福建省福州市2024-2025学年高三年级上学期第一次质量检测数学

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一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
题目 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C B A D B C
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题目 9 10 11
答案 AD ABD BCD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
题目 12 13 14
答案 3 5 (24，25)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13 分）
（1）证明：数列 1
a + 是等比数列；
n
所以 a +1 0 ，···················································································1 分
n
3(a +1)
= n =
3 ，····································································5 分
a +1
n
又 a1 +1= 3 ，
所以数列 1
a + 是以3为首项，3为公比的等比数列． ·······························6 分
n
（2）由（1）得 a +1= 3n ，所以 a = 3n −1，·············································8 分
n n
所以 ( ) ( ) ( )
3 1 32 1 3n 1 n
数学试题 第1页（共 14 页）
}已知数列 
a 满足
n
a1 = 2 ，
a +1 = 3a + 2 ．
n n
（2）求 
a 的前 n 项和
n
S ．
n
【解法一】（1）证明：因为
a +1 = 3a + 2 ，且 a = ，
1 2
n n
a + + = a + +
1 3 2 1
所以 1
n n
a +1 a +1
n n
········································································3 分
( )
= 3+3 +3 + +3n − n ···························································· 10 分
2 3
3 3
n+1 −
= − n. ············································································ 13 分
2
所以 a + + = a + = (a + )，·····························································2 分
n n n
1 1 3 3 3 1
因为 a1 = 2 ，所以 1 1 3 0
a + =  ，所以 a +1 0 ， ········································4 分
n
所以数列 1
a + 是以3为首项，3为公比的等比数列． ·······························6 分
n
（2）略，同解法一．
16. （15 分）
已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 2acsC = 3bcsC + 3c cs B ．
（1）求角C ；
（2）若 a = 4 ， b = 3 ， D 为 AB 中点，求CD 的长．
【解法一】（1）因为 2acsC = 3bcsC + 3c cs B ，
由正弦定理，
得 2sin AcsC = 3 sin BcsC + 3 cs BsinC ··············································2 分
= ( + ) ··································································4 分
3sin B C
= 3sin(π − A)
= 3 sin A ，······································································6 分
因为 0  A  π ，则sin A  0，所以 cs 3
C = ，··········································7 分
2
π
由于 0  C  π ，则C = ； ····································································8 分
6
1
（2）因为 D 为 AB 中点，故 ( )
2
数学试题 第2页（共 14 页）
}3 3
− n+1
= −
1− 3
n
············································································ 12 分
【解法二】（1）证明：因为
a +1 = 3a + 2 ，
n n
a + + =
1
所以 1
n
a +1
n
3 ,
2 1
2
所以 ( )
CD = CA + CB ······································································ 11 分
4
1 1 1 π
2 2
= CA + CB + CA CB ············································ 13 分
cs
4 4 2 6
1 1 1 3
= 3 + 16 +  3  4
4 4 2 2
31
= ，················································································· 14 分
4
【解法二】（1）因为 2acsC = 3bcsC + 3c cs B ，
a + b − c a + c − b
2 2 2 2 2 2
2acsC = 3b + 3c ···························2 分 由余弦定理，得
2ab 2ac
= 3a ， ····························································4 分
3
所以 csC = ， ················································································6 分
2
π
由于 0  C  π ，则C = ； ····································································8 分
6
π
（2）由（1）知， ACB = ，
6
在△ABC 中，由余弦定理，得
c2 = a2 + b2 − 2abcsACB ··································································· 10 分
2 2 3
= 4 + ( 3) − 2 4 3 
2
7
= ， ··························································································· 11 分
故 c = 7 ，······················································································· 12 分
因为 D 为 AB 中点，
所以 csADC + csBDC = 0 ，
}所以 CD 的长为 31
2
． ······································································ 15 分
故
AD CD AC BD CD BC
2 2 2 2 2 2
+ − + + − =
2 ADCD 2 BDCD
0
，·········································· 13 分
所以
2 2
   
7 7
( )
2
  CD 3   CD 4
+ 2 − + 2 − 2
   
2 2
  +   =
0
7 7
2 CD 2 CD
2 2
数学试题 第3页（共 14 页）
2 31
CD = ， ················································································ 14 分 解得
4
【解法三】（1）略，同解法一或解法二；
π
（2）由（1）知， ACB = ，
6
在△ABC 中，由余弦定理，得
c2 = a2 + b2 − 2abcsACB ··································································· 10 分
2 3
( )
2
= 4 + 3 − 2 4 3 
2
7
= ， ··························································································· 11 分
故 c = 7 ，······················································································· 12 分
3
= − ， ············································································· 13 分
7
在△ACD 中，由余弦定理，
得 CD2 = AC2 + AD2 − 2AC  ADcs A
2
    2 7 7 3
( )
= 3 +   − 2 3  − 
2 2 7
   
31
= ，······················································································· 14 分
4
17. （15 分）
如图，在四棱锥 S − ABCD 中，BC ⊥ 平面 SAB ，AD∥BC ，
SA = BC =1， SB = 2 ， SBA = 45 ．
数学试题 第4页（共 14 页）
}故 CD 的长为 31
2
．··········································································· 15 分
所以 cs
A =
b + c − a
2 2 2
2bc
=
( ) ( )
2 2
3 + 7 − 4
2
2 3  7
故 CD 的长为 31
2
．··········································································· 15 分
【解法一】（1）在 △SAB 中，
因为 SA =1， SBA = 45 ， SB = 2 ，
由正弦定理，得
所以sinSAB =1 ，
因为 0  SAB 180 ，所以 SAB = 90 ，
所以 SA ⊥ AB ． ···················································································4 分
因为 BC ⊥ 平面 SAB ， SA  平面 SAB ，
所以 BC ⊥ SA ， ···················································································5 分
又 BC AB = B ，
所以 SA ⊥ 平面 ABCD ；·········································································6 分
（2）解：由（1）知 SA ⊥ 平面 ABCD ，
又 AB, AD 平面 ABCD ，所以 SA ⊥ AB ， SA ⊥ AD ，
因为 BC ⊥ 平面 SAB ，···········································································7 分
AB  平面 SAB ，所以 BC ⊥ AB ，
因为 AD∥BC ，所以 AD ⊥ AB ，
所以 SA, AD, AB 两两垂直． ···································································8 分
以点 A 为原点，分别以 AD ， AB ， AS 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的
空间直角坐标系， ················································································9 分
S C  1 
则 (0, 0,1), (1,1, 0),D ,0,0 ,
 2 
设平面 SCD 的法向量为 n ，
1 = (x, y, z)
取 x = 2 ，则 1 = (2,−1,1)
数学试题 第5页（共 14 页）
}（2）若
1
AD = ，求平面 SCD 与平面 SAB 的夹角的余弦值．
2
SA SB
=
sinSBA sin SAB
， ·········································································1 分
所以
1 2
=
sin 45 sin SAB
， ······································································2 分
所以 SC = (1,1,−1)， SD =  1 ,0,−1
 2 
，
 ⊥

n
则 1


n ⊥

1
SC,
SD,
即
  = + − =
n SC x y z 0,
 1


1
n  SD = x − z = 0,
 2
1
显然平面 SAB 的一个法向量 2 = (1,0,0)
n ，················································ 12 分
6
= ， ········································································· 14 分
3
【解法二】（1）证明：设 AB = x ，在 △SAB 中，
因为 SA =1， SBA = 45 ， SB = 2 ，
由余弦定理，得
SA2 = SB2 + AB2 − 2SB  ABcsSBA ，······················································1 分
所以1= 2 + x2 − 2 2xcs 45 ， ································································2 分
所以 2 2 2 2 2 1
x + − x  = ，
2
所以 x2 − 2x +1= 0 ，
解得 x =1． ························································································3 分
所以 SA2 + AB2 = SB2 = 2 ，所以 SA ⊥ AB ．················································4 分
因为 BC ⊥ 平面 SAB ， SA  平面 SAB ，
所以 BC ⊥ SA ， ···················································································5 分
又 BC AB = B ，
所以 SA ⊥ 平面 ABCD ；·········································································6 分
（2）略，同解法一．
【解法三】（1）设 AB = x ，在 △SAB 中，
因为 SA =1， SBA = 45 ， SB = 2 ，
由余弦定理，得
SA2 = SB2 + AB2 − 2SB  ABcsSBA ，······················································1 分
数学试题 第6页（共 14 页）
}所以 cs
n ,n =
1 2
n  n
1 2
n  n
1 2
····································································· 13 分
=
2
2 + −1 +1
2 2
( )2
所以平面 SCD 与平面 SAB 的夹角的余弦值为
6
3
． ··································· 15 分
所以 2 2 2 2 2 1
x + − x  = ，
2
所以 x2 − 2x +1= 0 ，
解得 x =1． ························································································3 分
所以 SA2 + AB2 = SB2 = 2 ，所以 SA ⊥ AB ．················································4 分
因为 BC ⊥ 平面 SAB ， BC  平面 ABCD ，
所以平面 ABCD ⊥ 平面 SAB ；·································································5 分
又平面 ABCD 平面 SAB = AB ， SA ⊥ AB ， SA  平面 SAB ，
所以 SA ⊥ 平面 ABCD ；·········································································6 分
（2）由（1）知 SA ⊥ 平面 ABCD ，过 B 作 BM SA，则 BM ⊥ 平面 ABCD ，
又 AB,BC  平面 ABCD ，所以 BM ⊥ AB ， BM ⊥ BC ，
因为 BC ⊥ 平面 SAB ，···········································································7 分
又 AB  平面 SAB ，所以 BC ⊥ AB ，
所以 BM,BA,BC 两两垂直． ··································································8 分
以点 B 为原点，分别以 BA ， BC ，BM 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的
空间直角坐标系， ················································································9 分
SC = − − ， CD = 1,− 1 ,0
( 1, 1, 1)
，
 2 
设平面 SCD 的法向量为 1 = (x, y, z)
n ，
 ⊥
n SC,
则 1

n
⊥ CD,

1
取 y = 2 ，则 ( )
n1 = 1, 2,1 ， ···································································· 11 分
显然平面 SAB 的一个法向量 2 = (0,1, 0)
n ， ··············································· 12 分
数学试题 第7页（共 14 页）
}则 (1, 0,1),C(0,1, 0), 1, ,0 ,
 2 
S D 
1
所以
  = − + − =
n SC x y z

1
即 
1
n CD = x − y = 0,

 2
1
0,
所以 cs
n ,n
1 2
=
n  n
1 2
n  n
1 2
····································································· 13 分
=
2
1 2 1
2 2 2
6
= ， ········································································· 14 分
3
【解法四】（1）略，同解法一或解法二或解法三；
（2）延长CD 、 BA 交于点 M ，连接 SM ，
则平面 SCD 平面 SAB = SM ，·······························································7 分
在△SBM 中，
SB = 2 ， SBA = 45 ， BM = 2 ，
B C
由余弦定理，得
A
SM 2 = SB2 + MB2 − 2SB  MBcsSBM ，
D
M
2 2 22 2 2 2 2 2
所以 ( )
2
SM = + −    = ，··············································9 分
2
所以 SM 2 + SB2 = BM 2 ，
所以 SM ⊥ SB ， ················································································ 10 分
因为 BC ⊥ 平面 SAB ， SM  平面 SAB ，
所以 SM ⊥ BC ，又 SM ⊥ SB ， SB BC = B ，
所以 SM ⊥ 平面 SBC ， ········································································ 11 分
又 SC  平面 SBC ，所以 SM ⊥ SC ，
所以 BSC 为平面 SCD 与平面 SAB 的夹角，············································ 12 分
因为 BC ⊥ 平面 SAB ， SB  平面 SAB ，
所以 BC ⊥ SB ，
因为 SB = 2,BC =1，得 SC = 3 ，······················································· 13 分
SB 2 6
cs = = = ，
BSC 所以
SC 3 3
18. （17 分）
（2）直线 x − my +1= 0(m  0)交W 于 A ， B 两点．
数学试题 第8页（共 14 页）
}所以平面 SCD 与平面 SAB 的夹角的余弦值为
6
3
． ··································· 15 分
所以平面 SCD 与平面 SAB 的夹角的余弦值为
6
3
． ··································· 15 分
x y
2 2
已知椭圆W ： ( )
2 2 1 a b 0 + =   的离心率为
+ =   的离心率为
2 2 1 a b 0
a b
（1）求W 的方程；
1
2
，且过点(2, 0)．
k
（i）点 A 关于原点的对称点为C ，直线 BC 的斜率为 k ，证明：
为定值；
m
（ii）若W 上存在点 P 使得 AP ，PB 在 AB 上的投影向量相等，且 △PAB 的重心在 y
轴上，求直线 AB 的方程．
(ⅰ) 证明：因为点 A 关于原点的对称点为C ，所以C(−x1,−y1) ，

2 2
x y
+ =1 
1 1

4 3
因为点 A ， B 在W 上，所以  ，················································6 分
x y
2 2
 + =
2 2
1

 4 3
(ⅱ)设弦 AB 的中点 D 的坐标为 (x , y ) ，点 P 的坐标为 (x , y ) ，△PAB 的重心G 的
D D P P
 2 2
x y
 + =1
坐标为 (x , y ) ，由  4 3
，得( )
3m2 + 4 y2 − 6my − 9 = 0 ，················ 11 分 G G
x my
 +
− 1= 0
数学试题 第9页（共 14 页）
} =
c 1

a 2
a = 2

【解法一】(1)依题意，得 
 = −
b a c
2 2 2


，···················································3 分
a

解得 
b

=
=
2
3
， ····················································································4 分
所以W 的方程为
x + y = ； ································································5 分
2 2
1
4 3
(2)依题意可设点
A(x , y ) ，
1 1
B(x , y ) ，且 x  x ，
2 2 1 2
所以
x − x y − y
2 2 2 2
2 1 2 1
= − ，即
4 3
y − y
2 2
2 1
x − x
2 2
2 1
= −
3
4
，···············································8 分
因为直线 AB ： x − my +1= 0(m  0)的斜率为
1
m
，直线 BC 的斜率为 k ，·········9 分
所以
k
m
y − y y + y
=  =
2 1 2 1
x − x x + x
2 1 2 1
y − y
2 2
2 1
x x
2 − 2
2 1
= −
3
4
，
即
k
m
3
− ； ············································································· 11 分
为定值
4
所以 ( ) ( )
 = 2 2 = 2 +  ，且
36m +36 3m +4 144 m 1 0
6m
y + y =
1 2 2 +
3m 4
因为 AP ， PB 在 AB 上的投影向量相等，所以 PA = PB ，且 PD ⊥ AB ，
所以直线 PD 的方程为 ( )
y − y = −m x − x ，
D D
即 ( )
m2 3m2 −1 = 0 ，
又因为 m  0 ，所以 3
m =  ，所以直线 AB 的方程为3x  3y + 3 = 0 ． ······· 17 分
3
【解法二】（1）略，同解法一；
(ⅰ) 证明：因为点 A 关于原点的对称点为C ，所以C(−x1,−y1) ，

2 2
x y
 + =
1
，得( )
3m + 4 y − 6my − 9 = 0 ， ·······································6 分
2 2
由  4 3
x my
 +
− 1= 0
6m 8
所以 ( )
x + x = my −1+ my −1= m y + y − 2 = m  − 2 = −
1 2 1 2 1 2 2 2
3m + 4 3m + 4
数学试题 第10页（共 14 页）
}因为 △PAB 的重心G 在 y 轴上，所以
x + x + x
1 2 P 0
= ， ······························ 13 分
3
6m 8
所以 ( ) ( ) ( )
x = − x + x = − my −1+ my −1 = −m y + y + 2 = −m + 2 =所以 ( ) ( ) ( )
P 1 2 1 2 1 2 2 + 2 +
3m 4 3m 4
x + x y + y m
= = − ， y 1 2
4 3
所以 x 1 2 = = ， ······························ 14 分
D +
2 2
+ D
2 3m 4 2 3m 4
，
3m  8 4  9m
所以 = − ( − )= + −  + + +  = − +
y y m x x m
P D P D
2 2 2 2
3m 4 3m 4 3m 4 3m 4
， ······· 15 分
所以点
 − m 
8 9
P ,
 + + 
 m m 
3 4 3 4
2 2
，
又点 P 在W 上，所以
2 2
 8   9m 
−
   
 m +  +  m ，································ 16 分
3 4 3 4
2 2 
+ =

1
4 3
(2)依题意可设点
A(x , y ) ，
1 1
B(x , y ) ，且 x  x ，
2 2 1 2
所以 ( ) ( )
 = 2 2 = 2 +  ，且
36m +36 3m +4 144 m 1 0
6m
y + y =
1 2 2 +
3m 4
，·················7 分
6m
y + y =
所以 1 2 2
3m + 4
，
因为直线 BC 的斜率为 k ，
(ⅱ)设弦 AB 的中点 D 的坐标为 (x , y ) ，点 P 的坐标为 (x , y ) ，△PAB 的重心G 的
D D P P
坐标为 (x , y ) ，
G G
因为 AP ， PB 在 AB 上的投影向量相等，所以 PA = PB ，且 PD ⊥ AB ，
所以直线 PD 的方程为 ( )
y − y = −m x − x ，
D D
即 ( )
m2 3m2 −1 = 0 ，
又因为 m  0 ，所以 3
m =  ，所以直线 AB 的方程为3x  3y + 3 = 0 ． ······· 17 分
3
19. （17 分）
阅读以下材料：
数学试题 第11页（共 14 页）
}k
所以
− (− ) +
y y y y
= = =
2 1 2 1
x − −x x + x
( )
2 1 2 1
6m
3m + 4
2
8
−
3m + 4
2
= −
3m
4
，······································ 10 分
所以
k
m
3
− ； ·········································································· 11 分
为定值
4
由(ⅰ)知，
6m
y + y =
1 2 2
3m + 4
，······························································· 12 分
因为 △PAB 的重心G 在 y 轴上，所以
x + x + x
1 2 P 0
= ， ······························ 13 分
3
6m 8
所以 ( ) ( ) ( )
x = − x + x = − my −1+ my −1 = −m y + y + 2 = −m + 2 =所以 ( ) ( ) ( )
P + +
1 2 1 2 1 2 2 2
3m 4 3m 4
x + x
4 y + y 3m
所以 x = 1 2 = − ， y = 1 2 = ， ······························ 14 分
m2 + 2
D D
2 3 4 2 3m + 4
，
3m  8 4  9m
所以 ( )
y = y − m x − x = + − m + + +  = − +
= − − = + −  + + +  = − +
y = y − m x − x = + − m + + +  = − +
P D P D
2 2 2 2
3m 4 3m 4 3m 4 3m 4
， ······· 15 分
所以点
 − 
8 9m
P ,
 + + 
 m m 
3 4 3 4
2 2
，
又点 P 在W 上，所以
2 2
 8   9m 
−
   
 + 4  +  3 + =
3 4
m m ，································ 16 分
2 2

1
4 3
上的凹函数；若 f (x)在区间 D 上单调递减，则称 f (x)为区间 D 上的凸函数．
②平面直角坐标系中的点 P 称为函数 f (x)的“ k 切点”，当且仅当过点 P 恰好能作曲
线 y = f (x)的 k 条切线，其中 k N ．
（1）已知函数 ( ) ( )
f x = ax4 + x3 − 3 2a +1 x2 − x + 3．
（i）当 a 0 时，讨论 f (x)的凹凸性；
（ii）当 a = 0 时，点 P 在 y 轴右侧且为 f (x)的“3切点”，求点 P 的集合；
（2）已知函数 g (x)= xex ，点Q 在 y 轴左侧且为 g (x)的“3切点”，写出点Q 的集合
（不需要写出求解过程）．
【解析】(1)因为 ( ) ( )
f x = ax4 + x3 − 3 2a +1 x2 − x + 3，
所以 ( ) ( )
f  x = ax3 + x2 − a + x − ， ··················································1 分
4 3 6 2 1 1
h x = 4ax + 3x − 6 2a +1 x −1， 令 ( ) ( )
3 2
h x = ax2 + x − a + = ax + a + x − ．·····························2 分 所以 ( ) ( ) ( )( )
12 6 6 2 1 6 2 2 1 1
（i）当 a = 0 时， h(x)= 6(x −1)，令 h(x) 0 ，解得 x 1；
令 h(x) 0 ，解得 x 1；
故 f (x)为区间1,+) 上的凹函数，为区间(−,1上的凸函数；·····················3 分
··············································································································4 分
1
a = − 时， ( ) ( )
h x = − x − 2 ，故 f (x)为区间(−,+)上的凸函数；······5 分
当 3 1 0
4
当
a  − 时，令 h(x) 0 ，解得 2 1 1
1 − a x
+
4 2a
数学试题 第12页（共 14 页）
}1
− a +
当 a 0 x
−   时，令 h(x) 0 ，解得1 2 1
4 2a
令 h(x) 0 ，解得 x 1或 − 2a +1
x ，
2a
，
 − 2a +1
故 f (x)为区间
1,
 
 2a 
上的凹函数，为区间(−,1和
− 2a +1 +
,

 2a 
上的凸函数；
令 h(x) 0 ，解得 x 1或 − 2a +1
x ，
2a
和1,+) 上的凸函数；
1
当
a = − 时， f (x)为区间(−,+)上的凸函数；
4
上的凸函数；
当 a = 0 时， f (x)为区间1,+) 上的凹函数，为区间(−,1上的凸函数；········6 分
（ii）当 a = 0 时， f (x) = x − x − x + ， f (x) = x − x − ，
3 3 2 3 2
3 6 1
故在点(t, f (t))处的切线方程为 ( )( )
y = 3t − 6t −1 x − t + t − 3t − t + 3 ．············7 分
2 3 2
设 P(u,v)(u  0)为 f (x)的“3切点”，
则关于t 的方程 ( )( )
v = 3t − 6t −1 u − t + t − 3t − t + 3 有三个不同的解，
2 3 2
即关于t 的方程 ( )
v = − t3 + + u t2 − ut + − u 有三个不同的解，
2 3 3 6 3
F t = −2t + 3 + 3u t − 6ut + 3 − u ， 令 ( ) ( )
3 2
所以直线 y = v 与曲线 y = F (t)恰有三个不同的交点．··································8 分
F(t)= − t + ( + u)t − u = − (t − )(t − u)． ············································9 分
6 6 1 6 6 1
2
当 u 1时， F (t),F(t)随t 变化情况如下：
t (−,1) 1 (1,u) u (u,+)
F t 0 + 0
( )
F(t) 减 极小值 4 − 4u 增 极大值u3 − 3u2 − u + 3 减
数学试题 第13页（共 14 页）
}故 f (x)为区间
− + 
2a 1
,1
 
 2a 
上的凹函数，为区间
− − a + 
2 1
,
 
 2a 
和1,+) 上的凸函数；
− 
2a +1
1
综上所述，当 ,1
a  − 时， f (x)为区间
 
4 2a
 
− − 2a +1
上的凹函数，为区间
 
,
 2a 
1  − 
2a +1
当 a 0 1,
−   时，f (x)为区间
 
4 2a
 
上的凹函数，为区间(−,1和
− 2a +1 +
,

 a 
2
当 u = 1时， F(t)= − (t − ) ， F (t)单调递减，不符合题意；················· 12 分
6 1 0
2
当 0  u  1 时， F (t),F(t)随t 变化情况如下：
t (−,u) u (u,1) 1 (1,+)
F t 0 + 0
( )
F(t) 减 极小值u3 − 3u2 − u + 3 增 极大值 4 − 4u 减
故 u3 − 3u2 − u + 3  v  4 − 4u ；
综上所述，点 P 的集合为
          
x 1 0 x 1
( )
   
x, y 或 ；
4 − 4   − 3 − + 3  − 3 − + 3   4 − 4
x y x x x x x x y x
3 2 3 2
     
······································································································ 14 分
  − −   − −   
4 x 2 2 x 0
    
x 4
（2）点Q 的集合为 ( )
       − −   
x y x + x +
, 或 4 或 4 ．
xe y 0 xe y y xe
x x x
   
2 2
 
e e
数学试题 第14页（共 14 页）
}