福建省福州2024-2025学年第一学期高三第二次质量检测试卷数学（含答案）

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命题人：高三数学集备组审卷人：高三数学集备组
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.
第Ⅰ卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（）
AB. C. D.
2. 设，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=
A. B. C. D.
4. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A. B. C. D.
5. 函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（）
A. B.
C. D.
7. 在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（）
AB. C. D.
8. 已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知各项均为正数的等差数列，且，则（）
A. B.
C. 数列是等差数列D. 数列是等比数列
10. 如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点，则下列结论正确的是（）
A. 平面
B. 点与点到平面的距离相等
C. 平面截正方体所得截面图形为等腰梯形
D. 平面将正方体分割成的上、下两部分的体积之比为
11. 已知奇函数的定义域为，，对于任意的正数，都有，且时，都有，则（）
A.
B. 函数在内单调递增
C. 对于任意都有
D. 不等式的解集为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上.
12. 已知单位向量，向量，，若，则实数λ＝________．
13. 直线被圆截得最大弦长为______．
14. 对于正整数n，设是关于x的方程的实数根.记，其中表示不超过x的最大整数，则____________；设数列的前n项和为则___.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
16. 在中，角的对边分别为的面积为，已知.
（1）求角；
（2）若的周长为，求的最大值.
17. 已知椭圆：右焦点F在直线上，A，B分别为的左、右顶点，且.
（1）求C的标准方程；
（2）是否存在过点的直线交C于M，N两点，使得直线，的斜率之和等于-1？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
18. 如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面.
（1）求证：平面平面.
（2）求二面角的余弦值.
（3）为平面内一点，若平面，求长.
19. 设a，b实数，且，函数.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，对任意，函数有两个不同的零点x1,x2,x2>x1，证明：.
（注：是自然对数的底数）