高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册2 利用导数研究函数的极值精品ppt课件

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观察图 ５-３-２ 中函数 y＝ f（ x ） 的图像 ， 其中有一些特殊的点 ， 在这些特殊点的左右两侧附近 ， 函数的单调性发生了改变 ．例如 ， 函数在点 （ x１ ， f（ x １ ）） 的左侧附近严格增 ， 右侧附近严格减 ， 此处出现了一个 “ 山峰 ”； 又如 ， 函数在点 （ x ２ ， f（ x ２ ）） 的左侧附近严格减 ，右侧附近严格增 ， 此处出现了一个 “ 山谷 ”
换句话说 ， 在 x=x１ 附近存在一个小区间 ， 该区间内其他自变量所对应的函数值都不大于 f（ x１ ）， 此时 ， 就说函数 y＝ f （ x ） 在x ＝ x１ 处取得 极大值 f （ x１ ）， 而点 x１ 称为函数 y＝ f （ x ） 的 极大值点 ．类似地 ， 在 x＝ x２ 附近存在一个小区间 ， 该区间内其他自变量所对应的函数值都不小于 f （ x ２ ）， 此时 ， 就说函数 y＝ f（ x） 在 x＝ x２ 处取得 极小值 f（ x２ ）， 而点 x２ 称为函数 y＝ f（ x ） 的 极小值点
因此 ， 图 ５-３-２ 所示的函数有三个极大值点 x１ 、 x３ 、 x５ ，还有三个极小值点 x２ 、 x４ 、x ６ ．
极大值和极小值统称为极值 ， 而极大值点和极小值点则统称为极值点
在导数都存在的前提下 ， 极值点一定是相应函数单调增区间及单调减区间的分界点 ， 从而是函数的驻点 ， 函数曲线在该点的切线是水平的 ． 但反过来 ， 我们却不能说一个函数的驻点一定是其极值点 ． 例如 ， 在函数
因此 ， 要找到函数 y＝ f（ x ） 的极值点 ， 通过f ′（ x ０ ） ＝０ 找到驻点 x ＝ x０ 只是第一步 ， 还要根据驻点附近f ′（ x ） 的符号才能断定x０ 是否为f （ x ） 的极值点 ．
具体地说 ， 我们有如下定理 ：
解 　 对函数求导 ， 得f ′（ x ） ＝－２ x ＋６． 令f ′（ x ） ＝０ ， 解得x＝３ ， 从而 x＝３ 为函数 y ＝ f （ x ） 的唯一驻点 ． 把该驻点与其两侧的区间列表如下 ：
因此 ， y ＝ f （ x ） 在区间 （ －∞ ， ３ ） 内严格增 ， 在区间 （ ３ ， ＋∞ ）内严格减 ， 在 x ＝３ 处取得极大值 f（ ３ ） ＝８．
例7.求正弦函数 y＝ｓｉｎ x 的单调区间和极值 ．
解 　 这是一个周期为２π的周期函数 ． 记 f（ x ） ＝ｓｉｎ x，
因此 ， 对任意给定的 k ∈Z ， 正弦函数 y＝ｓｉｎx 在区间
１． 求余弦函数 y ＝ｃｏｓ x 的单调区间和极值 ．
1、函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)（ ）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点
【答案】C；【解析】设y＝f′(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值；
2、已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是（ ）A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值
3、函数)f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极大值为 ；极小值为
【答案】10；－22；【解析】函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9；解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3；当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22；
4、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝
【解析】由f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意得f′(－3)＝0，解得a＝5；
5、已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为________【答案】8；
【解析】由y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，经判断知x＝1是极大值点，故f(1)＝2＋m＝10，m＝8.
6、求下列函数的极值：（1）y＝x3－3x2－9x＋5；（2）f(x)＝x－aln x(a∈R)，
【解析】（1）因为y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
所以，当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值．②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a；当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0.所以，f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－ln a，无极大值；综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值；