闽侯县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份闽侯县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,,则( )
A.B.C.D.
2．已知直线的倾斜角的范围是,则此直线的斜率k的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．空间向量在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．若是空间中的一组基底,则下列可与向量,构成基底的向量是( )
A.B.C.D.
5．若，，且，的夹角的余弦值为，则等于( )
A.2B.C.或D.2或
6．如图,在棱长为1的正方体中,,,若平面,则线段MN的长度的最小值为( )
A.B.C.D.
7．平行六面体中，底面为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为( )
A.0B.C.D.
8．如图,在正方体中,,,则下列结论中正确的是( )
A.平面B.平面平面
C.平面D.平面内存在与EF平行的直线
二、多项选择题
9．若直线l的斜率,且过点,则直线l经过点( )
A.B.C.D.
10．如图,已知正方体的棱长为1,P为底面ABCD内（包括边界）的动点,则下列结论正确的是( )
A.存在点P,使平面
B.三棱锥的体积为定值
C.若,则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为
D.若点P是AD的中点,点Q是的中点,过P,Q作平面平面,则平面截正方体的截面面积为
11．已知单位向量i，j，k两两的夹角均为，且.若空间向量a满足，则有序实数组称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列说法正确的有( )
A.已知，，则
B.已知，，其中，则当且仅当时，向量a，b的夹角取得最小值
C.已知，，则
D.已知，，，则三棱锥的表面积
三、填空题
12．直线l的方向向量为,且l过点,则点到直线l的距离为________.
13．如图,的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知,,,则CD的长为________.
14．已知三棱锥的体积为6，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是________.
四、解答题
15．如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点.
(1)求点D到平面的距离；
(2)求直线到平面的距离.
16．已知平面直角坐标系中三点，，.
（1）求直线AB的斜率和倾斜角；
（2）若以A，B，C，D为顶点可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；
（3）若是线段AC上一动点，求的取值范围.
17．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，侧面平面，O，M分别为，的中点.
(1)证明：平面.
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点D，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由.
19．若,则称为n维空间向量集,为零向量,对于,任意,,定义:
①数乘运算:;
②加法运算:;
③数量积运算:;
④向量的模:,
对于中一组向量,若存在一组不同时为零的实数使得,则称这组向量线性相关,否则称为线性无关,
（1）对于,判断下列各组向量是否线性相关:
①,;
②,,;
（2）已知,,,线性无关,试判断,,,是否线性相关,并说明理由;
（3）证明:对于中的任意两个元素,,均有,
参考答案
1．答案：D
解析：由题意可得.
故选:D.
2．答案：D
解析：当直线的倾斜角时,直线的斜率,因,
则当时,,即,当时,,即,
所以直线的斜率k的取值范围是.
故选:D
3．答案：C
解析：，，
由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为，
故选：C.
4．答案：B
解析：由是空间中的一组基底,故,,两两不共线,
对A:有,故A错误;
对B:设,则有,
该方程无解,故可与构成基底,故B正确;
对C:有,故C错误;
对D:有,故D错误.
故选:B.
5．答案：C
解析：因为，，
所以，
解得：或.
故选：C.
6．答案：D
解析：如图,以点D为坐标原点,分别以DA,DC,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
则有,,,,,
依题意,,
,
于是,.
又因平面ABCD,平面ABCD,则,
又,,平面,故平面,
故平面的法向量可取为,
因平面,故,即.
则
,
因,故当时,.
故选:D.
7．答案：A
解析：由题意，，，
又，，
所以，即有，
故选：A.
8．答案：C
解析：因为为正方体,设正方体边长为2,
以为原点,为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
设平面的法向量为,
则,,令,则,
同理解得平面的法向量,
,,故A不正确;
,故B不正确;
,,,
,,所以,,
又,所以平面,C正确;
平面的一个法向量为,
,故D不正确;
故选:C
9．答案：BC
解析：直线l的斜率,且过点,
对于A,计算,故A错误;
对于B,计算,故B正确;
对于C,计算,故C正确;
对于D,计算,故D错误;
故选:BC
10．答案：ABC
解析：对于B,由等体积法,三棱锥的高为,
底面积,所以,
所以三棱锥的体积为定值,B正确;
对于A,建立如图所示的空间直角坐标系,
设,,,,,
,,,
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,,所以,
若平面,则,
所以,即表示线段,
则当点P在线段AC时,平面,
所以存在点P,使得平面,A正确;
对于C,,若,
,即,
所以点P的轨迹就是线段AC,
轨迹长为,C正确;
对于D,如图取AB中点,连接,
由题可得,平面ABCD,
连接,因为,平面ABCD,
则,,又,
平面,则平面,
又取中点为,则,
有P,,Q,四点共面,则平面即为平面,
又由两平面平行性质可知,,,,
又P,,Q,都是中点,故R是中点,是中点,
则平面截正方体的截面为正六边形,
又正方体棱长为1,则,
故截面面积为,D错误.
故选:ABC
11．答案：BC
解析：由定义可得，因为，且，所以，故A错误；如图所示，设，，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当时，取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得，，故C正确；由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误.故选BC.
12．答案：
解析：,点P到直线l的距离为.
故答案为:.
13．答案：
解析：由已知,,,,
所以
,
所以,
故答案为:
14．答案：4
解析：，故，，
不妨令，则，又，故点H，A，B，C共面，
故.
故答案为：4.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）
，，.
又，，平面，
面ABCD，
故建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，，
，，，
设为面的法向量，，
令，则，，，，
设点D到平面的距离为d，则.
（2）因为，平面，平面，
所以平面，所以直线AC到平面的距离等于点A到平面的距离，
设点A到平面的距离为，，则.
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）直线AB的斜率为，所以直线AB的倾斜角为.
（2）当点D在第一象限时，，，如图1.
设，则解得故点D的坐标为.
（3）由题意得为直线BE的斜率，如图2.
当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小，；
当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，.
故直线BE的斜率的取值范围为，
即的取值范围为.
17．答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：（1）证明：连接，，设与相交于点E，因为，
，所以为平行四边形，即E为的中点.
连接，因为M为的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.
取的中点H，连接.因为是等腰梯形，所以.
以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，则
令，则，，可得.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)存在；D是上靠近C的三等分点
解析：（1）过点A作于点E，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）假设在线段上（不含端点），存在点D，使得二面角的余弦值为，
以B为原点，分别以、为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为D在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点D，使得二面角的余弦值为，
此时D是上靠近C的三等分点.
19．答案：（1）①线性相关,②线性相关
（2）线性无关,理由见解析
（3）证明见解析
解析：（1）对于①,假设与线性相关,
则存在不全为零的实数,使得,
则,即,
可取,所以,线性相关,
对于②,假设,,线性相关,
则存在不全为零的实数,,使得,
则,得,
可取,,所以,,线性相关.
（2）假设,,,线性相关,
则存在不全为零的实数,,,,
使得,
则,
因为,,,线性无关,
所以,得,矛盾,
所以向量,,,线性无关.
（3）设,,
则,
所以,
又,
所以
,
当且仅当,,…,同时成立时,等号成立,
所以.