江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期10月联合调研数学试题

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注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x| x2－2x－8＜0}，B＝{x| x≤4 }，则“x∈A”是“x∈B”
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若复数z满足 eq \(\s\up4(－),z)＝eq \f(2－i,3＋i) ，则|z|＝
A．eq \f(\r(5),10) B．eq \f(\r(10),2) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(1,2)
3．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为
A．6 B．12 C． 18 D． 24
4．已知等比数列{an}满足a4a5a6＝64，则a2a4＋a6a8的最小值为
A．48 B．32C．24D．8
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\al(－\f(1,3)x3＋ax2－a－4(x≥0),ax－sinx(x＜0)))在R上单调，则实数a的取值范围为
A．eq \b\bc\((－∞，－1) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－1)) C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，－1)) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－4，－1))
6．已知圆(x－2)2＋y2＝1与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线交于A，B两点，且|AB|＝1，则该双曲线的离心率为
A．2B．eq \r(,13)C．eq \f(2\r(,13),13)D．eq \f(4\r(,13),13)
7．已知函数f(x)＝(x－4)3 csωx(ω＞0)，存在常数a∈R，使f(x＋a)为偶函数，则ω的最小值为
A． eq \f(π,12) B． eq \f(π,8) C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,2)
8．已知2024m＝2025，2023m＝x＋2024 ，2025m＝y＋2026，则
A．0＜x＜y B．x＜y＜0 C．y＜x＜0 D．x＜0＜y
二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中正确的是
A．若随机变量X~B(10，p)，且E(X)＝3，则D(X)＝2.1
B．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，7，9，5，这组数据的75百分位数为7
C．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜－1)＝p，则P(1≤ξ≤3)＝ eq \f(1,2)－p
D．若变量y关于变量x的线性回归方程为 eq \(\s\up4(^),y)＝x＋t，且 eq \(\s\up4(－),x)＝4， eq \(\s\up4(－),y)＝2t，则t＝ eq \f(4,3)
10．已知棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1，球O是该正方体的内切球，E，F，P分别是棱AA1，BC，C1D1的中点，M是正方形BCC1B1的中心，则
A．球O与该正方体的表面积之比为 eq \f(π,6)
B．直线EF与OM所成的角的正切值为eq \r(,2)
C．直线EP被球O截得的线段的长度为2eq \r(,2)
D．球O的球面与平面APM的交线长为4π
11．已知函数f(x)＝x3＋mx＋1，则
A．当m＝－1时，过点(2，2)可作3条直线与函数f(x)的图象相切
B．对任意实数m，函数f(x)的图象都关于(0，1)对称
C．若f(x)存在极值点x0，当f(x1)＝f(x0)且x1≠x0，则x1＋ eq \f(3,2)x0＝0
D．若有唯一正方形使其4个顶点都在函数f(x)的图象上，则m＝eq －2\r(2)
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量a，b满足a＋b＝(2，1)，a－b＝(－2，4)，则|a|－|b|＝_______．
13．某个软件公司对软件进行升级， 将序列A＝(a1，a2，a3，···)升级为新序列A*＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，···)， A*中的第n项为an+1－an， 若(A*)*的所有项都是3，且a4＝11， a5＝18，则a1＝_______．
14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点D(－1，0)的直线l在第一象限与C交于A，B两点，且BF为∠AFD的平分线，则直线l的方程为_______．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．（本题满分13分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA＝PD，
AB＝2，AD＝8，AC＝CD＝5
(1)求证：平面PCD⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
16．（本题满分15分）
已知△ABC的角A，B，C对的边分别为a，b，c，2bcsA＝2c－eq \r(3)a
(1)求B；
(2)若csA＝sinC－1，eq \(CA,\s\up7(→))＝4eq \(CD,\s\up7(→))，BD＝eq \r(37)，求△ABC的面积．
17．（本题满分15分）
某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．
(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望；
(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值．
18．（本题满分17分）
已知f(x)＝ln(x＋1)
(1) 设h(x)＝x f(x－1)，求h(x)的极值．
(2) 若f(x)≤ax在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
(3) 若存在常数M，使得对任意x∈I，f(x)≤M恒成立，则称f(x)在I上有上界M，函数f(x)称为有上界函数．如y＝ex是在R上没有上界的函数， y＝lnx是在(0，＋∞)上没有上界的函数；y＝－ex，y＝－x2都是在R上有上界的函数．若g(n)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋···＋eq \f(1,n)(n∈N*)，则g(n)是否在N *上有上界? 若有，求出上界；若没有，给出证明．
19．（本题满分17分）
已知椭圆C： eq \s\d1(\f(x2,a2))＋ eq \s\d1(\f(y2,b2))＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为 eq \s\d1(\f(1,2))．过F1作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且| DE |＝3．
(1)求C的方程；
(2)若M，N是C上任意两点
= 1 \* GB3 ①若点M(1， eq \s\d1(\f(3,2)))，点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设△MA1G和△NA2G的面积分别为S1，S2，若2S1－2S2＝3，求线段MN的长度；
= 2 \* GB3 ②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆， 求证：线段MN的长度不大于eq \r(14)．