浙江省杭州市上城区2024年九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份浙江省杭州市上城区2024年九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，过正方形的顶点作直线，点、到直线的距离分别为和，则的长为( )
A．B．C．D．
2、（4分）某企业1~5月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（ ）.
A．1~2月份利润的增长快于2~3月份利润的增长
B．1~4月份利润的极差与1~5月份利润的极差不同
C．1~5月份利润的众数是130万元
D．1~5月份利润的中位数为120万元
3、（4分）平行四边形的一边长为10，则它的两条对角线长可以是( )
A．10和12B．12和32C．6和8D．8和10
4、（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）若分式 的值为0，则的值等于
A．0B．3C．-3D．3
6、（4分）如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是( )
A．3B．6C．D．
7、（4分）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是
A．x1=1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=﹣1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3
8、（4分）分式：①；②；③；④中，最简分式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如果代数式有意义，那么字母x的取值范围是_____．
10、（4分）如图，在正方形ABCD的外侧作等边△DEC，则∠AEB=_________度．
11、（4分）当x______时，分式有意义.
12、（4分）定义一种运算法则“”如下：，例如：，若，则的取值范围是____________.
13、（4分）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时恰为等边三角形，则重叠部分的面积为_________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）解方程：（1）2x 2＋4x＋2＝0； （2） x 2 x  4  0
15、（8分）如图,在正方形内任取一点 ，连接，在⊿外分别以为边作正方形和.
⑴.按题意，在图中补全符合条件的图形；
⑵.连接，求证：⊿≌⊿；
⑶.在补全的图形中，求证:∥.
16、（8分）列方程（组）及不等式（组）解应用题：
水是生命之源.为了鼓励市民节约用水，江夏区水务部门实行居民用水阶梯式计量水价政策；若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，但每立方米污水处理费不变.
下面表格是某居民小区4月份甲、乙两户居民生活用水量及缴纳生活用水水费的情况统计：
4月份居民用水情况统计表
（注：污水处理的立方数=实际生活用水的立方数）
（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少？
（2）设这个小区某居民用户5月份用水立方米，需要缴纳的生活用水水费为元.若他5月份生活用水水费计划不超过64元，该用户5月份最多可用水多少立方米？
17、（10分）如图，在 ABC ，C  90，AC＜BC，D 为 BC 上一点，且到 A、B 两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点 D 的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结 AD，若 B  36 ，求∠CAD 的度数．
18、（10分）已知一次函数，完成下列问题：
（1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象；
（2）根据图象回答：当______时，.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则四边形ABCD为平行四边形，请你写出判断的依据_____．
20、（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，且，则k的值为_____________．
21、（4分）因式分解：____．
22、（4分）已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简： +|a﹣1|=_____．
23、（4分）某工厂为满足市场需要，准备生产一种大型机械设备，已知生产一台这种大型机械设备需，，三种配件共个，且要求所需配件数量不得超过个，配件数量恰好是配件数量的倍，配件数量不得低于，两配件数量之和.该工厂准备生产这种大型机械设备台，同时决定把生产，，三种配件的任务交给一车间.经过试验，发现一车间工人的生产能力情况是：每个工人每天可生产个配件或个配件或个配件.若一车间安排一批工人恰好天能完成此次生产任务，则生产一台这种大型机械设备所需配件的数量是_______个.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）A城有肥料400t，B城有肥料600t，现要把这些肥料全部运往C、D两乡，所需运费如下表所示：
现C乡需要肥料480t，D乡需要肥料520t．
（1）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元；
①求B城运往C、D两乡的肥料分别为多少吨？（用含x的式子表示）．
②写出y关于x的函数解析式，并求出最少总运费．
（2）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少m元（0＜m＜6），这时怎样调运才能使总运费最少？
25、（10分）如图，在中，点是边上的一点，且，过点作于点，交于点，连接、.
（1）若，求证：平分；
（2）若点是边上的中点，求证：
26、（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
先证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF=1，在Rt△ABE中利用勾股定理可得AB=2，由此可得AC长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AC，∠ABC=90°．
∵∠ABE+∠EAB=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF．
又∠AEB=∠CFB=90°，
∴△ABE≌BCF（AAS）．
∴BE=CF=1．
在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AB=＝=2．
则AC=AB=2．
故选A．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是通过全等转化线段使其划归于一直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．
2、C
【解析】
根据折线图1～2月以及2～3月的倾斜程度可以得出：
2～3月份利润的增长快于1～2月份利润的增长；故A选项错误，
1～4月份利润的极差为：130-100=30，1～5月份利润的极差为：130-100=30；故B选项错误；
根据只有130出现次数最多，∴130万元是众数，故C选项正确；
1～5月份利润的中位数是：从小到大排列后115万元位于最中间，故D选项错误
3、A
【解析】
根据平行四边形的性质推出OA=OC=AC，OB=OD=BD，求出每个选项中OA和OB的值，再判断OA、OB、AD的值是否能组成三角形即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
A、∵AC=10，BD=12，∴OA=5，OD=6，∵6-5＜10＜6+5，∴此时能组成三角形，故本选项符合题意；
B、∵AC=12，BD=32，∴OA=6，OD=16，∵16-6=10，∴此时不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵AC=6，BD=8，∴OA=3，OD=4，∵3+4＜10，∴此时不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、∵AC=8，BD=10，∴OA=4，OD=5，∵4+5＜10，∴此时不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
本题考查了三角形的三边关系定理和平行四边形的性质，关键是判断OA、OB、AD的值是否符合三角形的三边关系定理．
4、D
【解析】
试题分析：根据二次根式的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-2≥0，即x≥2.
故选D
5、C
【解析】
根据分式的值为零，则分子为零分母不为零，进而得出答案．
【详解】
解：∵分式的值为0，
∴x2−9＝0，x−1≠0，
解得：x＝−1．
故选：C．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确记忆分子与分母的关系是解题关键．
6、D
【解析】
由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式，所以.
故选D.
7、D
【解析】
将x1=1，x2=﹣3代入到方程中，对比前后的方程解的关系，即可列出新的方程.
【详解】
将x1=1，x2=﹣3代入到x2+2x﹣3=0得
12+2×1﹣3=0，（-3）2+2×（-3）﹣3=0
对比方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，可得
2x+3=1或﹣3
解得：x1=﹣1，x2=﹣3
故选D.
此题考查的是方程的解，掌握前后方程解的关系是解决此题的关键.
8、B
【解析】
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】
解：①④中分子分母没有公因式，是最简分式；
②中有公因式（a﹣b）；
③中有公约数4；
故①和④是最简分式．
故选：B
最简分式就是分式的分子和分母没有公因式，也可理解为分式的分子和分母的最大公因式为1．所以判断一个分式是否为最简分式，关键是要看分式的分子和分母的最大公因式是否为1．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x⩾−2且x≠1
【解析】
先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【详解】
∵代数式有意义，
∴，
解得x⩾−2且x≠1．
故答案为：x⩾−2且x≠1．
本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件和二次根式有意义的条件.
10、1
【解析】
根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，由此可以求出∠DEA，同理求出∠CEB即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AD，
∵△DCE是正三角形，
∴DE＝DC＝AD，∠CDE＝∠DEC＝60°，
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE＝90°＋60°＝150°，
∴∠DAE＝∠DEA＝＝15°，
同理可得：∠CBE＝∠CEB＝15°，
∴∠AEB＝∠DEC―∠DEA―∠CEB＝60°－15°－15°＝1°，
故答案为：1．
此题主要考查了正方形和等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，灵活运用相关性质定理是解题的关键．
11、≠
【解析】
试题分析：分式有意义的条件：分式的分母不为0时，分式才有意义.
由题意得，．
考点：分式有意义的条件
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式有意义的条件，即可完成.
12、
【解析】
根据新定义列出不等式即可求解.
【详解】
依题意得-3x+5≤11
解得
故答案为：.
此题主要考查列不等式，解题的关键是根据题意列出不等式进行求解.
13、
【解析】
首先根据等边三角形的性质可得A B'=AE=E B'，∠B'=∠B'EA=60°，根据折叠的性质，∠BCA=∠B'CA，，再证明∠B'AC=90°，再证得S△AEC=S△AEB'，再求S△A B'C进而可得答案．
【详解】
解：∵为等边三角形，
∴A B'=AE=E B'，∠B'=∠B'EA=60°，
根据折叠的性质，∠BCA=∠B'CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠B'EA=∠B'CB，∠EAC=∠BCA，
∴∠ECA=∠BCA=30°,
∴∠EAC=30°，
∴∠B'AC=90°，
∵,
∴B'C=8,
∴AC==,
∵B'E=AE=EC,
∴S△AEC=S△AEB'= S△A B'C= × ×4×=,
故答案为.
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）.
【解析】
（1）方程两边同时除以2，得x 2＋2x＋1＝0，再按完全平方公式求解；
（2）方程两边同时乘以2，得x 2－2 x－8=0，再用分解因式法或公式法求解.
【详解】
解：（1）方程两边同时除以2，得x 2＋2x＋1=0，
∴.
∴x1=x2=－1.
（2）方程两边同时乘以2，得x 2－2x－8=0，
∴（x－4）（x+2）=0.
∴x1=4，x2=－2.
本题考查了一元二次方程的解法，对于（1）题，用完全平方公式法要简单，对于（2）题，用公式法和分解因式法都可以，但分解因式法要简单些，所以对于单纯的解方程题目，要先观察，确定较为简捷的解法，再动手求解.
15、（1）补全图形见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
分析：⑴问要注意“在⊿外”作正方形；
本题的⑵问根据正方形的性质得出的结论为三角形全等提供条件，比较简单；
本题额⑶问可以连接正方形的对角线后，然后利用“内错角相等，两直线平行.”来证明.
详解：⑴.如图1，在⊿外分别以为边作正方形和.（要注意是在“⊿外”作正方形，见图1）
⑵.在图1的基础上连接.
∵四边形 、和都是正方形
∴

∴
∴
∴⊿≌⊿（ ）
⑶. 继续在图1的基础上连接.（见图2）
∵四边形是正方形，且已证
∴

∴
∵⊿≌⊿
∴
∴
∴ 即
∴∥.
点睛：本题的⑴问要注意的是在“在⊿外”作正方形，所以不要作在三角形内部；本题的⑵问主要是利用正方形提供的条件来证明两个三角形全等，比较简单，常规证法；本题的⑶问巧妙利用与正方形的对角线构成的内错角来提供平行的条件，需正方形和全等三角形来综合提供.
16、（1）每立方米的基本水价为2.45元；每立方米的污水处理费是1元；（2）该用户5月份最多可用水15立方米.
【解析】
（1）设每立方米的基本水价为元；每立方米的污水处理费是元.根据题意列出方程组即可解答
（2）由（1）可列出不等式，即可解答
【详解】
（1）设每立方米的基本水价为元；每立方米的污水处理费是元.
依题意：
解之得：
答：每立方米的基本水价为2.45元；每立方米的污水处理费是1元.
（2）根据题意得：
∵ ∴
根据题意得：
∴
解得：
答：设该用户5月份最多可用水15立方米.
此题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于列出方程
17、 (1)作图见解析；（2）18°
【解析】
分析：（1）根据“到A，B两点的距离相等”可知点D在线段AB的中垂线上，据此作AB中垂线与BC交点可得；
（2）先根据直角三角形的性质得∠CAB=54°，再由DA=DB知∠B=∠DAB=36°，从而根据∠CAD=∠CAB﹣∠DAB可得答案．
详解：（1）如图所示，点D即为所求；

（2）在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=36°，∴∠CAB=54°，由（1）知DA=DB，∴∠B=∠DAB=36°，则∠CAD=∠CAB﹣∠DAB=18°．
点睛：本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等边对等角的性质．
18、（1）答案见解析；（2）＜1．
【解析】
（1）作出函数图象即可；
（2）观察图象即可求解．
【详解】
（1）画图如下：
（2）由图可知，当x＜1时，y＞1．
本题考查了一次函数图象与性质，一次函数与不等式之间的关系，利用数形结合思想解题是解决此类题型的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、两组对边分別平行的四边形是平行四边形
【解析】
根据平行四边形的判定方法即可求解.
【详解】
解：∵两块相同的含有30°角的三角尺
∴AD＝BC，AB＝CD，∠ADB＝∠DBC＝90°，∠ABD＝∠BDC＝30°
∴AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
依据为：两组对边分別平行的四边形是平行四边形；两组对边分別相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（写出一种即可）
故答案为两组对边分別平行的四边形是平行四边形；两组对边分別相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（写出一种即可）
此题主要考查平行四边形的的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理.
20、
【解析】
先根据解析式确定点A、B的坐标，再根据三角形的面积公式计算得出答案.
【详解】
令中y=0得x=-，令x=0得y=2，
∴点A（-，0），点B（0,2），
∴OA=，OB=2，
∵，
∴，
解得k=，
故答案为：.
此题考查一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积，正确理解OA、OB的长度是解题的关键.
21、
【解析】
先提取4，然后利用平方差公式计算．
【详解】
原式=4（m2-9）=4（m+3）（m-3），
故答案是：4（m+3）（m-3）
考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，一般有公因式会先提取公因式．
22、1﹣2a．
【解析】
利用数轴上a的位置，进而得出a和a-1的取值范围，进而化简即可．
【详解】
由数轴可得：﹣1＜a＜0，
则+|a﹣1|=﹣a+1﹣a=1﹣2a．
故答案为1﹣2a．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，绝对值得意义，正确化简二次根式是解题关键．
23、1．
【解析】
设生产一台这种大型机械设备需种配件x个，则需B种配件4x个，C种配件160-5x个，根据题意列不等式组可得 ；由题意可知车间1天可生产一台这种大型机械设备，设每天生产，，三种配件的工人数分别是a，b，c，由a，b，c都是正整数求解，即可得出答案．
【详解】
解：设生产一台这种大型机械设备需种配件x个，则需B种配件4x个，C种配件160-5x个，根据题意得
，解得，
由题意可知车间1天可生产一台这种大型机械设备，设每天生产，，三种配件的工人数分别是a，b，c，则
，解得 ，
因为a，b，c都是正整数，
所以a=1，b=2，c=2，
所以每天生产一台这种大型机械设备所需配件的数量是40×2=80（个），
这种大型机械设备台所需配件的数量是80×10=1（个）．
故答案为：1．
本题考查一元一次不等式组的应用，本题难点在于根据题意列不等式组求出x的取值范围．解题的关键是解一元一次不等式组得出x的取值范围．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）①B城运往C：（480-x）吨；B城运往D：（120+x）吨②当x=0时，y最小值1；（2）当0＜m＜4时，A运往D处400t，B运往C处480t，运往D处120t，总运费最少；m=4时，三种方案都可以，总运费都一样；4＜m＜6时，A运往C处400t，B运往C处80t，运往D处520t，总运费最少；
【解析】
（1）①根据题意列代数式即可；
②根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质解答即可；
（2）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，并得结论．
【详解】
解：（1）①B城运往C：（480-x）吨；B城运往D：（120+x）吨；
②根据题意得：y=20x+25（400-x）+15（480-x）+24（120+x），
即y=4x+1（0≤x≤400），
∵k=4＞0，
∴y随x的增大而增大，
当x=0时，y最小值1；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总费用为y，则：
y=（20-m）x+25（400-x）+15（480-x）+24（120+x），
即y=（4-m）x+1．
①当4-m＜0即4＜a＜6时，
y随x的增大而减小，
∴当x=400时y最少．
调运方案：A运往C处400t，B运往C处80t，运往D处520t；
②4-m=0即m=4时，无论x取多少y的值一样，符合要求的方案都可以；
③当4-m＞0，即0＜m＜4时，y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y最小．
调运方案：A运往D处400t，B运往C处480t，运往D处120t．
本题考查了一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到（2）需分类讨论，.
25、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）由四边形是平行四边形，，易证得，又由，可证得，即可证得平分；
（2）延长，交的延长线于点，易证得，又由，可得是的斜边上的中线，继而证得结论．
【详解】
证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
平分；
（2）如图，延长，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
点是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
26、10+1．
【解析】
先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=1．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
【详解】
∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=1．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD==1．
∵D是BC的中点，
∴BC=1CD=2．
在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB==1．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=2．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+1．
本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
用水量（立方米）
缴纳生活用水费用（元）
甲用户
8
27.6
乙用户
12
46.3
城市
A城
B城
运往C乡运费（元/t）
20
15
运往D乡运费（元/t）
25
24