河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期10月第一次联考数学试卷(含答案)

这是一份河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期10月第一次联考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．曲线所围成的封闭图形的面积为( )
A.1B.2C.3D.4
3．已知直线和.则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．过点与圆相切的两条直线的夹角为,则( )
A.0B.C.1D.2
5．已知椭圆的左、右焦点分别是,,直线与C交于A,B两点,若的面积是的面积的2倍,则( )
A.B.C.D.或
6．过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于A,B两点,且,,O是坐标原点,则双曲线的离心率是( )
A.2B.C.D.3
7．直线l经过点且与两坐标轴的正半轴分别交于,两点,则的最小值是( )
A.4B.6C.8D.9
8．已知,是椭圆的两焦点,点M在椭圆C上,则的最小值是( )
A.5B.9C.4D.3
二、多项选择题
9．已知直线,,的斜率分别是,,,倾斜角分别是,,,且,则下列关系可能正确的是( )
A.B.C.D.
10．下列说法中错误的是( )
A.方程表示的曲线是圆
B.若两条直线平行,则它们的斜率相等
C.直线的一个法向量的坐标是
D.平面内到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
11．已知椭圆上有一点P,,分别为其左、右焦点,,的面积为S,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则满足题意的点P有4个
C.若是钝角三角形,则
D.椭圆C的内接矩形的周长的最小值为12
三、填空题
12．若椭圆的离心率为,则实数k的值为__________.
13．已知圆,圆,若动圆P与圆M相外切,与圆N相内切,则动圆P的圆心P的轨迹方程是__________.
14．已知函数,若在平面直角坐标系xOy中,所有满足的点都不在直线l上,则下列方程中:①,③,④可能是直线l的方程的是__________.（填写序号）.
四、解答题
15．已知,,是的三个顶点,求证:的三条高交于一点.
16．已知直线,圆.
（1）求证:直线l与圆C恒相交;
（2）若直线l与圆C相交于A,B两点,当面积最大时,求直线l的方程.
17．已知直线与交于点C.
（1）求点C的轨迹方程;
（2）直线与点C的轨迹交于A,B两点,且以AB为直径的圆恰好经过原点,求直线l的方程.
18．已知点,圆,点P是圆F上任一点,线段PE的垂直平分线交线段PF于C.
（1）求点C的轨迹方程;
（2）过点的直线l与点C的轨迹相交于M,N两点,设点,问:直线BM,BN的斜率之和是否为定值?若是,请求出该值;否则,请说明理由.
19．已知两定点,,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线与曲线E交于A,B两点（A,B不重合）.
（1）求k的取值范围;
（2）如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S.
参考答案
1．答案：C
解析：直线的斜率,所以倾斜角为.
2．答案：B
解析：方程表示的曲线是边长为的正方形,所以围成的图形面积是2.
3．答案：C
解析：根据两直线平行的条件得得或,但时两直线重合,故选C.
4．答案：A
解析：由两条切线的夹角是,得圆的半径是2,从而.
5．答案：B
解析：由已知得:,解得或,但时,直线和椭圆没有交点,故.
6．答案：A
解析：由,得双曲线的一条渐近线的倾斜角为,所以,又,得,所以.
7．答案：D
解析：根据已知设直线方程为,得:,
8．答案：C
解析：由已知得,设,
所以,从而或时取最小值为4.
9．答案：ABD
解析：当倾斜角都为锐角或都是钝角时,;当为两个锐角,一个钝角时,;一个锐角,两个钝角时,.
10．答案：ABD
解析：A错的原因是轨迹不存在,B错的原因是两直线都和轴平行时斜率不存在,D错的原因是轨迹可能是线段或不存在.故选ABD.
11．答案：ABC
解析：由椭圆可得,则,
对于A,设,,,则,由此可得,所以的面积为,
所以,所以A正确;
对于B,因为,
则,所以由椭圆的对称性可知满足题意的点P有4个,所以B正确;
对于C,因为是钝角三角形,所以中有一个角大于,当时,设,,则,又因为,所以解得,所以,所以是钝角三角形时,有,所以C正确;
对于D,设为椭圆内接矩形位于第一象限内的顶点,令,,则椭圆内接矩形的周长为
（其中且满足,）,由得,所以椭圆内接矩形的周长的范围为,即,所以D错误,故选:ABC.
12．答案：或10
解析：当焦点在x轴上时,,得;
当焦点在y轴上时,,得.
13．答案：
解析：设动圆P的半径为r,则由已知得,,
所以,所以点P的轨迹是以点M,N为焦点的椭圆.从而方程是.
14．答案：②③④
解析：在定义域上是单调递增,又,,
曲线关于点中心对称,
,在平面直角坐标系xOy中,所有满足即的点都不在直线l上.结合定义域点与阴影三角形无公共点即可）,
故答案为:②③④.
15．答案：见解析
解析：由已知得:
所以边上高所在直线方程为:
化简得:①
同理得边BC上高所在直线方程为:②
同理得边AC上高所在直线方程为:③
联立方程①②得:,
把,代入,方程成立,
所以的三条高交于同一点.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）方法一:证明:圆C的圆心为,它到直线l的距离为
所以直线l与圆C恒相交.
方法二:恒过点,点在圆内部,
所以直线l与圆C恒相交.
（2）由三角形的面积公式得,
所以当时（显然可以取到）,的面积最大-
此时C到直线的距离为
由
解得
故此时直线l的方程为
17．答案：（1）,
（2）或
解析：（1）由已知得
所以两直线恒垂直,
又恒过点,恒过点,
所以点C的轨迹是以,为直径的圆,
从而点C的轨迹方程为,
（2）设,
因为以AB为直径的圆恰好经过原点,所以
即
即①
把代入
整理,得
所以,即②
而
代入①得,解得或
都满足②
所以直线l的方程为或.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意得:,
所以
所以点C的轨迹是以点E,F为焦点的椭圆
且,从而
所以C的轨迹方程为:.
（2）当直线l斜率存在时,设直线,（其中）,,,
联立,消y可得,
则,解得或,
,
所以
（定值）
当直线l的斜率不存在时,直线,则M,N关于x轴对称,所以,
所以,
综上可得（定值）
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由双曲线的定义可知,
曲线E是以为焦点的双曲线的左支,
故曲线E的方程为,
由题意建立方程组,
得,
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,设,,
有,
解得,
（2）由（1）知,,
则
解得或,
又,,
故直线AB的方程为,
设,由已知,得,
即,,
又,,
故点,代入曲线E中,得,
但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意,
,点C的坐标为,
又C到AB的距离为,的面积.