江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期10月联合调研数学试题

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注意事项：
1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡
上．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A＝{x| x2－2x－8＜0}，B＝{x| x≤4 }，则“x∈A”是“x∈B”
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好
只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为
A．6 B．12 C． 18 D． 24
4．已知等比数列{an}满足 a4a5a6＝64，则 a2a4＋a6a8 的最小值为
A．48 B．32 C．24 D．8
－1 
3＋ax2－a－4(x≥0)
3x
5．已知函数 f(x)＝ 在 R 上单调，则实数 a 的取值范围为


ax－sinx(x＜0)
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．[－4，－1) D．[－4，－1]
x2 y2
6．已知圆(x－2)2＋y2＝1 与双曲线
a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线交于 A，B 两点，且
|AB|＝1，则该双曲线的离心率为
2 13 4 13
A．2 B． 13 C． 13 D．
13
7．已知函数 f(x)＝(x－4)3 csωx(ω＞0)，存在常数 a∈R，使 f(x＋a)为偶函数，则 ω 的最小
值为
8．已知 2024m＝2025，2023m＝x＋2024 ，2025m＝y＋2026，则
1
}2．若复数 z 满足－z ＝2－i
3＋i
，则|z|＝
5
A．
10 B．
10
2 C．
2 1
2 D．
2
π π π
A．12 B．
8 C．4 D．
π
2
二.多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
9．下列说法中正确的是
A．若随机变量 X~B(10，p)，且 E(X)＝3，则 D(X)＝2.1
B．某射击运动员在一次训练中 10 次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，
7，9，5，这组数据的 75 百分位数为 7
1
C．若随机变量 ξ～N(μ，σ2)，且 P(ξ＞3)＝P(ξ＜－1)＝p，则 P(1≤ξ≤3)＝
－p
2
D．若变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为^y＝x＋t，且－x ＝4，－y ＝2t，则 t＝4
3
10．已知棱长为 4 的正方体 ABCD－A1B1C1D1，球 O 是该正方体的内切球，E，F，P 分别
是棱 AA1，BC，C1D1 的中点，M 是正方形 BCC1B1 的中心，则
π
A．球 O 与该正方体的表面积之比为
6
B．直线 EF 与 OM 所成的角的正切值为 2
C．直线 EP 被球 O 截得的线段的长度为 2 2
D．球 O 的球面与平面 APM 的交线长为 4π
11．已知函数 f(x)＝x3＋mx＋1，则
A．当 m＝－1 时，过点(2，2)可作 3 条直线与函数 f(x)的图象相切
B．对任意实数 m，函数 f(x)的图象都关于(0，1)对称
3
C．若 f(x)存在极值点 x0，当 f(x1)＝f(x0)且 x1≠x0，则 x1＋2x0＝0
D．若有唯一正方形使其 4 个顶点都在函数 f(x)的图象上，则 m＝－2 2
三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12．已知向量 a，b 满足 a＋b＝(2，1)，a－b＝(－2，4)，则|a|－|b|＝_______．
13．某个软件公司对软件进行升级， 将序列 A＝(a1，a2，a3，···)升级为新序列 A*＝(a2－
a1，a3－a2，a4－a3，···)， A*中的第 n 项为 an+1－an， 若(A*)*的所有项都是 3，且 a4＝11，
a5＝18，则 a1＝_______．
14．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点 D(－1，0)的直线 l 在第一象限与 C 交于 A，B
2
}四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步
骤.
15．（本题满分 13 分）
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA＝PD，
AB＝2，AD＝8，AC＝CD＝5
(1)求证：平面 PCD⊥平面 PAB；
(2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值．
16．（本题满分 15 分）
已知△ABC 的角 A，B，C 对的边分别为 a，b，c，2bcsA＝2c－ 3a
(1)求 B；
→ →
(2)若 csA＝sinC－1，CA＝4CD，BD＝ 37，求△ABC 的面积．
17．（本题满分 15 分）
某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进
行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果
输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为 80%，当出现语法错误时，它的回
答被采纳的概率为 40%．
(1)在某次测试中输入了 8 个问题，聊天机器人的回答有 5 个被采纳，现从这 8 个问题中抽
取 4 个，以 X 表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求 X 的分布列和数学期望；
(2)设输入的问题出现语法错误的概率为 p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为 70%，求 p
3
}18．（本题满分 17 分）
已知 f(x)＝ln(x＋1)
(1) 设 h(x)＝x f(x－1)，求 h(x)的极值．
(2) 若 f(x)≤ax 在[0，＋∞)上恒成立，求 a 的取值范围．
(3) 若存在常数 M，使得对任意 x∈I，f(x)≤M 恒成立，则称 f(x)在 I 上有上界 M，函数 f(x)
称为有上界函数．如 y＝ex 是在 R 上没有上界的函数， y＝lnx 是在(0，＋∞)上没有上界的
1 1 1
函数；y＝－ex，y＝－x2 都是在 R 上有上界的函数．若 g(n)＝1＋ *)，则
＋ ＋ ···＋
2 3
n(n∈N
g(n)是否在 N *上有上界? 若有，求出上界；若没有，给出证明．
19．（本题满分 17 分）
x2
2
已知椭圆 C： ＝1(a＞b＞0)，C 的上顶点为 B，左右顶点分别为 A1、A2，左焦点为 F1，
＋y
a2 b2
离心率为1
．过 F1 作垂直于 x 轴的直线与 C 交于 D，E 两点，且| DE |＝3．
2
(1)求 C 的方程；
(2)若 M，N 是 C 上任意两点
3
①若点 M(1， )，点 N 位于 x 轴下方，直线 MN 交 x 轴于点 G，设△ MA1G 和△ NA2G
2
的面积分别为 S1，S2，若 2S1－2S2＝3，求线段 MN 的长度；
②若直线 MN 与坐标轴不垂直，H 为线段 MN 的中点，直线 OH 与 C 交于 P，Q 两点，
4
}