浙江省湖州市南浔区实验学校2025届九年级数学第一学期开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份浙江省湖州市南浔区实验学校2025届九年级数学第一学期开学学业水平测试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在中，若斜边，则边上的中线的长为( )
A．1B．2C．D．
2、（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝±2B．+＝C．÷＝2D．＝4
3、（4分）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为
A．(2n，2n-1)B．(，)C．(2n+1，2n)D．（，）
4、（4分）若关于x的一元二次方程kx2+2x–1=0有实数根，则实数k的取值范围是
A．k≥–1B．k>–1
C．k≥–1且k≠0D．k>–1且k≠0
5、（4分）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图，直线y＝k1x与直线y＝k2x+b相交于点（1，﹣1），则不等式k1x＜k2x+b的解集是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x＞﹣1D．x＜﹣1
8、（4分）已知是一元二次方程的一个实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若二次根式有意义，则的取值范围是______.
10、（4分）若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为 ．
11、（4分）如图，菱形的周长为20，对角线的长为6，则对角线的长为______.
12、（4分）如图，是内的一点，，点分别在的两边上，周长的最小值是____．
13、（4分）每张电影票的售价为10元，某日共售出x张票，票房收入为y元，在这一问题中，_____是常量，_____是变量．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某智能手机越来越受到大众的喜爱，各种款式相继投放市场，某店经营的A款手机去年销售总额为50000元，今年每部销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
已知A，B两款手机的进货和销售价格如下表：
（1）今年A款手机每部售价多少元？
（2）该店计划新进一批A款手机和B款手机共90部，且B款手机的进货数量不超过A款手机数量的两倍，应如何进货才能使这批手机获利最多？
15、（8分）在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAB=60°，且AB=4，求OE的长．
16、（8分）如图，是的中线，点是线段上一点(不与点重合).过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，连接、.
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)判断线段、的关系，并说明理由.
17、（10分）如图，在矩形ABCD中AD=12，AB=9，E为AD的中点，G是DC上一点，连接BE，BG，GE，并延长GE交BA的延长线于点F，GC=5
（1）求BG的长度；
（2）求证：是直角三角形
（3）求证：
18、（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于A（-3，2），B（n，4）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点C（-1，0）是轴上一点，求△ABC的面积．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是_____．
20、（4分）在函数y=中，自变量x的取值范围是_______．
21、（4分）如图，已知△ABC∽△ADB，若AD＝2，CD＝2，则AB的长为_____．
22、（4分）若实数x，y满足＋(y＋)2＝0，则yx的值为________.
23、（4分）内角和等于外角和2倍的多边形是__________边形．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，已知：AD为△ABC的中线，过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE和CF，E、F为垂足，过点E作EG∥AB交BC于点H，连结HF并延长交AB于点P．
（1）求证：DE=DF
（2）若；①求：的值；②求证：四边形HGAP为平行四边形．
25、（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1．求AC的长．
26、（12分）如图，矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D分别在x轴，y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足S△POB＝S矩形OBCD，问：
（1）当点P在矩形的对角线OC上，求点P的坐标；
（2）当点P到O，B两点的距离之和PO+PB取最小值时，求点P的坐标．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AC．
【详解】
∵BD是斜边AC边上的中线，
∴BD=AC=×=.
故选D.
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
2、C
【解析】
根据算术平方根定义、二次根式的加法、除法和二次根式的性质逐一计算即可得．
【详解】
解：A、＝2，此选项错误；
B、、不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C、＝2÷＝2，此选项正确；
D、＝2，此选项错误；
故选：C．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握算术平方根定义、二次根式的加法、除法和二次根式的性质．
3、B
【解析】
先根据题意求出点A2的坐标，再根据点A2的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标．
【详解】
∵
∴
∵过点作轴的垂线，交直线于点
∴
∵
∴
∵过点作轴的垂线，交直线于点
∴
∵点与点关于直线对称
∴
以此类推便可求得点An的坐标为，点Bn的坐标为
故答案为：B．
本题考查了坐标点的规律题，掌握坐标点的规律、轴对称的性质是解题的关键．
4、C
【解析】
解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=1有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=4+4k≥1，且k≠1，解得：k≥﹣1且k≠1．故选C．
点睛：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于1，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于1，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于1，方程没有实数根．
5、C
【解析】
中，,所以y随x的增大而减小，依据三点的x值的大小即可确定y值的大小关系.
【详解】
解：
y随x的增大而减小
又
故答案为：C
本题考查了一次函数的性质，正确理解并应用其性质是解题的关键.
6、A
【解析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】
A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝，不符合题意；
C、＝3，不符合题意；
D、＝2，不符合题意；
故选A．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
7、A
【解析】
由图象得到直线y＝k1x与直线y＝k2x+b相交于点（1，﹣1），观察直线y＝k1x落在直线y＝k2x+b的下方对应的x的取值即为所求．
【详解】
.解：∵直线y＝k1x与直线y＝k2x+b相交于点（1，﹣1），
∴当x＞1时，k1x＜k2x+b，即k1x＜k2x+b的解集为x＞1，
故选：A．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8、B
【解析】
设u=，利用求根公式得到关于u的两个一元二次方程，并且这两个方程都有实根，所以由判别式大于或等于1即可得到ab≤．
【详解】
因为方程有实数解，故b2-4ac≥1．
由题意有：或,设u=，
则有2au2-u+b=1或2au2+u+b=1，（a≠1），
因为以上关于u的两个一元二次方程有实数解，
所以两个方程的判别式都大于或等于1，即得到1-8ab≥1，
所以ab≤．
故选B．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1，a，b，c为常数）的求根公式：x=（b2-4ac≥1）.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求解.
【详解】
依题意得a+1≥0，解得
故填：
此题主要考查二次根式的定义，解题的关键是熟知被开方数为非负数.
10、30
【解析】
解：先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用面积公式求得面积．
解：∵52+122=132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为×5×12=30
11、8
【解析】
利用菱形的性质根据勾股定理求得AO的长，然后求得AC的长即可．
【详解】
如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO
∵BD=6，
∴BO=3，
∵周长为20，
∴AB=5，
由勾股定理得：AO==4，
∴AC=8，
故答案为：8
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是菱形问题转化为直角三角形问题求解．
12、
【解析】
根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，根据两点之间线段最短得到MN即为△PQR周长的最小值，然后证明△MON为等腰直角三角形，利用勾股定理求出MN即可．
【详解】
解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON，连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件且△PQR的周长等于MN，
由轴对称的性质可得：OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，
∴∠MON＝∠MOP＋∠NOP＝2∠AOB＝90°，
∴△MON为等腰直角三角形．
∴MN＝，
所以△PQR周长的最小值为，
故答案为：．
此题考查了轴对称最短路径问题，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，根据题意构造出对称点，转化为直角三角形的问题是解题的关键．
13、电影票的售价 电影票的张数，票房收入．
【解析】
根据常量，变量的定义进行填空即可．
【详解】
解：常量是电影票的售价，变量是电影票的张数，票房收入，
故答案为：电影票的售价；电影票的张数，票房收入．
本题考查了常量和变量，掌握常量和变量的定义是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）今年A款手机每部售价1600元；（2）当新进A款手机30部，B款手机60部时，这批手机获利最大．
【解析】
(1)设今年A款手机每部售价x元，则去年售价每部为(x+400)元，根据今年与去年卖出的数量相同列方程进行求解即可；
(2)设今年新进A款手机a部，则B款手机(90-a)部，获利y元，根据利润=售价-进价可得y与a的函数关系式，求得a的取值范围，再根据函数的性质即可求得最大值，进而确定出如何进货才能获得最多.
【详解】
(1)设今年A款手机每部售价x元，则去年售价每部为(x+400)元，
由题意，得，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原方程的根，
答：今年A款手机每部售价1600元；
(2)设今年新进A款手机a部，则B款手机(90-a)部，获利y元，
由题意，得y=(1600-1100)a+(2000-1400)(90-a)=-100a+54000，
∵B款手机的进货数量不超过A款手机数量的两倍，
∴90-2a≤2a，
∴a≥30，
∵y=-100a+54000，
-100<0，
∴y随着a的增大而减小，
∴a=30时，y有最大值，此时y=51000，
∴B款手机的数量为：90-30=60部，
答：当新进A款手机30部，B款手机60部时，这批手机获利最大．
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出分式方程以及函数解析式并灵活运用函数的性质是解题的关键.
15、 (1)证明见解析；(1)1.
【解析】
（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可；
（1）根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】
(1)∵AB∥DC，
∴∠CAB＝∠ACD．
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠CAD．
∴∠CAD＝∠ACD，
∴DA＝DC．
∵AB＝AD，
∴AB＝DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB＝AD，
∴四边形 ABCD是菱形；
(1)∵四边形 ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴∠OAB＝30，∠AOB＝90°．
∵AB＝4，
∴OB＝1，AO＝OC＝1．
∵CE∥DB，
∴四边形 DBEC是平行四边形．
∴CE＝DB＝4，∠ACE＝90°．
∴.
本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
16、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BD//AE，BD=AE.
【解析】
（1）根据平行线的性质得到∠ABC=∠EKC，∠AMB=∠ECK，得到△ABM∽△EKC；
（2）根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；
（3）根据相似三角形的性质得到DE=AB，得到四边形ABDE是平行四边形，根据平行是四边形的性质解答．
【详解】
(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)证明：∵，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴；
(3)解：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，.
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17、（1）13（2）见解析（3）见解析
【解析】
（1）在Rt△BCG中利用勾股定理即可求解；
（2）利用勾股定理依次求出BE,EG，再利用勾股定理逆定理即可证明；
（3）由E点为AD中点得到E为FG中点，再根据BE⊥FG得到△BFG为等腰三角形，得到∠F=∠BGF，再根据平行线的性质即可证明.
【详解】
（1）∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=12，∠C=90°，
∴BG=
（2）∵E为AD中点，∴AE=DE=6，
∴BE=
∵DG=CD-GC=4，
∴EG=
∴BG2=DG2+EG2,
∴是直角三角形
（3）∵AE=DE，∠FAE=∠D=90°，又∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG，
∴E为EG中点，又BE⊥FG，
∴△BFG为等腰三角形，
∴∠F=∠BGF，
又BF∥CD，
∴∠F=
∴
此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知勾股定理与全等三角形的判定定理.
18、（1），；（2）．
【解析】
（1）把A点坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，再求出B点坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；
（2）由面积的和差关系可求解．
【详解】
（1）∵点A（﹣3，2）在反比例函数y（x＜0）的图象上，∴m=﹣3×2=﹣6，∴反比例函数解析式为：y．
∵点B（n，4）在反比例函数y（x＜0）的图象，∴n，∴点B（，4）．
∵点A，点B在一次函数y=kx+b的图象上，∴，解得：，∴一次函数解析式为：yx+6；
（2）设一次函数与x轴交于点D．在yx+6中，令y=0，解得：x=－4.1．
∵C（－1，0），∴CD=3.1，∴S△ABC = S△DBC－S△ADC==．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，三角形的面积，用待定系数法求函数的图象，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、对角线互相平分
【解析】
先逐一分析出矩形、菱形、正方形的对角的性质，再综合考虑矩形、菱形、正方形对角线的共同性质．
【详解】
解：因为矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．
故答案为对角线互相平分．
本题主要考查了矩形、菱形、正方形的性质，解题的关键是熟知三者对角线的性质．
20、x≥﹣2且x≠0
【解析】
根据题意得x+2≥0且x≠0，即x≥-2且x≠0.
21、2．
【解析】
利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
∵△ABC∽△ADB，
∴,
∴AB2＝AD•AC＝2×4＝8，
∵AB＞0，
∴AB＝2，
故答案为：2．
此题考查相似三角形的性质定理，相似三角形的对应边成比例.
22、3
【解析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解答
【详解】
根据题意得：
解得：
则yx=（） =3
故答案为：3
此题考查非负数的性质，掌握运算法则是解题关键
23、六
【解析】
设多边形有n条边，则内角和为180°（n-2），再根据内角和等于外角和2倍可得方程180（n-2）=360×2，再解方程即可．
【详解】
解：设多边形有n条边，由题意得：
180（n-2）=360×2，
解得：n=6，
故答案为：六．
本题考查多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n-2）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）①，②见解析.
【解析】
（1）根据AD是△ABC的中线得到BD＝CD，根据对顶角相等得到∠FDC＝∠EDB，又因为∠DFC＝∠DEB＝90°，即可证得△BDE≌△CDF，继而证出DE=DF；（2）设BH＝11x，HC＝5x，则BD＝CD＝BC＝8x，DH＝3x，HC＝5x，根据EH∥AB可得△EDH∽△ADB，再根据相似三角形对应边成比例以及DE＝DF得到的值；②进一步求出的值，得到，再根据平行线分线段成比例定理证得FH∥AC ，即PH∥AC，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形这一定理即可证得四边形HGAP为平行四边形．
【详解】
解：（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，
∵∠FDC和∠EDB是对顶角，∴∠FDC＝∠EDB ，
又∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠DFC＝∠DEB＝90°，
∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE=DF.
（2）设则
① ∵EH∥AB
∴△EDH∽△ADB ∴∵
∴
②∵ ∴∵∴FH∥AC ∴PH∥AC
∵EG∥AB∴四边形HGAP为平行四边形
本题主要考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌握数形结合的思想并学会灵活运用知识点.
25、AC＝
【解析】
根据勾股定理求出BD，设AC＝x，得到AD＝x﹣6，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
【详解】
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝＝6，
设AC＝AB＝x，则AD＝x﹣6，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，即x2＝（x﹣6）2+12，
解得，x＝，即AC＝．
本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运用.
26、（1）P（，2）；（2）（，2）或（﹣，2）
【解析】
（1）根据已知条件得到C（5，3），设直线OC的解析式为y＝kx，求得直线OC的解析式为y＝x，设P（m，m），根据S△POB＝S矩形OBCD，列方程即可得到结论；
（2）设点P的纵坐标为h，得到点P在直线y＝2或y＝﹣2的直线上，作B关于直线y＝2的对称点E，则点E的坐标为（5，4），连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，设直线OE的解析式为y＝nx，于是得到结论．
【详解】
（1）如图：
∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，
∴C（5，3），
设直线OC的解析式为y＝kx，
∴3＝5k，
∴k＝，
∴直线OC的解析式为y＝x，
∵点P在矩形的对角线OC上，
∴设P（m，m），
∵S△POB＝S矩形OBCD，
∴5×m＝3×5，
∴m＝，
∴P（，2）；
（2）∵S△POB＝S矩形OBCD，
∴设点P的纵坐标为h，
∴h×5＝5，
∴h＝2，
∴点P在直线y＝2或y＝﹣2上，
作B关于直线y＝2的对称点E，
则点E的坐标为（5，4），
连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，
设直线OE的解析式为y＝nx，
∴4＝5n，
∴n＝，
∴直线OE的解析式为y＝x，
当y＝2时，x＝，
∴P（，2），
同理，点P在直线y＝﹣2上，
P（，﹣2），
∴点P的坐标为（，2）或（﹣，2）．
本题考查了轴对称——最短路线问题，矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的找到点P在位置是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
A款手机
B款手机
进货价格（元）
1100
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2000