山东省淄博市临淄区金山中学2025届数学九年级第一学期开学经典模拟试题【含答案】

这是一份山东省淄博市临淄区金山中学2025届数学九年级第一学期开学经典模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，将等边△ABC沿直线BC平移到△DEF，使点E与点C重合，连接BD，若AB＝2，则BD的长为（ ）
A．2B．C．3D．2
2、（4分）如图，矩形ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，AB=2，AD=4，动点P沿EC，CD，DF的路线由点E运动到点F，则△PAB的面积s是动点P运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是
A．AB．BC．CD．D
3、（4分）如图，正方形ABCD中，点E在BD上，且，延长CE交AD于F，则为( )
A．B．C．D．
4、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（ ）
A．5B．3C．2.4D．2.5
5、（4分）如图，函数y1=x﹣1和函数的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或0＜x＜2B．x＜﹣1或x＞2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2
6、（4分）在下列各式中，是分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7、（4分）已知△ABC的三边长分别为6，8，10，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形或钝角三角形
8、（4分）下列多项式中能用完全平方公式分解的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知，则=_____．
10、（4分）当 = ______ 时，分式的值为0.
11、（4分）如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是______.
12、（4分）将直线y＝2x+3向下平移2个单位，得直线_____．
13、（4分）已知正方形的对角线为4，则它的边长为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD＝2BD，AC＝3，BC＝2，求BD的长．
15、（8分）阅读以下例题：解不等式：(x  4) (x 1)  1
解：①当 x  4  1 ，则 x 1  1
即可以写成：
解不等式组得：
②当若 x  4  1 ，则 x 1  1
即可以写成：
解不等式组得：
综合以上两种情况：不等式解集： x  1或.
（以上解法依据：若ab  1 ，则a，b 同号）请你模仿例题的解法，解不等式：
（1） (x 1)(x  2)  1；
（2） (x  2)(x  3)  1．
16、（8分）如图，射线OA的方向是北偏东20°，射线OB的方向是北偏西40°，OD是OB的反向延长线，OC是∠AOD的平分线。
（1）求∠DOC的度数；
（2）求出射线OC的方向。
17、（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，点E、F分别是线段AB、AD中点，联结CE、CF、EF．
（1）求证：△CEF≌△AEF；
（2）联结DE，当BD＝2CD时，求证：AD＝2DE．
18、（10分）某商店经销某种玩具，该玩具每个进价 20 元，为进行促销，商店制定如下“优惠” 方案：如果一次销售数量不超过 5 个，则每个按 50 元销售：如果一次销售数量超过 5 个，则每增加一个，所有玩具均降低 1 元销售，但单价不得低于 30 元，一次销售该玩具的单价 y（元）与销售数量 x（个）之间的函数关系如下图所示．
（1）结合图形，求出 m 的值；射线 BC 所表示的实际意义是什么；
（2）求线段 AB 满足的 y 与 x 之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）当销售 15 个时，商店的利润是多少元．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）分式的最简公分母为_____．
20、（4分）已知直线，则直线关于轴对称的直线函数关系式是__________．
21、（4分）一个等腰三角形一边长为2，另一边长为5，这个三角形第三边的长是_________
22、（4分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，∠BCD＝30°，∠E＝45°，点D在CE上，且CD＝BC，点H是AC上的一个动点，则HD+HE最小值为___．
23、（4分）已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即csC=），则AC边上的中线长是_____________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知：线段a，c．
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠C＝90°
25、（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线过点且与轴交于点，把点向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点．过点且与平行的直线交轴于点．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．
26、（12分）如图，为等边三角形，， 相交于点， 于点，

（1）求证:
（2）求的度数．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
利用平移的性质得出，、的长，得，，可得结论．
【详解】
解：由平移得：，
是等边三角形，且，
，，
，
，
，
中，，
，
故选：．
此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出是解决问题的关键．
2、C
【解析】
分点P在EC、CD、DF上运动，根据三角形面积公式进行求解即可得.
【详解】
当点P在EC上运动时，此时0≤x≤2，PB=2+x，则S△PAB==×2（2+x）=x+2；
当点P在CD运动时，此时2当点P在DF上运动时，此时4观察选项，只有C符合，
故选C.
本题考查了动点问题的函数图象，分情况求出函数解析式是解题的关键.
3、B
【解析】
先根据正方形的性质得出，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】
四边形ABCD是正方形
，即
解得
故选：B．
本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点，掌握正方形的性质是解题关键．
4、A
【解析】
根据矩形的性质得出∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得出CE =CD+DE，代入求出即可．
【详解】
如图，连接EC，
∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，
∴∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE=CD+DE，
即AE=4+(8−AE) ，
解得：AE=5，
故选A.
此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于作辅助线.
5、D
【解析】
析：根据反比例函数的自变量取值范围，y1与y1图象的交点横坐标，可确定y1＞y1时，x的取值范围．
解答：解：∵函数y1=x-1和函数y1=的图象相交于点M（1，m），N（-1，n），
∴当y1＞y1时，那么直线在双曲线的上方，
∴此时x的取值范围为-1＜x＜0或x＞1．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用．关键是根据图象的交点坐标，两个函数图象的位置确定自变量的取值范围．
6、B
【解析】
依据分式的定义即可判断.
【详解】
(x+3)÷(x-1)=，
，(x+3)÷(x-1)=，这3个式子的分母中含有字母，因此是分式.其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式.
故式子中是分式的有3个.
故选：B.
此题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题得到关键.
7、C
【解析】
根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】
解：∵62+82=102，
∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，
故选：C．
本题考查了直角三角形的判定，关键是根据勾股定理的逆定理解答．
8、B
【解析】
能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可.
【详解】
A. 中-x不是积的2倍，故不符合题意；
B. =(1-x)2，符合题意；
C. 中只有1个平方项，故不符合题意；
D. 两个平方项的符号不一致，故不符合题意；
故选B.
本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍，是易错点．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据=设xy=3k，x+y=5k，通分后代入求出即可．
【详解】
∵=，∴设xy=3k，x+y=5k，∴+===．
故答案为．
本题考查了分式的加减，能够整体代入是解答此题的关键．
10、-2
【解析】
分式的值为1的条件是：（1）分子=1；（2）分母≠1．两个条件需同时具备，缺一不可．
【详解】
分式的值为1，
即|x|-2=1，x=±2，
∵x-2≠1，
∴x≠2，
即x=-2，
故当x=-2时，分式的值为1．
故答案为：-2.
此题考查了分式的值为1的条件.由于该类型的题易忽略分母不为1这个条件，所以常以这个知识点来命题．
11、
【解析】
写出函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：观察图像可知：当x＞2时，y＜1．
所以关于x的不等式kx+3＜1的解集是x＞2．
故答案为：x＞2．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系.y=kx+b与kx+b>1、kx+b<1的关系是：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）1的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．整体是就是体现数形结合的思想.
12、y=2x+1．
【解析】
根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得：将直线y=-2x+3先向下平移3个单位，得到直线y=－2x+3-2，即y=-2x+1.
故答案是：y=﹣2x+1.
13、．
【解析】
根据正方形的性质和勾股定理求边长即可．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝DOAC4＝2，AO⊥DO，∴△AOD是直角三角形，∴AD．
故答案为：2．
本题考查了勾股定理及正方形性质，属于基础题，比较简单．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、．
【解析】
试题分析：因为CD⊥AB，所以△ACD和△BCD都是直角三角形，都利用勾股定理表示CD的长，得到方程即可求解．
试题解析：根据题意CD2=AC2-AD2=32-（2BD）2=9-4BD2，
CD2=BC2-BD2=22-BD2=4-BD2，
∴9-4BD2=4-BD2，
解得BD2=，
∴BD=．
考点：勾股定理．
15、（1）x＞2或 x＜-1；（2）-2＜x＜2．
【解析】
（1）根据例题可得：此题分两个不等式组和，分别解出两个不等式组即可；
（2）根据两数相乘，异号得负可得此题也分两种情况和解出不等式组即可．
【详解】
解：（1）当x+1＞1时，x-2＞1，可以写成，
解得：x＞2；
当x+1＜1时，x-2＜1，可以写成，
解得：x＜-1，
综上：不等式解集：x＞2或 x＜-1；
（2）当x+2＞1时，x-2＜1，可以写成，
解得-2＜x＜2；
当x+2＜1时，x-2＞1，可以写成，
解得：无解，
综上：不等式解集：-2＜x＜2．
此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算．
16、（1）60°；（2）80°；
【解析】
（1）先求出∠AOB=60°，再求得∠AOD的度数，由角平分线得出∠AOC的度数，得出∠DOC的度数；（2）由（1）即可确定OC的方向．
【详解】
（1）∵OB的方向是北偏西40°,OA的方向是北偏东20°，
∴∠AOB=40°+20°=60°，
∴∠AOD=180°−60°=120°，
∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠AOC=60°，
∴∠DOC=180°−(60°+60°)=60°；
（2）由（1）可知OC的方向为：20°+60°=80°，
∴射线OC的方向是北偏东80°.
此题考查方向角，解题关键在于掌握其定义.
17、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
(1)在直角三角形ABC中,E为斜边AB的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CE=AE,在直角三角形ACD中,F为斜边AD的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半得到AF=CF,再由EF=EF,利用SSS即可得证;
(2)由EF为三角形ABD的中点,利用中位线定理得到EF与BD平行,EF等于BD的一半,再由BD=2DC,等量代换得到EF=CD,再由EF与CD平行,得到四边形CEFD为平行四边形,可得出DE=CF,再由CF=AF,等量代换得到DE=AF.
【详解】
证明：（1）∵∠ACB＝90°，且E线段AB中点，
∴CE＝AB＝AE，
∵∠ACD＝90°，F为线段AD中点，
∴AF＝CF＝AD，
在△CEF和△AEF中，
，
∴△CEF≌△AEF（SSS）；
（2）连接DE，
∵点E、F分别是线段AB、AD中点，
∴EF＝BD，EF∥BC，
∵BD＝2CD，
∴EF＝CD．
又∵EF∥BC，
∴四边形CFEDD是平行四边形，
∴DE＝CF，
∵CF＝AF＝FD，
∴AD＝2DE．
此题考查了全等三角形的判定与性质,中位线定理,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
18、（1）25、当一次销售数量超过 25 个时，每个均按 30 元销售；（2）线段 AB 满足的 y 与 x 之间的函数解析式是 y=-x+55（5≤x≤25）；（3）此时商店的利润为300元.
【解析】
（1）根据单价不得低于30元,即可求出m,所以BC表示当销量超过 25 个时，每个均按 30 元销售,
（2）待定系数法即可求解,
（3）将x=15代入解析式中即可求解.
【详解】
（1）m=5+（50-30）÷1=25 ，
射线BC 所表示的实际意义为当一次销售数量超过25 个时，每个均按 30 元销售，
故答案为：25、当一次销售数量超过 25 个时，每个均按 30 元销售；
（2）设线段 AB 满足的 y 与 x 之间的函数解析式为 y=kx+b， ，得 ，
即线段 AB 满足的 y 与 x 之间的函数解析式是 y=-x+55（5≤x≤25）；
（3）当 y=15 时，15=-x+55，得 x=40，
∴此时商店的利润为：15×[40 -20]=300（元）
本题考查了一次函数实际应用问题,属于简单题,注意分段考虑函数关系是解题关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、10xy2
【解析】
试题解析： 分母分别是 故最简公分母是
故答案是：
点睛：确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
20、
【解析】
直接根据关于轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数进行解答即可．
【详解】
解：关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
直线与直线关于轴对称，则直线的解析式为．
故答案为：．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
21、1
【解析】解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＜1，所以不能构成三角形；
当腰为1时，2+1＞1，所以能构成三角形，所以这个三角形第三边的长是1．
故答案为：1．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
22、
【解析】
根据平行四边形的性质及两点之间线段最短进行作答.
【详解】
由题知，四边形ABCD是平行四边形，所以BH＝DH.要求HD＋HE最小，即BH＋HE最小，所以，连接B、E，得到最小值HD＋HE＝BE.过B点作BGCE交于点G，再结合题意，得到GE＝3,BG＝1，由勾股定理得，BE＝.所以，HD＋HE最小值为.
本题考查了平行四边形的性质及两点之间线段最短，熟练掌握平行四边形的性质及两点之间线段最短是本题解题关键.
23、或
【解析】
解：分两种情况：
①△ABC为锐角三角形时，如图1．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，csC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=BD+CD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•csC
∴BE=；
②△ABC为钝角三角形时，如图2．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，csC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=BD+CD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•csC
∴BE=．
综上可知AC边上的中线长是或．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、详见解析
【解析】
过直线m上点C作直线n⊥m，再在m上截取CB＝a，然后以B点为圆心，c为半径画弧交直线n于A，则△ABC满足条件．
【详解】
解：如图，△ABC为所作．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
25、（1）y=3x-10；（2）
【解析】
（1）先把A（6，m）代入y=-x+4得A（6，-2），再利用点的平移规律得到C（4，2），接着利用两直线平移的问题设CD的解析式为y=3x+b，然后把C点坐标代入求出b即可得到直线CD的解析式；
（2）先确定B（0，4），再求出直线CD与x轴的交点坐标为（，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y=3x+4，然后求出直线y=3x+4与x轴的交点坐标，从而可得到直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．
【详解】
解：（1）把A（6，m）代入y=-x+4得m=-6+4=-2，则A（6，-2），
∵点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C，
∴C（4，2），
∵过点C且与y=3x平行的直线交y轴于点D，
∴CD的解析式可设为y=3x+b，
把C（4，2）代入得12+b=2，解得b=-10，
∴直线CD的解析式为y=3x-10；
（2）当x=0时，y=4，则B（0，4），
当y=0时，3x-10=0，解得x=，则直线CD与x轴的交点坐标为（，0），
易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y=3x+4，
当y=0时，3x+4=0，解得x=，则直线y=3x+4与x轴的交点坐标为（，0），
∴直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为.
本题考查了一次函数与几何变换：求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，会利用待定系数法求一次函数解析式．
26、（1）见解析；（2）∠BPQ =60°
【解析】
（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ=60°；
【详解】
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，
在△AEB与△CDA中，
∴△AEB≌△CDA（SAS）；
（2）解：由（1）知，△AEB≌△CDA，则∠ABE=∠CAD，
∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BPQ=∠BAD+∠ABD=60°；
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分