2024-2025学年山西省大同市第一中学九上数学开学教学质量检测试题【含答案】

这是一份2024-2025学年山西省大同市第一中学九上数学开学教学质量检测试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一根长为20cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠，若折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，且PM=PN=5cm，则长方形纸条的宽为（ ）
A．1.5cmB．2cmC．2.5cmD．3cm
2、（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，顶点坐标是、则顶点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
3、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O……依此规律，得到等腰直角三角形A2 2OB2 2．则点B2 2的坐标（ ）
A．（22 2，－22 2）B．（22 016，－22 016）C．（22 2，22 2）D．（22 016，22 016）
4、（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．B．
C．D．
5、（4分）在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（ ）
A．B．
C．D．
6、（4分）一元二次方程的两根是（ ）
A．0，1B．0，2C．1，2D．1，
7、（4分）已知a＜b，下列不等关系式中正确的是（ ）
A．a+3＞b+3B．3a＞3bC．﹣a＜﹣bD．﹣＞﹣
8、（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝4，则BC的长（ ）
A．8B．10C．12D．16
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为丈（丈尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是尺，根据题意，可列方程为__________．
10、（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为 ．
11、（4分）如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群．在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东方向．问：小岛C于渔船的航行方向的距离是________________海里（结果可用带根号的数表示）．
12、（4分）王玲和李凯进行投球比赛，每人连投12次，投中一次记2分，投空一次记1分，王玲先投，投得16分，李凯要想超过王玲，应至少投中________次.
13、（4分）若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是 （只需填一个）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简，再求值：．其中a＝3+．
15、（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE．
求证：四边形ABCD为平行四边形．
16、（8分）某校实行学案式教学，需印制若干份教学学案.印刷厂有，甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示.
（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是__________，乙种收费方式的函数关系式是__________.
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算.
17、（10分）在平面直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．求a的值．
18、（10分）如图，是矩形对角线的交点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求矩形的面积．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）计算：的结果是_____．
20、（4分）正方形中,点是对角线上一动点,过作的垂线交射线于,连接,,则的值为________.
21、（4分）在一次智力抢答比赛中，四个小组回答正确的情况如下图．这四个小组平均正确回答__________道题目？（结果取整数）
22、（4分）若关于x的方程产生增根，那么 m的值是______．
23、（4分）平行四边形的面积等于，两对角线的交点为，过点的直线分别交平行四边形一组对边、于点、，则四边形的面积等于________。
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）随着改革开放进程的推进，改变的不仅仅是人们的购物模式，就连支付方式也在时代的浪潮中发生着天翻地覆的改变，除了现金、银行卡支付以外，还有微信、支付宝以及其他支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
25、（10分）如图所示，，分别表示使用一种白炽灯和一种节能灯的费用（元，分别用y1与y2表示）与照明时间（小时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样.
（1）根据图象分别求出，对应的函数（分别用y1与y2表示）关系式；
（2）对于白炽灯与节能灯，请问该选择哪一种灯，使用费用会更省？
26、（12分）如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
设纸条宽为xcm,观察图形，由折叠的性质可知：PM=PN=5，除了AP和BM的长度中间的长度为5x，将折叠的纸条展开，根据题意列出方程式求出x的值即可．
【详解】
解：如图：
设纸条宽为xcm,观察图形，由折叠的性质可知：PM=PN=5，MN=20
由题意可得：5×2+5x=20
解得：x=2
故选：B．
本题考查了翻折变换的知识以及学生的动手操作能力，解答本题的关键是仔细观察图形，得到各线段之间存在的关系．
2、A
【解析】
此题可过P作PE⊥OM，过点N作NF⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则N点坐标便不难求出．
【详解】
过P作PE⊥OM，过点N作NF⊥OM，
∵顶点P的坐标是(3,4)，
∴OE=3,PE=4,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OE=MF=3，
∵4+3=7，
∴点N的坐标为(7,4).
故选A.
此题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题关键在于作辅助线.
3、A
【解析】
∵将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，A1B 1=OA1，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O，A2B2=A2O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，﹣2），B2（﹣4，-4），B3（-8，8），B4（16，16），
∵22÷4=504…1，
∴点B22与B1同在第四象限，
∵﹣4=﹣22，8=23，16=24，
∴点B22（222，-222），
故选A.
【点睛】本题考查了点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．
4、D
【解析】
根据把整式变成几个整式的积的过程叫因式分解进行分析即可．
【详解】
A、是整式的乘法运算，不是因式分解，故A不正确；
B、是积的乘方，不是因式分解，故B不正确；
C、右边不是整式乘积的形式，故C不正确；
D、是按照平方差公式分解的，符合题意，故D正确；
故选：D．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
5、A
【解析】
解：将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成B选项的影子；
将矩形木框与地面平行放置时，形成C选项影子；
将木框倾斜放置形成D选项影子；
根据同一时刻物高与影长成比例，又因矩形对边相等，因此投影不可能是A选项中的梯形，因为梯形两底不相等．
故选A．
6、A
【解析】
利用因式分解法解答即可得到方程的根．
【详解】
解：，
，
解得，．
故选：A．
本题主要考查了一元二次方程的解法，要根据不同的题目采取适当的方法解题．
7、D
【解析】
根据不等式的性质逐一判断即可．
【详解】
A：不等式两边都加3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
B：不等式两边都乘以3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C：不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
D不等式两边都除以﹣2，不等号的方向改变，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
本题主要考查了不等式的性质，熟记不等式在两边都乘除负数时，不等式符号需要改变方向是解题关键．
8、C
【解析】
根据DE∥BC，于是得到△ADE∽△ABC，求得比例式，代入数据即可得到结果．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵
∴
∴
∵DE＝4，
∴BC＝1．
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
试题解析：设由题意可得：．
故答案为．
10、7
【解析】
试题分析：如图，过点A做BC边上高，所以EP AM,所以∆BFP~∆BAM,∆CAM~CEP,因为AF＝2，BF＝3，AB＝AC=5，所以, BM=CM,所以 ,因此CE=7
11、
【解析】
过C作CD⊥AB，易得∠BAC=∠BCA=30°，进而得到BC=BA=20，在Rt△BCD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半与勾股定理即可求出CD．
【详解】
如图，过C作CD⊥AB，
∵渔船速度为30海里/h，40min后渔船行至B处
∴AB=海里
由图可知，∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+30°=120°，
∴∠BCA=180°-120°-30°=30°
∴∠BAC=∠BCA
∴BC=BA=20海里
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴BD=BC=10海里
∴CD=海里
故答案为：．
本题考考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质与勾股定理，熟练掌握30°角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
12、1
【解析】
根据题意，可以列出相应的不等式，本题得以解决，注意问题中是李凯超过王玲．
【详解】
解：设李凯投中x个球，总分大于16分，则
2x+（12-x）×1＞16，
解得，x＞4，
∴李凯要想超过王玲，应至少投中1次，
故答案为：1．
本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，利用不等式的性质解答．
13、﹣2（答案不唯一）
【解析】
试题分析：∵|x|≤1，∴﹣1≤x≤1．
∵x为整数，∴x=﹣1，﹣2，﹣1，0，1，2，1．
分别代入可知，只有x=﹣2，1时为整数．
∴使为整数的x的值是﹣2或1（填写一个即可）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、a﹣3，
【解析】
根据题意对原式利用乘法分配律计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：
＝﹣•
＝2（a﹣1）﹣（a+1）
＝2a﹣2﹣a﹣1
＝a﹣3，
当a＝3+时，原式＝3+﹣3＝.
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解答本题的关键．
15、证明见解析.
【解析】
试题分析：首先证明△AEB≌△CFD可得AB=CD，再由条件AB∥CD可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形．
试题解析：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC，
∴∠AEB=∠DFC，
在△AEB和△CFD中
，
∴△AEB≌△CFD（ASA），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
16、（3）y=3.33x+6；y=3.33x（3）当333≤x<333时，选择乙种印刷方式较合算；当x=333时，选择甲、乙两种印刷方式都可以；当333【解析】
（3）设甲种收费的函数关系式y3=kx+b，乙种收费的函数关系式是y3=k3x，直接运用待定系数法就可以求出结论；
（3）由（3）的解析式分三种情况进行讨论，当y3＞y3时，当y3=y3时，当y3＜y3时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．
【详解】
（3）设甲种收费的函数关系式y3=kx+b，乙种收费的函数关系式是y3=k3x，由题意，得
，33=333k3，
解得：，k3=3．33，
∴y3=3．3x+6（x≥3），y3=3．33x（x≥3）；
（3）由题意，得
当y3＞y3时，3．3x+6＞3．33x，得x＜333；
当y3=y3时，3．3x+6=3．33x，得x=333；
当y3＜y3时，3．3x+6＜3．33x，得x＞333；
∴当333≤x＜333时，选择乙种方式合算；
当x=333时，甲、乙两种方式一样合算；
当333＜x≤453时，选择甲种方式合算．
答：印制333～333（含333）份学案，选择乙种印刷方式较合算，印制333份学案，甲、乙两种印刷方式都一样合算，印制333～453（含453）份学案，选择甲种印刷方式较合算．
3．待定系数法求一次函数解析式；3．一次函数的应用．
17、7
【解析】
运用待定系数法求出直线的解析式，然后把x=-2代入解析式求出a的值。
【详解】
解：（1）设直线的解析式为y=kx+b，把A（-1，5），B（3，-3）代入，
可得：
解得：
所以直线解析式为：y=-2x+3，
把P（-2，a）代入y=-2x+3中，
得：a=7
故答案为：7
此题考查一次函数问题，关键是根据待定系数法解解析式．
18、 (1)见解析；（2）
【解析】
（1）先证明四边形OCED是平行四边形，再证明OD=OC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定；
（2）结合题意，根据∠AOD=120°得到为等边三角形，推导出，再结合题意得到AC=6，利用勾股定理求出AD长，矩形面积=AD×CD．
【详解】
（1），，四边形是平行四边形．
是矩形的对角线的交点，
，平行四边形是菱形；
（2），，为等边三角形，故．
，，，，
故矩形．
本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定以及勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定以及勾股定理.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据算术平方根的定义，直接得出表示21的算术平方根，即可得出答案．
【详解】
解：∵表示21的算术平方根，且

故答案是：1．
此题主要考查了算术平方根的定义，必须注意算术平方根表示的是一个正数的平方等于某个数.
20、
【解析】
如图，连接PC．首先证明PA=PC，利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接PC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A，点C关于BD对称，∠CBD=∠CDB=45°，
∴PA=PC，
∵PE⊥BD，
∴∠DPE=∠DCB=90°，
∴∠DEP=∠DBC=45°，
∴△DPE∽△DCB，
∴，
∴，
∵∠CDP=∠BDE，
∴△DPC∽△DEB，
∴，
∴BE：PA=，
故答案为.
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21、1
【解析】
先求出四个小组回答的总题目数，然后除以4即可．
【详解】
解：这四个小组平均正确回答题目数
（8+1+16+10）≈1（道），
故答案为：1．
本题考查的是条形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22、1
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x-2=0，将x=2代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】
分式方程去分母得：x−1=m+2x−4，
由题意得：x−2=0，即x=2，
代入整式方程得：2−1=m+4−4，
解得：m=1.
故答案为：1.
此题考查分式方程的增根，解题关键在于掌握分式方程中增根的意义.
23、
【解析】
根据“过平行四边形对角线的交点的直线将平行四边形等分为两部分”解答即可．
【详解】
如图平行四边形ABCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC，
则可得：△DF0≌△BEO，△ADO≌△CBO，△CF0≌△AEO，
∴直线l将四边形ABCD的面积平分．
∵平行四边形ABCD的面积等于10cm2，
∴四边形AEFD的面积等于5cm2，
故答案为：5cm2
本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键在于举例说明，利用全等的知识解决．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、.
【解析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【详解】
解：将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
此题考查列表法与画树状图法，解题关键在于画出树状图.
25、（1）y1=x+2，y2=x+20（2）见解析
【解析】
(1)由图像可知，l1的函数为一次函数，则设y1=k1x+b1.由图象知，l1过点（0，2）、（500，17），能够得出l 1的函数解析式.同理可以得出l2的函数解析式.
(2)由图像可知l1、 l2的图像交于一点，那么交点处白炽灯和节能灯的费用相同，即x+2=x+20，由此得出x=1000时费用相同；x＜1000时，使用白炽灯省钱；x＞1000时，使用节能灯省钱.
【详解】
（1）设l1的函数解析式为y1=k1x+b1，
由图象知，l1过点（0，2）、（500，17），
可得方程组，解得，
故，l1的函数关系式为y1=x+2；
设l2的函数解析式为y2=k2x+b2，
由图象知，l2过点（0，20）、（500，26），
可得方程组，解得，
y2=x+20；
（2）由题意得，x+2=x+20，解得x=1000，
故，①当照明时间为1000小时时，两种灯的费用相同；
②当照明时间超过1000小时，使用节能灯省钱.
③当照明时间在1000小时以内，使用白炽灯省钱.
本题主要考查求一次函数的解析式、一次函数在实际生活中的应用.一次函数为中考重点考查内容，熟练掌握求一次函数解析式的方法是解决本题的关键.
26、（1）证明见解析（2）△CEF是直角三角形
【解析】
（1）由正方形的性质、等腰三角形的性质可得AB=CB，BE=BF，再通过等量相减，即可得出∠ABF=∠CBE，由SAS即可证出△ABF≌△CBE；
（2）求∠CEF＝90°，即可证出△CEF是直角三角形.
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，
∴BE=BF，
∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE．
在△ABF和△CBE中，有 ，
∴△ABF≌△CBE（SAS）．
（2）△CEF是直角三角形．理由如下：
∵△EBF是等腰直角三角形，
∴∠BFE=∠FEB=45°，
∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，
又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB=∠AFB=135°，
∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，
∴△CEF是直角三角形．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分