6×-4≥4×20%，
解得：x≥8，
故答案为8.
本题考查了一元一次不等式的应用，弄清题意，找准不等关系列出不等式是解题的关键.
22、
【解析】
将y=1代入正比例函数y=-2x求出m值，此题得解．
【详解】
将y=1代入正比例函数y=-2x中得：
1=-2m
解得：m=
故答案是：.
考查了一次函数图象上点的坐标特征，将y=1代入正比例函数y=-2x求出m值是解题的关键．
23、（22019-1，22018）
【解析】
先求出直线y=x+1与y轴的交点坐标即可得出A1的坐标，故可得出OA1的长，根据四边形A1B1C1O是正方形即可得出B1的坐标，再把B1的横坐标代入直线y=x+1即可得出A1的坐标，同理可得出B2，B3的坐标，可以得到规律：Bn（2n-1，2n-1），据此即可求解点B2019的坐标．
【详解】
解：∵令x=0，则y=1，
∴A1（0，1），
∴OA1=1．
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴A1B1=1，
∴B1（1，1）．
∵当x=1时，y=1+1=2，
∴B2（3，2）；
同理可得，B3（7，4）；
∴B1的纵坐标是：1=20，B1的横坐标是：1=21-1，
∴B2的纵坐标是：2=21，B2的横坐标是：3=22-1，
∴B3的纵坐标是：4=22，B3的横坐标是：7=23-1，
∴Bn的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1，
则Bn（2n-1，2n-1），
∴点B2019的坐标是（22019-1，22018）．
故答案为：（22019-1，22018）．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质和坐标的变化规律．此题难度较大，注意正确得到点的坐标的规律是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）四边形AECF为平行四边形；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）四边形AECF为平行四边形．通过平行四边形的判定定理“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论：四边形AECF为平行四边形．
（2）根据直角△BAC中角与边间的关系证得△AEC是等腰三角形，即平行四边形AECF的邻边AE=EC，易证四边形AECF是菱形．
（1）解：四边形AECF为平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
又∵BE=DF，∴AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）证明：∵AE=BE，∴∠B=∠BAE，
又∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BCA=90°，∠CAE+∠BAE=90°，
∴∠BCA=∠CAE，
∴AE=CE，
又∵四边形AECF为平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
25、（1）m=1，l1的解析式为y=-x+5；（2）自变量x的取值范围是0＜x＜1．
【解析】
（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l1的解析式；
（2）根据函数图象，结合C点的坐标即可求得．
【详解】
解：（1）把C（m，3）代入正比例函数y=x，可得3=m，
解得m=1，
∴C（1，3），
∵一次函数y=kx+b的图象l1分别过A（15，0），C（1，3），
∴ 解得，
∴l1的解析式为y=-x+5；
（2）由图象可知：第一象限内，一次函数y=kx+b的值大于正比例函数y=x的值时，自变量x的取值范围是0＜x＜1．
故答案为（1）m=1，l1的解析式为y=-x+5；（2）自变量x的取值范围是0＜x＜1．
本题考查两条直线相交或平行问题，关键是掌握待定系数法求函数解析式．
26、4或
【解析】
分5是斜边长、5是直角边长两种情况，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：当5是斜边长时，第三边长，
当5是直角边长时，第三边长，
则第三边长为4或．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分