福建省厦门双十中学2024-2025学年高二上学期10月第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省厦门双十中学2024-2025学年高二上学期10月第一次月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在x轴与y轴上截距分别为-2,2的直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为( )
A．B．C．D．
3．已知直线与垂直，则实数a的值是( )
A．0或3B．3C．0或D．
4．在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为( )
A．B．
C．D．
5．已知圆，从点发出的光线，经直线反射后，恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为( )
A．B．C．D．4
6．已知点P在圆上运动，点，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
7．已知圆关于直线对称,则的最小值是( )
A.2B.3C.6D.4
8．已知M、N分别是圆与圆上的两个动点，点P是直线上的任意一点，则的最小值为( )
A．B．C．6D．4
二、多项选择题
9．已知椭圆的左、右焦点分别为,,P是C上的任意一点,则( )
A.C的离心率为B.
C.的最大值为D.使为直角的点P有4个
10．设圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线、，切点分别为A、B，则下列说法中正确的有( )
A.的取值范围为
B.四边形面积的最小值为
C.存在点P使
D.直线过定点
11．已知曲线，点为曲线C上任意一点，则( )
A．曲线C的图象由两个圆构成
B．的最大值为
C．的取值范围为
D．直线与曲线C有且仅有3个交点
三、填空题
12．若是直线l的一个法向量,则直线l的斜率为________,倾斜角的大小为________.
13．已知F是椭圆的左焦点，直线交椭圆C于M,N两点.若，则椭圆C的离心率为_______
14．设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的取值范围是________.
四、解答题
15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长．
16．已知圆分别与x,y轴的正半轴交于A,B两点，P为圆C上的动点（异于A,B两点）.
(1)若线段AP上有一点Q，满足，求点Q的轨迹方程；
(2)若直线AP与y轴交于点M，直线BP与x轴交于点N，试证为定值.
17．已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点.
（1）求点B的坐标;
（2）O为坐标原点,且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点,求m的取值范围.
18．在平面直角坐标系xOy中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段AB相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值；
(3)在直线AO上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
19．已知初始光线从点出发，交替经直线与x轴发生一系列镜面反射，设（不为原点）为该束光线在两直线上第i次的反射点，为第i次反射后光线所在的直线
(1)若初始光线在x轴上，求最后一条反射光线的方程；
(2)当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由；
(3)是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的方程；若不存在，求出点集元素个数n的最大值，以及使得n取到最大值时所有第一个反射点的轨迹方程.
参考答案
1．答案：D
解析：依题意,直线经过点,,
则直线的斜率为,
故直线的倾斜角为.
故选:D.
2．答案：B
解析：椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8，
故，
且，
故，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B
3．答案：D
解析：直线与直线互相垂直，
，
即，
解得或不满足直线，舍去)
故选：D
4．答案：C
解析：圆的圆心坐标为，半径为，
直线过圆内定点，
斜率可正可负可为0，
ABD选项都有可能，C选项不可能.
故选：C
5．答案：A
解析：解：由，得，
圆心为，
由已知，反射光线经过，故C点关于直线的对称点在入射光线上.
且光源，
入射光线的斜率.
故选：A
6．答案：A
解析：由圆，
可得圆心，半径，
又，
所以，
所以，
因为，
所以.
故选：A.
7．答案：D
解析：因为圆关于直线对称,
所以直线l过圆心,即,
则
因为,且,
所以,,
所以,
当且仅当即,等号成立,
则的最小值是4.
故选：D
8．答案：D
解析：
圆关于直线对称的曲线
N点关于直线的对称点在圆上，
则有，故
当M，P，三点共线时，距离和最小．
从而转化成求M，两点距离的最小值．
而，
故选：D
9．答案：BCD
解析：由原方程可得椭圆标准方程为,
,,故A错误;
由椭圆定义可知,故B正确;
由椭圆的性质知,故C正确;
易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点,故满足为直角的点P有4个,故D正确.
故选:BCD
10．答案：ABD
解析：圆心到直线的距离为，
所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得，
当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确；
因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确；
因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点P使，故C不正确；
对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以为直径的圆的方程为，化简得，
所以为圆C与以为直径的圆的公共弦，
联立可得，两式相减可得：，
即直线的方程为，
即，
故直线过定点，故D正确；
故选：ABD
11．答案：AC
解析：对于A中，由，得，
即，
即，
所以或，
即或，
所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆，所以A正确；
对于B中，由表示点到原点距离的平方，
最大值为，所以B错误；
对于C中，如图所示，设过点且与圆N相切的直线方程为，
则点N到该直线的距离，解得，
即图中直线AC的斜率为1，可得直线AC的方程为，
点M到直线AC的距离，则直线AC与圆相切，
设过点A且与圆M相切的直线方程为，
则点M到该直线的距离，解得，
又由表示的是点到点的斜率，
故的取值范围为，所以C正确；
对于D中，由C项可知直线与圆M,N均相切，
所以直线与曲线C有且仅有2个交点，所以D错误．
故选：AC
12．答案：;
解析：由题意知,向量是直线l的一个法向量,可得斜率为,
设直线l的倾斜角为,可得,可得
则直线l的倾斜角的大小为.
故答案为:;.
13．答案：
解析：设是椭圆C的右焦点，连接，

由对称性可知：，则为平行四边形，
则，
即，
因为，
则，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得，
所以椭圆C的离心率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意可知,动直线,经过定点,
动直线即,经过定点,
时,动直线和动直线的斜率之积为,
时,也垂直,
所以两直线始终垂直,又P是两条直线的交点,
,
.
设,则,,
由且,可得,
,
,
,
,
,
故答案为:.
15．答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意可设，
则，即，且，可得，
所以椭圆方程为.
（2）设，
将直线与椭圆联立，得，解得或
所以弦长.
16．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：（1）根据题意，，，
设，则，
由于，所以，
则，得，将其代入，
得，故点Q的轨迹方程为；
（2）设，则，
直线AP方程是，代入，得，
直线BP方程是，代入，得，
所以
，即为定值．

17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,,因为点B与点A关于直线l的对称,则有
线段AB的中点在直线l上,即①,
又直线直线l,且直线l的斜率为1,则②
联立①②式子解得,
故点B的坐标
（2）设,由,则,
故,化简得,
所以点P的轨迹是圆,其方程为,圆心坐标,半径.
又因为直线与圆有公共点,
利用圆心到直线的距离小于等于半径,则,
解得.
故m的取值范围为.
18．答案：(1)
(2)
(3)存在，且
解析：（1）由于，，则线段AB与x轴平行，且与圆O相切.
所以圆O的圆心为，半径为1，
所以圆O的方程为.
（2）由于，
所以，
由于三角形是等腰直角三角形，
所以O到直线MN的距离为，
所以.

（3）直线AO的方程为，假设存在符合题意的点，设，
则①，
由于P的任意性，不妨设或，带入①得，
，解得或（舍去），
所以（负根舍去），
将带入①得，
整理得，则P在圆O上.
所以，这样的Q点是存在的，坐标为，此时.

19．答案：(1)
(2)，理由见解析
(3)n的最大值为取最大值4时，的轨迹方程为或
解析：（1）由题可得的斜率为，
故的方程为，
联立，解得，则，
设关丁的对称点为.
所以，
则关丁的对称点为，
经过和，故的直线方程为，
所以，的斜率为，故的直线方程为，
后面不会再进行反射，
所以最后一条反射光线的方程为.
（2）由于和直线的夹角相等得夹角正切值相等，则，
所以或，
解得（舍）或.
（3）由题意得当且时光线停止反射，
设的斜率为，
1)当在直线l上时，或不存在，
①当时，，反射1次；
②当时，，反射2次；
③当时，，反射3次；
④当时，不存在，不存在，，反射3次；
⑤当时，，反射4次；
⑥当不存在时，，反射1次；
2)当在轴上时，或不存在，
①当时，，反射2次；
②当时，，反射1次；
③当时，，反射4次；
④当时，反射3次；
⑤当不存在时，不存在，，反射2次；
综上，n的最大值为4，由1），2）可知，n取最大值4时，的轨迹方程为或.