山西省阳泉市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份山西省阳泉市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则、的长度相等，方向相同或相反
B．若是向量五的相反向量，则
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形中，一定有
2．已知向量，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．2 B．1或0 C．2或1 D．2或0
6．已知点，直线与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
7．已知向量，若O，A，B，C共面，则在上的投影向量的模为（ ）
A． B． C D．
8．正四面体各棱长均为，E，F，G分别是的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线与，则下列说法正确的是（ ）
A．与的交点坐标是
B．过与的交点且与垂直的直线的方程为
C．、与x轴围成的三角形的面积是
D．的倾斜角是锐角
10．若直线不能构成三角形，则m的取值为（ ）
A． B． C． D．
11．在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，其，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，四棱锥的外接球的表面积是
C．的最小值为
D．存在唯一的实数对，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．与平行，则它们的距离是_______
13．已知点，若直线l过点，且A、B到直线l的距离相等，则直线l的方程为_________．
14．已知0为坐标原点，，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，Q点的坐标是_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，在正方体中，E为的中点．
（1）求证：平面；（5分）
（2）求直线与平面所成角的正弦值．（8分）
16．（15分）
如图，平行六面体中，，E是的中点．令．
（1）用表示向量；（7分）
（2）求的长．（8分）
17．（15分）
在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为．
（1）求点C坐标；（5分）
（2）求直线的方程．（6分）
（3）在线段上是否存在一点F，使得?若存在，写出点F的坐标；不存在，请说明理由．（4分）
18．（17分）
在中，，D、E分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，M是的中点，如图所示．

（1）求证：平面；（5分）
（2）求与平面所成角的大小；（6分）
（3）在线段上是否存在点N，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．（6分）
19．（17分）
如图，在三棱柱中．底面，，到平面的距离为2．
（1）证明为等腰三角形；（5分）
（2）已知与的距离为4，求与平面所成角的正弦值．（6分）
（3）在（2）条件下，若E、F分别是和的中点，求三棱锥的体积（6分）
阳泉一中2024-2025学年高二数学月考试卷
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．BC 10．ABD 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．或 14．
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【详解】（Ⅰ）如下图所示：
在正方体中，且且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面， 平面;
（Ⅱ）以点A为坐标原点，所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 6分
设正方体的棱长为2，则，，
设平面的法向量为，由，得，
令：，则，则．
，
因此，直线与平面所成确的正弦值为． 13分
16．（15分）
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量基本定理求出答案；
（2）先计算出，从而利用
求出答案．
【小问1详解】
； 7分
【小问2详解】
因为，，
所以，同理，
． 15分
17．（15分）
（1）边上的高所在的直线方程为
．
的方程为：，即
．
联立，解得．
． 5分
（2）设，则中点．
，解得，
（2）．
，又．
的方程为：，化为：
． 11分
（3）方法多种，可以用点关于线的对称点求F点，也可以把的直线方程求出，再设F点的坐标，最后利用两点的距离公式求解．最终求得点 15分
18．（17分）
（1）证明：因为在中，，，且，
所以，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面， 5分
所以，
又已知，且都在面内，
所以平面;
（2）由（1），分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
8分
因为，故，
由几何关系可知，
故，
，
，
设平面的法向量为，
则，
不妨令，则，
所以， 11分
设与平面所成角的大小为θ，
则有
，
故，
即与平面所成角的大小为;
（3）假设在线段上存在点N，使平面与平面成角余弦值为，
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，
，
设平面的先向量为， 14分
则，
不妨令，则，
所以
设平面的法向量为，
则，
不妨令，则，
所以．
若平面与平面成角余弦值为，
则满足
， 17分
化简得，
解得或，
即或，
故在线段上存在这样的点N，使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或．
19.（17分）
解析（1）证明：平面，平面，
，
又平面，
平面．
又平面，∴平面平面．
过作，垂足为H，又平面平面，平面平面，平面，平面，，
易知，在中，，
∴H为的中点，∴为等腰直角三角形，
∴．易知． 5分
（2）以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，在平面内过H作，交，于点Q，连接，如图．
易知，
又平面，
平面平面，
又平面，，，
∴在中，，易知，
则，
，，
．
设平面的法向量为，
则即 11分
取，得．
设直线与平面所成的角为，
则
．
与平面所成角的正弦值为．
（3）方法有多种，主要步骤是1、根据点到直线距离公式和两点间的距离公式求出；
2、根据点到面的距离公式求出到平面的距离为三棱锥的体高
3、最后求出 17分
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
A
C
A
B
D