内蒙古赤峰市洪山区2024-2025学年九年级数学第一学期开学学业质量监测试题【含答案】

这是一份内蒙古赤峰市洪山区2024-2025学年九年级数学第一学期开学学业质量监测试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长是（ ）
A．6.5B．8.5C．13D．
2、（4分）直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）
4、（4分）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠1C．x≥1D．x≤1
5、（4分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ）
A．8，15，17B．1，2，C．7，23，25D．1.5，2，2.5
6、（4分）若分式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（ ）
A．B．
C．D．
8、（4分）如图，在所在平面上任意取一点O（与A、B、C不重合），连接OA、OB、OC，分别取OA、OB、OC的中点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（ ）
A．与是位似图形
B．与是相似图形
C．与的周长比为2:1
D．与的面积比为2:1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=9，则EF的长为______．
10、（4分）如图，点A的坐标为，点B在直线上运动则线段AB的长度的最小值是___．
11、（4分）在平面直角坐标系中，点P（1，-3）关于原点O对称的点的坐标是________．
12、（4分）当m=_____时，是一次函数.
13、（4分）在直角三角形ABC中，∠B=90°，BD是AC边上的中线，∠A=30°，AB=5，则△ADB的周长为___________
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（0，2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图，以点A为直角顶点作∠CAD＝90°，射线AC交x轴于点C，射线AD交y轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转，且点C在x轴的负半轴上，点D在y轴的负半轴上时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围．
15、（8分）在倡导“社会主义核心价值观”演讲比赛中，某校根据初赛成绩在七、八年级分别选出10名同学参加决赛，对这些同学的决赛成绩进行整理分析，绘制成如下团体成绩统计表和选手成绩折线统计图：
根据上述图表提供的信息，解答下列问题：
（1）请你把上面的表格填写完整；
（2）考虑平均数与方差，你认为哪个年级的团体成绩更好？
（3）假设在每个年级的决赛选手中分别选出2个参加决赛，你认为哪个年级的实力更强一些？请说明理由．
16、（8分）A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
17、（10分）如图是两个全等的直角三角形（和）摆放成的图形，其中，，点B落在DE边上，AB与CD相交于点F．若，求这两个直角三角形重叠部分的周长.
18、（10分）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿运动，点从点出发的同时，点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点、运动的时间为秒，从运动开始，当取何值时，？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）方程的两个根是和，则的值为____．
20、（4分）已知点P(-2,1)，则点P关于x轴对称的点的坐标是__．
21、（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是_______．
22、（4分）已知点A（﹣，a），B（3，b）在函数y＝﹣3x+4的象上，则a与b的大小关系是_____．
23、（4分）如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠ECD＝___°．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某港口P位于东西方向的海岸线上．在港口P北偏东25°方向上有一座小岛A，且距离港口20海里；在港口与小岛的东部海域上有一座灯塔B，△PAB恰好是等腰直角三角形，其中∠B是直角；
（1）在图中补全图形，画出灯塔B的位置；（保留作图痕迹）
（2）一艘货船C从港口P出发，以每小时15海里的速度，沿北偏西20°的方向航行，请求出1小时后该货船C与灯塔B的距离．
25、（10分）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．
26、（12分）某县教育局为了了解学生对体育立定跳远（）、跳绳（）、掷实心球（）、中长跑（）四个项目的喜爱程度（每人只选一项），确定中考体育考试项目，特对八年级某班进行了调查，并绘制成如下频数、频率统计表和扇形统计图：
（1）求出这次调查的总人数；
（2）求出表中的值；
（3）若该校八年级有学生1200人，请你算出喜爱跳绳的人数，并发表你的看法．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
利用勾股定理求得直角三角形的斜边，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题．
【详解】
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝1
则根据勾股定理知，AB＝＝13
∵CD为斜边AB上的中线
∴CD＝AB＝6.1．
故选：A．
本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．即直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方．直角三角形的性质：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．
2、C
【解析】
根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可．
【详解】
设直角三角形的两条直角边分别为x、y，
斜边上的中线为d，
斜边长为2d，
由勾股定理得，，
直角三角形的面积为S，
，
则，
则，
，
这个三角形周长为：，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，得出．
3、B
【解析】
试题分析：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．
∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，当x=3时，y=，∴点E坐标（3，）
故选B．
考点：1矩形；2轴对称；3平面直角坐标系.
4、B
【解析】
根据题意若函数y=有意义，可得x-1≠0；
解得x≠1；故选B
5、C
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【详解】
A．因为 82+152=172,故以8，15，17为三边长能构成直角三角形,故本选项不符合题意；
B． 12+22=()2，故以1，2，为三边长能构成直角三角形,故本选项不符合题意；
C． 72+232≠252，故以7，23，25为三边长不能构成直角三角形,故本选项符合题意；
D． ，故以为三边长能构成直角三角形,故本选项不符合题意．
故选C．
此题考查的是直角三角形的判定，掌握用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键．
6、B
【解析】
分式有意义，则，求出x的取值范围即可.
【详解】
∵分式有意义，
∴，
解得：，
故选B.
本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分式有意义的条件是解决本题的关键.
7、B
【解析】
由题意，爷爷在公园回家，则当时，；从公园回家一共用了45分钟，则当时，；
【详解】
解：由题意，爷爷在公园回家，则当时，；
从公园回家一共用了分钟，则当时，；
结合选项可知答案B．
故选：B．
本题考查函数图象；能够从题中获取信息，分析运动时间与距离之间的关系是解题的关键．
8、D
【解析】
根据三角形中位线定理得到A1B1=AB，A1C1=AC，B1C1=BC，根据位似变换的概念、相似三角形的性质判断即可．
【详解】
∵点A1、B1、C1分别是OA、OB、OC的中点，
∴A1B1=AB，A1C1=AC，B1C1=BC，
∴△ABC与△A1B1C1是位似图形，A正确；
△ABC与是△A1B1C1相似图形，B正确；
△ABC与△A1B1C1的周长比为2：1，C正确；
△ABC与△A1B1C1的面积比为4：1，D错误；
故选：D．
考查的是位似变换，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长
【详解】
解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，
∴DF=AB=1.5，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=4.5，
∴EF=DE-DF=1，
故答案为：1．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
10、
【解析】
当线段AB最短时，直线AB与直线垂直，根据勾股定理求得AB的最短长度．
【详解】
解：当线段AB最短时，直线AB与直线垂直，
过点A作直线l，
因为直线是一、三象限的角平分线，
所以，
所以，
所以，
，即，
所以．
故答案是：．
考查了垂线段最短的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，熟知垂线段最短是解题的关键．
11、（﹣1，3）
【解析】
根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），然后直接作答即可．
【详解】
根据中心对称的性质,可知：点P(1,−3)关于原点O中心对称的点P`的坐标为(−1,3).
故答案为：（﹣1，3）.
此题考查关于原点对称的点的坐标，解题关键在于掌握其性质.
12、3或0
【解析】
根据一次函数的定义即可求解.
【详解】
依题意得m-3≠0，2m+1=1或m-3=0,
解得m=0或m=3，
故填：3或0.
此题主要考查一次函数的定义，解题的关键是熟知一次函数的特点.
13、
【解析】
先作出Rt△ABC，根据∠A=30°，AB=5，可求得BC、 AC的长度，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出中线BD的长度，继而可求得△ADB的周长．
【详解】
解：如图所示，
∵∠ABC=90°，∠A=30°，AB=5，
∴设BC=x,则AC=2x
∵
∴
∴x=5
∴BC=5,AC=10
在直角三角形ABC中，∠ABC==90°，BD是AC边上的中线
∴
∴△ADB的周长为:
故答案为：
本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形和直角三角形斜边的中线等知识，解答本题的关键是根据勾股定理求出直角边的长度．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）不变，值为2.
【解析】
（1）由、两点的坐标利用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为、，可证明，可得到，从而可把转化为，再利用线段的和差可求得．
【详解】
解：（1）设直线的解析式为：．
点，点在直线上，
，
解得．
直线的解析式为：；
（2）不变．
理由如下：
过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图1．
则，
又，
，
，
，
，
．
，
．
在和中，
，
，
．
．
故的值不发生变化，值为2．
考查了一次函数综合题，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
15、（1）八年级成绩的平均数1.7，七年级成绩的众数为80，八年级成绩的众数为1；
（2）八年级团体成绩更好些；
（3）七年级实力更强些．
【解析】
（1）通过读图即可，即可得知众数，再根据图中数据即可列出求平均数的算式，列式计算即可．
（2）根据方差的意义分析即可．
（3）分别计算两个年级前两名的总分，得分较高的一个班级实力更强一些．
【详解】
解：（1）由折线统计图可知：
七年级10名选手的成绩分别为：80，87，89，80，88，99，80，77，91，86；
八年级10名选手的成绩分别为：1，97，1，87，1，88，77，87，78，88；
八年级平均成绩=（1+97+1+87+1+88+77+87+78+88）=1.7(分)，
七年级成绩中80分出现的次数最多，所以七年级成绩的众数为80；
八年级成绩中1分出现的次数最多，所以八年级成绩的众数为1．
（2）由于七、八年级比赛成绩的平均数一样，而八年级的方差小于七年级的方差，方差越小，则其稳定性越强，所以应该是八年级团体成绩更好些；
（3）七年级前两名总分为：99+91=190(分)，
八年级前两名总分为：97+88=11(分)，
因为190分>11分，所以七年级实力更强些．
本题考查了折线统计图，此题要求同学们不但要看懂折线统计图，而且还要掌握方差、平均数、众数的运用．
16、A型机器人每小时搬运kg化工原料，B型机器人每小时搬运kg化工原料.
【解析】
设B种机器人每小时搬运x千克化工原料，则A种机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料，根据A型机器人搬运900kg原料所用时间与B型机器人搬运600kg原料所用时间相等，列方程进行求解即可.
【详解】
设B型机器人每小时搬运kg化工原料，则A型机器人每小时搬运kg化工原料，由题意得，
，
解此分式方程得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
当时，，
答：A型机器人每小时搬运kg化工原料，B型机器人每小时搬运kg化工原料.
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据A型机器人搬运900kg原料所用时间与B型机器人搬运600kg原料所用时间相等建立方程是关键．
17、
【解析】
根据全等三角形的性质得出BC=EC，∠ABC=∠E=60°，求出△BCE是等边三角形，求出∠DCB=30°，∠BFC=90°，解直角三角形求出BF和CF，即可求出答案．
【详解】
解：如图
∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，在中，
∴，，
∴的周长是．
本题考查了全等三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，求出BF和CF的长是解此题的关键．
18、当时，
【解析】
首先判定当时，四边形PDCQ是平行四边形，然后利用其性质PD=QC，构建方程，即可得解.
【详解】
当时，四边形PDCQ是平行四边形，
此时PD=QC，
∴
∴
∴当时，.
此题主要考查利用平行四边形的性质构建方程，即可解题.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据韦达定理求解即可．
【详解】
∵方程的两个根是和
∴由韦达定理得
故答案为：．
本题考查了一元二次方程根的问题，掌握韦达定理是解题的关键．
20、 (-2,-1)
【解析】
根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】
点P（﹣2，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1），
故答案是：（﹣2，﹣1）．
考查了关于x轴对称的对称点，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．
21、（2，2）．
【解析】
解：过点B作DE⊥OE于E，
∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，
∴∠CAO=30°．
又∵OC=2，∴AC=1．∴OB=AC=1．
又∵∠OBC=∠CAO=30°，DE⊥OE，∠CBA=90°，∴∠OBE=30°．
∴OE=2，BE=OB·cs∠OBE=2．
∴点B的坐标是（2，2）．
故答案为：（2，2）．
22、a＞b
【解析】
根据k<0,y随x增大而减小解答
【详解】
解：∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣＜3，
∴a＞b．
故答案为：a＞b．
此题主要考查了一次函数的图像上点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解更简便
23、17.1．
【解析】
根据矩形的性质由∠ADF求出∠CDF，再由等腰三角形的性质得出∠ECD即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADF=21°，
∴∠CDF=∠ADC﹣∠ADF=90°﹣21°=61°，
∵DF=DC，
∴∠ECD=，
故答案为：17.1．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠CDF．是一道中考常考的简单题．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）如图，点B即为所求见解析；（2）出发1小时后，货船C与灯塔B的距离为5海里．
【解析】
（1）轨迹题意画出图形即可；
（2）首先证明∠CPB＝90°，求出PB、PC利用勾股定理即可解决问题；
【详解】
（1）如图，点B即为所求
（2）如图，∠CPN＝20°，∠NPA＝25°，
∠APB＝45°，∠CPB＝90°
在Rt△ABP中，∵AP＝20，BA＝BP，
∴PB＝10
在Rt△PCB中，由勾股定理得，
CB＝＝＝5，
∴出发1小时后，货船C与灯塔B的距离为5海里．
此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
25、见解析；
【解析】
试题分析：（1）直接利用三角形中位线定理得出DEBC，进而得出DE=FC；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长
试题解析：（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DEBC，
∵延长BC至点F，使CF=BC， ∴DEFC， 即DE=CF；
（2）解：∵DEFC， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2， ∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2， ∴DC=EF=．
考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
26、（1）60；（2） ；（3）240人，看法见解析
【解析】
（1）用C科目人数除以其所占比例；
（2）根据频数=频率×总人数求解可得；
（3）总人数乘以样本中B科目人数所占比例，根据图表得出正确的信息即可．
【详解】
解：（1）这次调查的总人数为6÷（36÷360）=60（人）；
（2）a=60×0.5=30（人）；b=12÷60=0.2；c=6÷60=0.1；d=0.2×60=12（人）；
（3）喜爱跳绳的人数为1200×0.2=240（人），
由扇形统计图知喜爱立定跳远的人数占总人数的一半，是四个学科中人数最多的科目．
本题考查了扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应百分比．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
七年级
八年级
平均数
85.7
_______
众数
_______
_______
方差
37.4
27.8