山西省大同市平城区2024年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】

这是一份山西省大同市平城区2024年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（ ）.
A．3.4mB．4.7 mC．5.1mD．6.8m
3、（4分）已知分式的值是零，那么x的值是 （ ）
A．-2B．0C．2D．
4、（4分）某数学兴趣小组6名成员通过一次数学竞赛进行组内评比，他们的成绩分别是89，92，91，93，96，91，则关于这组数据说法正确的是（ ）
A．中位数是92.5B．平均数是92C．众数是96D．方差是5
5、（4分）如图，正比例函数和一次函数的图像相交于点.当时，则（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）以下列三个数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．5，12，13D．5，6，7
7、（4分）为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
8、（4分）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )
A．3B．C．5D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）由作图可知直线与互相平行，则方程组的解的情况为______.
10、（4分）统计学校排球队队员的年龄，发现有岁、岁、岁、岁等四种年龄，统计结果如下表，则根据表中信息可以判断表中信息可以判断该排球队队员的平均年龄是__________岁.
11、（4分）已知：a、b、c是△ABC的三边长，且满足|a﹣3|++（c﹣5）2＝0，则该三角形的面积是_____．
12、（4分）正方形，，按如图所示放置，点、、在直线上，点、、在x轴上，则的坐标是________．
13、（4分）计算: =_________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在中，点、分别在边、上，且AE=CF ，连接，请只用无刻度的直尺画出线段的中点，并说明这样画的理由.
15、（8分）已知，，为的三边长，并且满足条件，试判断的形状．
16、（8分）如图1，是的边上的中线．
（1）①用尺规完成作图：延长到点，使，连接；
② 若，求的取值范围；
（2）如图2，当时，求证：．
17、（10分）某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生共有 人，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m＝ ，n＝ ，表示区域C的圆心角为 度；
（3）全校学生中喜欢篮球的人数大约有多少？
18、（10分）某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳，已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费了750元，购买排球共花费900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求解：
点到直线的距离公式是：
如：求：点到直线的距离．
解：由点到直线的距离公式，得
根据平行线的性质，我们利用点到直线的距离公式，也可以求两平行线间的距离．
则两条平行线：和：间的距离是______．
20、（4分）如图，在中，，，，为的中点，则______.
21、（4分）计算： +×＝________.
22、（4分）如图，在矩形中，的平分线交于点, 于点,连接并延长交于点,连接交于点,下列结论：
①；②；③；④；⑤,
其中正确的有__________（只填序号）.
23、（4分）如图，如果甲图中的阴影面积为S1，乙图中的阴影面积为S2，那么=________.（用含a、b的代数式表示）
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）求A，B两型桌椅的单价；
（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总费用最少的购置方案．
25、（10分）学校要对如图所示的一块地ABCD进行绿化，已知AD=4米，CD=3米，AD⊥DC，AB=13米，BC=12米.
(1)若连接AC，试证明:OABC是直角三角形；
(2)求这块地的面积.
26、（12分）如图，△ABC与△AFD为等腰直角三角形，∠FAD＝∠BAC＝90°，点D在BC上，则：
（1）求证：BF＝DC．
（2）若BD＝AC，则求∠BFD的度数．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
由题意可知，
当时，；
当时，
；
当时，.∵时，；时，.∴结合函数解析式，
可知选项B正确.
考点：1．动点问题的函数图象;2．三角形的面积．
2、C
【解析】
由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，可得两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】
解：由题意可得：∠BCA=∠EDA=90°，∠BAC=∠EAD，
故△ABC∽△AED，
由相似三角形的性质，设树高x米，
则，
∴x=5.1m．
故选：C．
本题考查相似三角形的应用，关键是由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，得出两个相似三角形．
3、A
【解析】
分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】
∵，
∴x+2=0且x-2≠0，
解得x=-2，
故选A.
本题考查了分式的值为零的条件，分母不能为0不要漏掉.
4、B
【解析】
试题解析：这组数据按照从小到大的顺序排列为：89，91，91，92，93，96，
则中位数为：，故A错误；
平均数为：，故B正确；
众数为：91，故C错误；
方差S2=
=，故D错误．
故选A．
5、C
【解析】
由图象可以知道，当x=3时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论.
【详解】
解：由图象知，当x＞3时，y1的图象在y2上方，
y2故答案为：D.
本题考查了两条直线相交与平行，正确的识别图象是解题的关键.
6、C
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．
【详解】
解：A、22+32≠42，故不能构成直角三角形；
B、42+52≠62，故不能构成直角三角形；
C、52+122＝132，故能构成直角三角形；
D、52+62≠72，故不能构成直角三角形．
故选C．
本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
7、A
【解析】
根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．
【详解】
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数．
故选A．
点睛：本题主要考查了中位数，关键是掌握中位数定义．
8、C
【解析】
将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=11，
∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=11，即3x+12y=11，x+4y=1，
所以S2=x+4y=1，
故答案为1．
点睛：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=11求解是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、无解
【解析】
二元一次方程组的解，就是两个函数图象的交点坐标，当两函数图象平行时，两个函数无交点，因此解析式所组成的方程组无解．
【详解】
∵直线y=-5x+2与y=-5x-3互相平行，
∴方程组无解，
故答案为：无解．
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，关键是掌握二元一次方程组的解，就是两个函数图象的交点．
10、
【解析】
计算出学校排球队队员的总年龄再除以总人数即可.
【详解】
解：（岁）
所以该排球队队员的平均年龄是14岁.
故答案为：14
本题考查了平均数，掌握求平均数的方法是解题的关键.
11、1
【解析】
根据绝对值，二次根式，平方的非负性求出a,b,c的值，再根据勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形，故可求解.
【详解】
解：由题意知a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形的形状是直角三角形，
则该三角形的面积是3×4÷2＝1．
故答案为：1．
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知实数的性质.
12、
【解析】
先求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可得出的坐标．
【详解】
解：∵直线y=x+1和y轴交于A1，
∴A1的坐标（0，1），即OA1=1，
∵四边形C1OA1B1是正方形，
∴OC1=OA1=1，
把x=1代入y=x+1得：y=2，
∴A2的坐标为（1，2），
同理，A3的坐标为（3，4），
…
∴An的坐标为（2n-1-1，2n-1），
∴的坐标是，
故答案为：．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
13、
【解析】
先利用二次根式的性质，再判断的大小去绝对值即可.
【详解】
因为，
所以
故答案为：
此题考查的是二次根式的性质和去绝对值.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、详见解析
【解析】
连接AC交EF与点O，连接AF，CE．根据AE=CF，AE∥CF可知四边形AECF是平行四边形，据此可得出结论．
【详解】
解：如图：连接AC交EF与点O，点O即为所求．
理由：连接AF，CE，AC．
∵ABCD为平行四边形，
∴AE∥FC．
又∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OE=OF，
∴点O是线段EF的中点．
本题考查的是作图-基本作图，熟知平行四边形的性质是解答此题的关键．
15、等腰三角形或直角三角形等腰直角三角形.
【解析】
对已知等式运用因式分解变形，得到，即a-b=0或a2+b2=c2，通过分析判断即可解决问题．
【详解】
解：，
，
，
，
则a-b=0或a2+b2=c2，
当a-b=0时，△ABC为等腰三角形；
当a2+b2=c2时，△ABC为直角三角形．
当a-b=0且a2+b2=c2时，△ABC为等腰直角三角形．
综上所述，△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
本题主要考查了因式分解在几何中的应用问题；解题的关键是：灵活变形、准确分解、正确判断．
16、（1）①详见解析；②1＜＜5；（2）详见解析
【解析】
（1）①首先利用尺规作图，使得DE=AD，在连接CE，②首先利用≌可得AB=CE，在中，确定AE的范围，再根据AE=2AD，来确定AD的范围.
（2）首先延长延长到点，使，连接和BE，结合，可证四边形是平行四边形，再根据，可得四边形是矩形，因此可证明.
【详解】
（1）①用尺规完成作图：延长到点，使，连接；
②∵，，
∴≌
∴
∴6-4＜＜6+4，即2＜＜10
又∵
∴1＜＜5
（2）延长到点，使，连接
∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形
∴
∴．
本题主要考查直角三角形斜边中线是斜边的一半，关键在于构造矩形,利用矩形的对角线相等.
17、（1）学生总数100人，跳绳40人，条形统计图见解析；（2）144°；（3）200人．
【解析】
（1）用B组频数除以其所占的百分比即可求得样本容量；
（2）用A组人数除以总人数即可求得m值，用D组人数除以总人数即可求得n值；
（3）用总人数乘以D类所占的百分比即可求得全校喜欢篮球的人数；
【详解】
解：（1）观察统计图知：喜欢乒乓球的有20人，占20%，
故被调查的学生总数有20÷20%＝100人，
喜欢跳绳的有100﹣30﹣20﹣10＝40人，
条形统计图为：
（2）∵A组有30人，D组有10人，共有100人，
∴A组所占的百分比为：30%，D组所占的百分比为10%，
∴m＝30，n＝10；
表示区域C的圆心角为×360°＝144°；
（3）∵全校共有2000人，喜欢篮球的占10%，
∴喜欢篮球的有2000×10%＝200人．
考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18、1元
【解析】
首先设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，根据题意可得等量关系：750元购进的跳绳个数﹣900元购进的排球个数=30，依此列出方程，再解方程可得答案．
【详解】
解：设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，依题意得：，解方程，得x=1．
经检验：x=1是原方程的根，且符合题意．
答：跳绳的单价是1元．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据题意在：上取一点，求出点P到直线：的距离d即可.
【详解】
在：上取一点，
点P到直线：的距离d即为两直线之间的距离：
，
故答案为．
本题考查了两直线平行或相交问题，一次函数的性质，点到直线距离，平行线之间的距离等知识，解题的关键是学会利用公式解决问题，学会用转化的思想思考问题.
20、
【解析】
根据勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案．
【详解】
∵∠ABC=90°，BC=4cm，AB=3cm，
∴由勾股定理可知：AC=5cm，
∵点D为AC的中点，
∴BD=AC=cm，
故答案为：
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质，本题属于基础题型．
21、3
【解析】
先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【详解】
解：原式＝2+
＝3．
故答案为：3．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
22、①②③④
【解析】
①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE-AH=BC-CD，BC-CF =BC-（CD-DF）=2HE，判断出④正确；⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．
【详解】
∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，
∵AD=AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
∵∠BAE＝∠DAE,
∠ABE＝∠AHD＝90°,
AE＝AD，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=（180°-45°）=67.5°，
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵AB=AH，
∵∠AHB=（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
∵∠EBH＝∠OHD＝22.5°,
BE＝DH,
∠AEB＝∠HDF＝45°，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
∵HE=AE-AH=BC-CD，
∴BC-CF=BC-（CD-DF）=BC-（CD-HE）
=（BC-CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
23、
【解析】
左边阴影部分用大正方形面积减小正方形的面积，右边阴影部分的面积等于长乘以宽，据此列出式子，再因式分解、约分可得
【详解】
解：，
故答案为：．
本题主要考查因式分解的应用及分式的化简，根据图示列出面积比的算式是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元；（2）y=﹣200x+162000（120≤x≤130）；（3）购买A型桌椅130套，购买B型桌椅70套，总费用最少，最少费用为136000元．
【解析】
（1）根据“2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元”，建立方程组即可得出结论；
（2）根据题意建立函数关系式，由A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，确定出x的范围；
（3）根据一次函数的性质，即可得出结论．
【详解】
（1）设A型桌椅的单价为a元，B型桌椅的单价为b元，
根据题意知，，
解得，，
即：A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元；
（2）根据题意知，y=600x+800（200﹣x）+200×10=﹣200x+162000（120≤x≤130），
（3）由（2）知，y=﹣200x+162000（120≤x≤130），
∴当x=130时，总费用最少，
即：购买A型桌椅130套，购买B型桌椅70套，总费用最少，最少费用为136000元．
本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，列出方程组或不等式是解本题的关键．
25、（1）见解析；（2）这块地的面积是24平方米.
【解析】
（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】
（1）∵AD=4，CD=3，AD⊥DC，
由勾股定理可得：AC= ，
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2 ，
∴△ABC是直角三角形；
（2）△ABC的面积△ACD的面积==24（m2），
所以这块地的面积是24平方米.
本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.反之也成立.
26、（1）见解析；（2）67.5°．
【解析】
（1）先根据等腰直角三角形的性质得出AB＝AC，AF＝AD，∠FAD＝∠BAC＝90°，则有∠BAF＝∠CAD，即可利用SAS证明△ABF≌△ACD，则结论可证；
（2）先根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，然后由△ABF≌△ACD得出∠ABF＝∠ACD＝45°，最后利用∠BFD＝180°﹣∠ABF﹣∠ABC﹣∠BDF即可求解．
【详解】
（1）∵△ABC与△AFD为等腰直角三角形
∴AB＝AC，AF＝AD，∠FAD＝∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠CAD，且AB＝AC，AF＝AD
∴△ABF≌△ACD（SAS）
∴BF＝DC
（2）∵△ABC与△AFD为等腰直角三角形
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADF＝45°
∵AB＝AC＝BD
∴∠BDA＝∠BAD＝67.5°
∴∠BDF＝22.5°
∵△ABF≌△ACD，
∴∠ABF＝∠ACD＝45°
∴∠BFD＝180°﹣∠ABF﹣∠ABC﹣∠BDF＝67.5°
本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
中位数
众数
平均数
方差
9.2
9.3
9.1
0.3
年龄/岁
人数/个