2023-2024学年福建省厦门市双十中学高二（下）第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省厦门市双十中学高二（下）第二次月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知圆C：x2+y2+mx+1=0的面积为π，则m=( )
A. ±2B. ±2 2C. ±4 2D. ±8
2.若随机变量X～N(3,22)，随机变量Y=12(X−3)，则E(Y)+1D(Y)+1=( )
A. 0B. 12C. 45D. 2
3.甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有( )
A. 6种B. 3种C. 20种D. 12种
4.已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是( )
A. 若m⊥α、n/​/α，则m⊥nB. 若m⊥α，m/​/n，则n⊥α
C. 若m/​/n，n⊥β，m⊥α，则α/​/βD. 若m⊥α，m⊥n，则n/​/α
5.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=14，P(B)=13，P(A∪B)=12，则P(B|A−)=( )
A. 14B. 13C. 16D. 112
6.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则“Sn≥nan”是“{an}是递减数列”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.若a=ln1.1，b=1e0.9，c= 0.1，则( )
A. a8.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，其内切圆与AC边相切于点D，且AD=1.延长BA至点E.使得BC=BE，连接CE.设以C，E两点为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1，以C，E两点为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2，则e1e2的取值范围是( )
A. [ 32,+∞)B. ( 32,+∞)C. [1,+∞)D. (1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.椭圆C：x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若∠F1AF2=π3，则( )
A. C的焦距为2B. C的短轴长为2 3
C. C的离心率为 32D. △ABF2的周长为8
10.已知f(x)=13x3−2x2+3x+1，则下列结论正确的是( )
A. f(x)有三个零点
B. f(x)有两个极值点
C. 若方程f(x)=a有三个实数根，则a∈(1,73)
D. 曲线y=f(x)关于点(1,73)对称
11.已知数列{an}的通项公式为an=14n−3，其前n项和为Sn，数列{1an}与数列{4nanan+1}的前n项和分别为Rn，Tn，则( )
A. an+1an<14B. 存在n，使得Tn>13
C. Sn<4339D. Rn≥6n2−5n
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(x−1x)2(2x+1)5的展开式中，含x3的项的系数为______．
13.记Sn为等比数列{an}的前n项的和，若a3+a4=1，4S6=7S2，则S12= ______．
14.如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD体积为8 3，则模型中最大球的体积为______，模型中九个球的表面积之和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
正四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，高为4，点M，N分别在线段PC，AB上，且AN=2NB，PC=4PM，E为PC的中点．
(1)求证：BE//平面DMN；
(2)求直线AC与平面DMN所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为2018−2023年全球新能源汽车的销售量情况统计．
若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
(1)求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01)；
(2)求y关于x的经验回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量．
附：经验回归方程y =b x+a，其中b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2,â=y−−b x−，样本相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2=i=1nxiyi−nx−y− i−1nxi2−nx−2 i=1nyi2−ny−2．
参考数据：i=16xiyi=181.30，i=16yi2=380.231， 17.5≈4.2， 126.731≈11.2．
17.(本小题15分)
设函数f(x)=4lnx−ax2+(4−2a)x，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若函数f(x)存在极值，对任意的0(ⅰ)证明不等式lnx2−lnx1x2−x1>2x2+x1．
(ⅱ)判断并证明x1+x22与x0的大小．
18.(本小题17分)
已知抛物线E：y2=2x的焦点为F，A，B，C为E上不重合的三点．
(1)若FA+FB+FC=0，求|FA|+|FB|+|FC|的值；
(2)过A，B两点分别作E的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，过A，B两点分别作l1，l2的垂线l3，l4，l3与l4相交于点M．
(i)若|AB|=4，求△ABD面积的最大值；
(ii)若直线AB过点(1,0)，求点M的轨迹方程．
19.(本小题17分)
设点集Mn={(a1,a2,a3,…,an)|ai=0或1，1≤i≤n，i∈N+}，从集合Mn中任取两个不同的点A(a1,a2,a3,…,an)，B(b1,b2,b3,…,bn)，定义A，B两点间的距离d(A,B)=i=1n|ai−bi|．
(1)求M3中d(A,B)=2的点对的个数；
(2)从集合Mn中任取两个不同的点A，B，用随机变量X表示他们之间的距离d(A,B)，
①求X的分布列与期望；
②证明：当n足够大时，4D(X)参考答案
1.B
2.B
3.A
4.D
5.B
6.B
7.C
8.D
9.ABD
10.BC
11.ACD
12.−118
13.6316
14.4π3 9π
15.解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OP，
因为底面ABCD是边长为6的正方形，
所以AC⊥BD，且AC=BD=6 2，O为AC，BD的中点，
因为四棱锥P−ABCD为正四棱锥，
所以PO⊥平面ABCD，则OB，OC，OP两两互相垂直，
以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(0,−3 2,0)，B(3 2,0,0)，C(0,3 2,0)，D(−3 2,0,0)，P(0,0,4)，E(0,32 2,2)，M(0,34 2,3)，N(2 2,− 2,0)，
所以BE=(−3 2,32 2,2)，DM=(3 2,34 2,3)，DN=(5 2,− 2,0)，
设平面DMN的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DM=3 2x+34 2y+3z=0n⋅DN=5 2x− 2y=0，
令x=4，得y=20，z=−9 2，所以n=(4,20,−9 2)，
因为BE⋅n=−3 2×4+32 2×20+2×(−9 2)=0，
所以BE⊥n，因为BE⊄平面DMN，所以BE//平面DMN；
(2)由(1)知，平面DMN的一个法向量为n=(4,20,−9 2)，
设直线AC与平面DMN所成角为θ，
因为AC=(0,6 2,0)，
所以sinθ=|cs|=|AC⋅n||AC||n|=|120 2|6 2× 16+400+162=10 217．
16.解：(1)因为x−=1+2+3+4+5+66=3.5，y−=2.02+2.21+3.13+6.7+10.8+14.146=6.5，
所以i=16xi2−6x−2=1+4+9+16+25+36−6×494=17.5，i=16yi2−6y−2=380.231−6×6.52=126.731，
所以r=i=16xiyi−6x−y− i=16xi2−6x−2 i=16yi2−6y−2=181.30−6×3.5×6.5 17.5× 126.731≈0.952；
(2)由题意得b̂=i=16xiyi−6x−y−i=16xi2−6x−2=181.30−6×3.5×，
所以â=y−−b x−=6.5−3.5×2.56=−2.46，
所以y关于x的经验回归方程为y=2.56x−2.46，
所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为2.56×7−2.46=15.46百万辆．
17.解(1)函数f(x)=4lnx−ax2+(4−2a)x，a∈R．
则f′(x)=4x−2ax+4−2a=−1x(2ax−4)(x+1)，x>0，
若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
若a>0，由f′(x)=0得x=2a，
当x∈(0,2a)时f′(x)>0；当x∈(2a,+∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,2a)单调递增，在(2a,+∞)单调递减．
(2)因为f(x)存在极值，由(1)知a>0，
f(x2)−f(x1)=4(lnx2−lnx1)−a(x22−x12)+(4−2a)(x2−x1)
=4(lnx2−lnx1)−a(x2+x1)(x2−x1)+(4−2a)(x2−x1)，
由题设得f′(x0)=f(x2)−f(x1)x2−x1=4(lnx2−lnx1)x2−x1−a(x2+x1)+4−2a，
因为01)，
①要证明lnx2−lnx1x2−x1>2x2+x1即证明lnt>2(t−1)t+1，
设g(t)=lnt−2(t−1)t+1，(t>1)，
则g′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，
所以g(t)在(1,+∞)上单调递增，g(t)>g(1)=0，
所以lnt>2(t−1)t+1，即lnx2−lnx1x2−x1>2x2+x1得证．
②f′(x1+x22)=8x1+x2−a(x2+x1)+4−2a，
f′(x0)−f′(x1+x22)=4(lnx2−lnx1x2−x1−2x1+x2)>0，
所以f′(x0)>f′(x1+x22)，
所以f′(x)=4x−2ax+(4−a)在(0,+∞)上是减函数，
所以x1+x22>x0．
18.解：(1)易知抛物线E的焦点F(12,0)，
不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，
因为FA+FB+FC=0，
所以(x1−12)+(x2−12)+(x3−12)=0，
整理得x1+x2+x3=32，
由抛物线定义得|FA|+|FB|+|FC|=(x1+12)+(x2+12)+(x3+12)=3；
(2)(i)易知直线AB的斜率不为0，
不妨设直线AB的方程为x=my+n，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立x=my+ny2=2x，消去x并整理得y2−2my−2n=0，
此时Δ=4m2+8n>0，
由韦达定理得y1+y2=2m，y1y2=−2n，
因为y2=2x，
所以y=± 2x，
可得y′=±1 2x=1y，
则切线l1的方程为y=1y1(x−x1)+y1=1y1x+y12，
同理得切线l2的方程为y=1y2x+y22，
联立y=1y1x+y12y=1y2x+y22，
解得x=y1y22=−ny=y1+y22=m，
即D(−n,m)，
又点D到直线AB的距离为d=|m2+2n| 1+m2，
而|AB|= 1+m2 (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2 4m2+8n=4，
整理得m2+2n=41+m2，
则S△ABD=12|AB|d=12×4×|m2+2n| 1+m2=8(1+m2) 1+m2≤8，
当且仅当m=0时，等号成立，
故△ABD面积的最大值为8；
(ii)若直线AB过点(1,0)，
不妨设设直线AB的方程为x=my+1，
联立x=my+1y2=2x，消去x并整理得y2−2my−2=0，
由韦达定理得y1+y2=2m，y1y2=−2，
所以直线l3的方程为y=−y1x+x1y1+y1=−y1x+y132+y1，
同理得直线l4的方程为y=−y2x+y232+y2．
联立y=−y1x+y132+y1y=−y2x+y232+y2，
解得x=y12+y22+y1y22+1y=−y1y2(y1+y2)2，
因为y1+y2=2m，y1y2=−2，
所以x=2m2+2y=2m，整理得y2=2x−4．
故点M的轨迹方程为y2=2x−4．
19.解：(1)当n=3时，若d(A,B)=2，可知A，B有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，
所以共有C31A22A22=12对；
(2)①由题意可知，Mn中元素的个数为2n个，
对于X=k的随机变量，在坐标(a1,a2,a3,⋯⋯,an)与(b1,b2,b3,⋯⋯,bn)中有k个坐标值不同，
即ai≠bi，剩下n−k个坐标值满足ai=bi，
此时所对应情况数为Cnk⋅2k22n−k=Cnk⋅2n−1种，
所以P(X=k)=Cnk⋅2n−1C2n2=Cnk2n−1，
故X的分布列为：
数学期望E(X)=1×Cn12n−1+2×Cn22n−1+⋯+n×Cnn2n−1=1×Cn12n−1+2×Cn22n−1+⋯+n×Cnn2n−1+0，
当2≤k≤n时，则kCnk+(n−k+2)Cnn−k+2=k×n!k!(n−k)!+(n−k+2)×n!(n−k+2)!(k−2)!
=n!(k−1)!(n−k)!+n!(n−k+1)!(k−2)!=n!(n−k+1)!(k−1)!(n−k+1+k−1)
=n⋅n!(n−k+1)!(k−1)!=nCnk−1，
且Cn1+0=n=n⋅Cn0=n⋅Cnn，
则E(X)=0+n×Cnn2n−1+(n−1)×Cnn−12n−1+⋯+1×Cn12n−1，
两式相加得2E(X)=n2n−1(Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn)=n⋅2n2n−1，
所以E(X)=n2(1−2−n)；
证明：②当n足够大时，E(X)≈n2，
由方差定义D(X)=k=1nPk⋅[Xk−E(X)]2
=Cn12n−1(1−n2)2+Cn22n−1(2−n2)2+⋯+Cnn2n−1(n−n2)2
=12n−1[Cn1⋅(1−n2)2+Cn2⋅(2−n2)2+⋯+Cnn⋅(n−n2)2]
=12n−1{n24(Cn1+Cn2+⋯Cnn)+Cn1(12−n)+Cn2(22−2n)+Cn3(32−3n)+⋯+Cnn−1[(n−1)2−(n−1)⋅n]+Cnn(n2−n⋅n)}，
因为k≤n，则(n−k)2−(n−k)⋅n=k(k−n)≤0，当且仅当k=0或k=n时，等号成立，
则D(X)<12n−1[n24(Cn1+Cn2+⋯+Cnn)]=12n−1[n24(2n−1)]=n24，
所以4D(X)2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份编号x
1
2
3
4
5
6
销售量y/百万辆
2.02
2.21
3.13
6.70
10.80
14.14
X
1
2
…
n
P
Cn12n−1
Cn22n−1
…
Cnn2n−1