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辽宁省辽阳太子河区五校联考2024-2025学年九上数学开学质量检测模拟试题【含答案】
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这是一份辽宁省辽阳太子河区五校联考2024-2025学年九上数学开学质量检测模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一个直角三角形的两边长分别为2和，则第三边的长为( )
A．1B．2C．D．3
2、（4分）如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点．下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，．其中正确的是（）
A．①②B．②④C．③④D．①③
3、（4分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
6、（4分）已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，2），且|a－c|+=0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么a+b+c的值为( )
A．12B．14C．16D．20
7、（4分）下列有理式中，是分式的为（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间距离等于23米，则A、C两点间的距离为（ ）
A．46B．23C．50D．25
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）马拉松赛选手分甲、乙两组运动员进行了艰苦的训练，他们在相同条件下各10次比赛，成绩的平均数相同，方差分别为0.25，0.21，则成绩较为稳定的是_________（选填“甲”或“乙）
10、（4分）在平面内将一个图形绕某一定点旋转________度，图形的这种变化叫做中心对称；
11、（4分）化简：_______.
12、（4分）已知：如图，平行四边形中，平分交于，平分交于，若，，则___．
13、（4分）如图，函数y＝3x和y＝kx+6的图象相交于点A(a，3)，则不等式3x≤kx+6的解集为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式，
说明：月使用费固定收取，主叫不超过限定时间不再收费，超过部分加收超时费．例如，方式一每月固定交费30元，当主叫计时不超过300分钟不再额外收费，超过300分钟时，超过部分每分钟加收0.20元（不足1分钟按1分钟计算）
（1）请根据题意完成如表的填空；
（2）设某月主叫时间为t（分钟），方式一、方式二两种计费方式的费用分别为y1（元），y2（元），分别写出两种计费方式中主叫时间t（分钟）与费用为y1（元），y2（元）的函数关系式；
（3）请计算说明选择哪种计费方式更省钱．
15、（8分）如图，在平行四边形中，，于点，试求的度数.
16、（8分）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
17、（10分）如图，是正方形的边上的动点，是边延长线上的一点，且，，设，.
（1）当是等边三角形时，求的长；
（2）求与的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把沿着直线翻折，点落在点处，试探索：能否为等腰三角形？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由.
18、（10分）计算：2÷×．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）菱形的两条对角线长分别为cm和cm，则该菱形的面积__________．
20、（4分）如图，在中，，，点在上，且，点在上，连结，若与相似，则_____________．
21、（4分）一组数据按从小到大顺序排列为：3，5，7，8，8，则这组数据的中位数是 ，众数是 .
22、（4分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分内只进水不出水，在随后的若干分内既进水又出水，之后只有出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的关系如图所示，则进水速度是______升/分，出水速度是______升/分，的值为______.
23、（4分）反比例函数与一次函数图象的交于点，则______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE＝120°，求证：BC2＝CE•DB．
25、（10分）为营造书香家庭，周末小亮和姐姐一起从家出发去图书馆借书，走了6min发现忘带借书证，小亮立即骑路边共享单车返回家中取借书证，姐姐以原来的速度继续向前走，小亮取回借书证后骑单车原路原速前往图书馆，小亮追上姐姐后用单车带着姐姐一起前往图书馆。已知骑车的速度是步行速度的2倍，如图是小亮和姐姐距离家的路程y(m)与出发的时间x(min)的函数图象，根据图象解答下列问题：
（1）小亮在家停留了多长时间？
（2）求小亮骑车从家出发去图书馆时距家的路程 y(m)与出发时间 x(min)之间的函数解析式.
26、（12分）如图，已知一次函数y=﹣x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=MP，MB=OM，OE=ON，ND=NP．
（1）b= ；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（3）在直线y=﹣x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边2既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即2是斜边或直角边.
【详解】
当2和均为直角边时,第三边=；
当2为斜边, 为直角边,则第三边=，
故第三边的长为或
故选C.
此题考查勾股定理，解题关键在于分类讨论第三条边的情况.
2、D
【解析】
利用两函数图象结合与坐标轴交点进而分别分析得出答案．
【详解】
如图所示：
∵y1=ax，经过第一、三象限，
∴a＞0，故①正确；
∵与y轴交在正半轴，
∴b＞0，
故②错误；
∵正比例函数y1=ax，经过原点，
∴当x＜0时，函数图像位于x轴下方，∴y1＜0；故③正确；
当x＞2时，y1＞y2，故④错误．
故选：D．
此题考查一次函数与一元一次不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．
3、C
【解析】
观察可得，选项C中的图形与原图中的④、⑦图形不符，故选C.
4、D
【解析】
根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【详解】
四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形．
故选D．
本题考查了轴对称图形的知识，掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
5、B
【解析】
试题分析：由四边形ABCD是矩形与AB=6，△ABF的面积是14，易求得BF的长，然后由勾股定理，求得AF的长，根据折叠的性质，即可求得AD，BC的长，继而求得答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，
∵AB=6，
∴S△ABF=AB•BF=×6×BF=14，
∴BF=8，
∴AF===10，
由折叠的性质：AD=AF=10，
∴BC=AD=10，
∴FC=BC﹣BF=10﹣8=1．
故选B．
考点：翻折变换（折叠问题）．
6、C
【解析】
有非负数的性质得到a=c，b=8，，PQ∥y轴，由于其扫过的图形是矩形可求得，代入即可求得结论．
【详解】
解：|a－c|+=0，
∴a=c，b=8，
，PQ∥y轴，
∴PQ=8-2=6，
将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的图形是边长为a和6的矩形，
，
∴a=4,
∴c=4，
∴a+b+c=4+8+4=16；
故选：C．
本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ∥y轴，进而求得PQ是解题的关键．
7、D
【解析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：、、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
分母中含有字母，因此是分式．
故选：D
本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
8、A
【解析】
试题分析：∵点EF分别是BA和BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC=2EF=2×23=46米．
故选A．
考点：三角形中位线定理．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、乙
【解析】
根据方差的意义判断即可．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
∵甲乙的方差分别为1．25，1．21
∴成绩比较稳定的是乙
故答案为：乙
运用了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10、1
【解析】
根据中心对称的定义即可求解．
【详解】
在平面内将一个图形绕某一定点旋转1度，图形的这种变化叫做中心对称．
故答案为1．
本题考查了中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转1°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．掌握定义是解题的关键．
11、
【解析】
将原式通分，再加减即可
【详解】
= =
故答案为：
此题考查分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则
12、1
【解析】
先证明AB=AE=3，DC=DF=3，再根据EF=AE+DF-AD即可计算．
【详解】
四边形是平行四边形，
，，，
平分交于，平分交于，
，，
，，
．
故答案为1．
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
13、x≤1
【解析】
先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：把代入得，解得，则，
根据图象得，当时，．
故答案为：
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）70；100；（2）详见解析；（3）当0≤t≤400时方式一省钱；当400＜t≤1400时，方式二省钱，当t＞1400时，方式一省钱，当为400分钟、1400分钟时，两种方式费用相同．
【解析】
（1）根据题意得出表中数据即可；
（2）根据分段计费的费用就可以得出各个时段各种不同的付费方法就可以得出结论；
（3）分别求出几种情况下时x的取值范围，根据x的取值范围即可选择计费方式．
【详解】
解：（1）由题意可得：月主叫时间500分钟时，方式一收费为70元；月主叫时间800分钟时，方式二收费为100元，
故答案为：70；100；
（2）由题意可得：y1（元）的函数关系式为：
；
y2（元）的函数关系式为：
；
（3）①当0≤t≤300时方式一更省钱；
②当300＜t≤600时，若两种方式费用相同，则当0.2t﹣30＝50，
解得：t＝400，
即当t＝400，两种方式费用相同，
当300＜t≤400时方式一省钱，
当400＜t≤600时，方式二省钱；
③当t＞600时，若两种方式费用相同，则当0.2t﹣30＝0.25t﹣100，
解得：t＝1400，
即当t＝1400，两种方式费用相同，当600＜t≤1400时方式二省钱，
当t＞1400时，方式一省钱；
综上所述，当0≤t≤400时方式一省钱；当400＜t≤1400时，方式二省钱，当t＞1400时，方式一省钱，当为400分钟、1400分钟时，两种方式费用相同．
本题考查了一次函数的应用，难度中等．得到两种计费方式的关系式是解决本题的关键，注意在列式时应保证单位的统一．
15、.
【解析】
由BD=CD可得∠DBC=∠C=70°，由平行四边形的性质可得AD∥BC，从而有∠ADB=∠DBC=70°，继而在直角△AED中，根据直角三角形两锐角互余即可求得答案.
【详解】
，
，
在中，，
，
于点，
，
.
本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余等知，熟练掌握相关知识是解题的关键.
16、该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元.
【解析】
根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；
【详解】
设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，
，
解得, ，
∴x+13x=600+13×600=800，
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；
此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于理解题意列出方程组.
17、（1）；（1）；（3）答案见解析.
【解析】
（1）当△BEF是等边三角形时，有∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，则可解Rt△ABE，求得BF即BE的长．
（1）作EG⊥BF，垂足为点G，则四边形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF1=（BF-BG）1+EG1．即y1=（y-x）1+111．故可求得y与x的关系．
（3）当把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A'处，应有∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°，若△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B=A'F=AB=11，有FA′=EF-A′E=y-x=11，故可由（1）得到的y与x的关系式建立方程组求得AE的值．
【详解】
解：（1）当是等边三角形时，，
∵，
∴，
∴；
（1）作，垂足为点，
根据题意，得，，.
∴.
∴所求的函数解析式为；
（3）∵，
∴点落在上，
∴，，
∴要使成为等腰三角形，必须使.
而，，
∴，由（1）关系式可得：，
整理得，
解得，
经检验：都原方程的根，
但不符合题意，舍去，
所以当时，为等要三角形.
本题利用了等边三角形和正方形、矩形、等腰三角形的性质，勾股定理求解．
18、24．
【解析】
直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案．
【详解】
解：原式=4÷×3
=8×3
=24．
此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积．
【详解】
由已知得,菱形面积=.
故答案为: .
此题考查菱形的性质，解题关键在于掌握运算公式.
20、2或4.5
【解析】
根据题意，要使△AEF与△ABC相似，由于本题没有说明对应关系，故采用分类讨论法．有两种可能：当△AEF∽△ABC时；当△AEF∽△ACB时．最后利用相似三角形的对应边成比例即可求得线段AF的长即可．
【详解】
当△AEF∽△ABC时,则，AF=2；
当△AEF∽△ACB时,则，AF=4.5.
故答案为：2或4.5.
本题考查了相似三角形的性质应用.利用相似三角形性质时，要注意相似比的对应关系.分类讨论时，要注意对应关系的变化，防止遗漏.
21、7 1
【解析】
根据中位数和众数的定义解答．
【详解】
解：数据按从小到大排列：3，5，7，1，1，所以中位数是7；
数据1出现2次，次数最多，所以众数是1．
故填7；1．
【点击】
本题考查了中位数，众数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
22、5 3.75 1
【解析】
首先根据图象中的数据可求出进水管以及出水管的进出水速度，进而利用容器内的水量列出方程求出即可．
【详解】
解：由图象可得出：
进水速度为：20÷4=5（升/分钟），
出水速度为：5-（30-20）÷（12-4）=3.75（升/分钟），
（a-4）×（5-3.75）+20=（24-a）×3.75
解得：a=1．
故答案为：5；3.75；1
此题主要考查了一次函数的应用以及一元一次方程的应用等知识，利用图象得出进出水管的速度是解题关键．
23、－1
【解析】
试题分析：将点A(－1，a)代入一次函数可得：－1+2=a，则a=1，将点A(－1,1)代入反比例函数解析式可得：k=1×(－1)=－1.
考点：待定系数法求反比例函数解析式
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析
【解析】
根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．推出∠D＝∠CAE，∠E＝∠DAB，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
解：∵是等边三角形
∴
∴，
∵
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
本题重点考查了相似三角形的判定和性质，充分利用已知条件并结合图形找到两组对应角相等是解题的关键．
25、（1）小亮在家停留了1min；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据路程与速度、时间的关系，首先求出C、B两点的坐标，即可解决问题；
（2）根据C、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题.
【详解】（1）步行速度：300÷6=50m/min，单车速度：2×50=100m/min，
单车时间：3000÷100=30min，40-30=10，
∴C（10，0），
∴A到B是时间==3min，
∴B（9，0），
∴BC=1，
∴小亮在家停留了1分钟；
(2)设解析式为y=kx+b ,将C (10,0) 和D (40,300) 代入得
，解得，
所以 .
【点睛】本题考查一次函数的应用、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
26、（1）1；（2）证明见解析；（1）在直线y=﹣x+b上存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形，P点坐标是（2，2）或（﹣6，6）．
【解析】
分析：（1）根据待定系数法，可得b的值；（2）根据矩形的判定与性质，可得PM与ON，PN与OM的关系，根据PC=MP，MB=OM，OE=ON，NO=NP，可得PC与OE，CM与NE，BM与ND，OB与PD的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得BE与CD，BC与DE的关系，根据平行四边形的判定，可得答案；（1）根据正方形的判定与性质，可得BE与BC的关系，∠CBM与∠EBO的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得OE与BM的关系，可得P点坐标间的关系，可得答案．
本题解析：
（1）一次函数y=﹣x+b的图象过点A（0，1），
1=﹣×0+b，解得b=1．
故答案为：1；
（2）证明：过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，
∴∠M=∠N=∠O=90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴PM=ON，OM=PN，∠M=∠O=∠N=∠P=90°．
∵PC=MP，MB=OM，OE=ON，NO=NP，
∴PC=OE，CM=NE，ND=BM，PD=OB，
在△OBE和△PDC中，
，
∴△OBE≌△PDC（SAS），
BE=DC．
在△MBC和△NDE中，
，
∴△MBC≌△NDE（SAS），
DE=BC．
∵BE=DC，DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形；
（1）设P点坐标（x，y），
当△OBE≌△MCB时，四边形BCDE为正方形，
OE=BM，
当点P在第一象限时，即y=x，x=y．
P点在直线上，
，
解得，
当点P在第二象限时，﹣x=y
，
解得
在直线y=﹣x+b上存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形，P点坐标是（2，2）或（﹣6，6）．
点睛：本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，注意数形结合.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
月使用费/元
主叫限定时间/分钟
主叫超时费（元/分钟）
方式一
30
600
0.20
方式二
50
600
0.25
月主叫时间500分钟
月主叫时间800分钟
方式一收费/元
130
方式二收费/元
50
淡季
旺季
未入住房间数
10
0
日总收入（元）
24000
40000
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一个直角三角形的两边长分别为2和，则第三边的长为( )
A．1B．2C．D．3
2、（4分）如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点．下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，．其中正确的是（）
A．①②B．②④C．③④D．①③
3、（4分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
6、（4分）已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，2），且|a－c|+=0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么a+b+c的值为( )
A．12B．14C．16D．20
7、（4分）下列有理式中，是分式的为（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间距离等于23米，则A、C两点间的距离为（ ）
A．46B．23C．50D．25
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）马拉松赛选手分甲、乙两组运动员进行了艰苦的训练，他们在相同条件下各10次比赛，成绩的平均数相同，方差分别为0.25，0.21，则成绩较为稳定的是_________（选填“甲”或“乙）
10、（4分）在平面内将一个图形绕某一定点旋转________度，图形的这种变化叫做中心对称；
11、（4分）化简：_______.
12、（4分）已知：如图，平行四边形中，平分交于，平分交于，若，，则___．
13、（4分）如图，函数y＝3x和y＝kx+6的图象相交于点A(a，3)，则不等式3x≤kx+6的解集为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式，
说明：月使用费固定收取，主叫不超过限定时间不再收费，超过部分加收超时费．例如，方式一每月固定交费30元，当主叫计时不超过300分钟不再额外收费，超过300分钟时，超过部分每分钟加收0.20元（不足1分钟按1分钟计算）
（1）请根据题意完成如表的填空；
（2）设某月主叫时间为t（分钟），方式一、方式二两种计费方式的费用分别为y1（元），y2（元），分别写出两种计费方式中主叫时间t（分钟）与费用为y1（元），y2（元）的函数关系式；
（3）请计算说明选择哪种计费方式更省钱．
15、（8分）如图，在平行四边形中，，于点，试求的度数.
16、（8分）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
17、（10分）如图，是正方形的边上的动点，是边延长线上的一点，且，，设，.
（1）当是等边三角形时，求的长；
（2）求与的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把沿着直线翻折，点落在点处，试探索：能否为等腰三角形？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由.
18、（10分）计算：2÷×．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）菱形的两条对角线长分别为cm和cm，则该菱形的面积__________．
20、（4分）如图，在中，，，点在上，且，点在上，连结，若与相似，则_____________．
21、（4分）一组数据按从小到大顺序排列为：3，5，7，8，8，则这组数据的中位数是 ，众数是 .
22、（4分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分内只进水不出水，在随后的若干分内既进水又出水，之后只有出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的关系如图所示，则进水速度是______升/分，出水速度是______升/分，的值为______.
23、（4分）反比例函数与一次函数图象的交于点，则______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE＝120°，求证：BC2＝CE•DB．
25、（10分）为营造书香家庭，周末小亮和姐姐一起从家出发去图书馆借书，走了6min发现忘带借书证，小亮立即骑路边共享单车返回家中取借书证，姐姐以原来的速度继续向前走，小亮取回借书证后骑单车原路原速前往图书馆，小亮追上姐姐后用单车带着姐姐一起前往图书馆。已知骑车的速度是步行速度的2倍，如图是小亮和姐姐距离家的路程y(m)与出发的时间x(min)的函数图象，根据图象解答下列问题：
（1）小亮在家停留了多长时间？
（2）求小亮骑车从家出发去图书馆时距家的路程 y(m)与出发时间 x(min)之间的函数解析式.
26、（12分）如图，已知一次函数y=﹣x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=MP，MB=OM，OE=ON，ND=NP．
（1）b= ；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（3）在直线y=﹣x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边2既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即2是斜边或直角边.
【详解】
当2和均为直角边时,第三边=；
当2为斜边, 为直角边,则第三边=，
故第三边的长为或
故选C.
此题考查勾股定理，解题关键在于分类讨论第三条边的情况.
2、D
【解析】
利用两函数图象结合与坐标轴交点进而分别分析得出答案．
【详解】
如图所示：
∵y1=ax，经过第一、三象限，
∴a＞0，故①正确；
∵与y轴交在正半轴，
∴b＞0，
故②错误；
∵正比例函数y1=ax，经过原点，
∴当x＜0时，函数图像位于x轴下方，∴y1＜0；故③正确；
当x＞2时，y1＞y2，故④错误．
故选：D．
此题考查一次函数与一元一次不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．
3、C
【解析】
观察可得，选项C中的图形与原图中的④、⑦图形不符，故选C.
4、D
【解析】
根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【详解】
四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形．
故选D．
本题考查了轴对称图形的知识，掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
5、B
【解析】
试题分析：由四边形ABCD是矩形与AB=6，△ABF的面积是14，易求得BF的长，然后由勾股定理，求得AF的长，根据折叠的性质，即可求得AD，BC的长，继而求得答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，
∵AB=6，
∴S△ABF=AB•BF=×6×BF=14，
∴BF=8，
∴AF===10，
由折叠的性质：AD=AF=10，
∴BC=AD=10，
∴FC=BC﹣BF=10﹣8=1．
故选B．
考点：翻折变换（折叠问题）．
6、C
【解析】
有非负数的性质得到a=c，b=8，，PQ∥y轴，由于其扫过的图形是矩形可求得，代入即可求得结论．
【详解】
解：|a－c|+=0，
∴a=c，b=8，
，PQ∥y轴，
∴PQ=8-2=6，
将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的图形是边长为a和6的矩形，
，
∴a=4,
∴c=4，
∴a+b+c=4+8+4=16；
故选：C．
本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ∥y轴，进而求得PQ是解题的关键．
7、D
【解析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：、、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
分母中含有字母，因此是分式．
故选：D
本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
8、A
【解析】
试题分析：∵点EF分别是BA和BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC=2EF=2×23=46米．
故选A．
考点：三角形中位线定理．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、乙
【解析】
根据方差的意义判断即可．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
∵甲乙的方差分别为1．25，1．21
∴成绩比较稳定的是乙
故答案为：乙
运用了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10、1
【解析】
根据中心对称的定义即可求解．
【详解】
在平面内将一个图形绕某一定点旋转1度，图形的这种变化叫做中心对称．
故答案为1．
本题考查了中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转1°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．掌握定义是解题的关键．
11、
【解析】
将原式通分，再加减即可
【详解】
= =
故答案为：
此题考查分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则
12、1
【解析】
先证明AB=AE=3，DC=DF=3，再根据EF=AE+DF-AD即可计算．
【详解】
四边形是平行四边形，
，，，
平分交于，平分交于，
，，
，，
．
故答案为1．
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
13、x≤1
【解析】
先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：把代入得，解得，则，
根据图象得，当时，．
故答案为：
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）70；100；（2）详见解析；（3）当0≤t≤400时方式一省钱；当400＜t≤1400时，方式二省钱，当t＞1400时，方式一省钱，当为400分钟、1400分钟时，两种方式费用相同．
【解析】
（1）根据题意得出表中数据即可；
（2）根据分段计费的费用就可以得出各个时段各种不同的付费方法就可以得出结论；
（3）分别求出几种情况下时x的取值范围，根据x的取值范围即可选择计费方式．
【详解】
解：（1）由题意可得：月主叫时间500分钟时，方式一收费为70元；月主叫时间800分钟时，方式二收费为100元，
故答案为：70；100；
（2）由题意可得：y1（元）的函数关系式为：
；
y2（元）的函数关系式为：
；
（3）①当0≤t≤300时方式一更省钱；
②当300＜t≤600时，若两种方式费用相同，则当0.2t﹣30＝50，
解得：t＝400，
即当t＝400，两种方式费用相同，
当300＜t≤400时方式一省钱，
当400＜t≤600时，方式二省钱；
③当t＞600时，若两种方式费用相同，则当0.2t﹣30＝0.25t﹣100，
解得：t＝1400，
即当t＝1400，两种方式费用相同，当600＜t≤1400时方式二省钱，
当t＞1400时，方式一省钱；
综上所述，当0≤t≤400时方式一省钱；当400＜t≤1400时，方式二省钱，当t＞1400时，方式一省钱，当为400分钟、1400分钟时，两种方式费用相同．
本题考查了一次函数的应用，难度中等．得到两种计费方式的关系式是解决本题的关键，注意在列式时应保证单位的统一．
15、.
【解析】
由BD=CD可得∠DBC=∠C=70°，由平行四边形的性质可得AD∥BC，从而有∠ADB=∠DBC=70°，继而在直角△AED中，根据直角三角形两锐角互余即可求得答案.
【详解】
，
，
在中，，
，
于点，
，
.
本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余等知，熟练掌握相关知识是解题的关键.
16、该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元.
【解析】
根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；
【详解】
设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，
，
解得, ，
∴x+13x=600+13×600=800，
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；
此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于理解题意列出方程组.
17、（1）；（1）；（3）答案见解析.
【解析】
（1）当△BEF是等边三角形时，有∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，则可解Rt△ABE，求得BF即BE的长．
（1）作EG⊥BF，垂足为点G，则四边形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF1=（BF-BG）1+EG1．即y1=（y-x）1+111．故可求得y与x的关系．
（3）当把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A'处，应有∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°，若△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B=A'F=AB=11，有FA′=EF-A′E=y-x=11，故可由（1）得到的y与x的关系式建立方程组求得AE的值．
【详解】
解：（1）当是等边三角形时，，
∵，
∴，
∴；
（1）作，垂足为点，
根据题意，得，，.
∴.
∴所求的函数解析式为；
（3）∵，
∴点落在上，
∴，，
∴要使成为等腰三角形，必须使.
而，，
∴，由（1）关系式可得：，
整理得，
解得，
经检验：都原方程的根，
但不符合题意，舍去，
所以当时，为等要三角形.
本题利用了等边三角形和正方形、矩形、等腰三角形的性质，勾股定理求解．
18、24．
【解析】
直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案．
【详解】
解：原式=4÷×3
=8×3
=24．
此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积．
【详解】
由已知得,菱形面积=.
故答案为: .
此题考查菱形的性质，解题关键在于掌握运算公式.
20、2或4.5
【解析】
根据题意，要使△AEF与△ABC相似，由于本题没有说明对应关系，故采用分类讨论法．有两种可能：当△AEF∽△ABC时；当△AEF∽△ACB时．最后利用相似三角形的对应边成比例即可求得线段AF的长即可．
【详解】
当△AEF∽△ABC时,则，AF=2；
当△AEF∽△ACB时,则，AF=4.5.
故答案为：2或4.5.
本题考查了相似三角形的性质应用.利用相似三角形性质时，要注意相似比的对应关系.分类讨论时，要注意对应关系的变化，防止遗漏.
21、7 1
【解析】
根据中位数和众数的定义解答．
【详解】
解：数据按从小到大排列：3，5，7，1，1，所以中位数是7；
数据1出现2次，次数最多，所以众数是1．
故填7；1．
【点击】
本题考查了中位数，众数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
22、5 3.75 1
【解析】
首先根据图象中的数据可求出进水管以及出水管的进出水速度，进而利用容器内的水量列出方程求出即可．
【详解】
解：由图象可得出：
进水速度为：20÷4=5（升/分钟），
出水速度为：5-（30-20）÷（12-4）=3.75（升/分钟），
（a-4）×（5-3.75）+20=（24-a）×3.75
解得：a=1．
故答案为：5；3.75；1
此题主要考查了一次函数的应用以及一元一次方程的应用等知识，利用图象得出进出水管的速度是解题关键．
23、－1
【解析】
试题分析：将点A(－1，a)代入一次函数可得：－1+2=a，则a=1，将点A(－1,1)代入反比例函数解析式可得：k=1×(－1)=－1.
考点：待定系数法求反比例函数解析式
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析
【解析】
根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．推出∠D＝∠CAE，∠E＝∠DAB，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
解：∵是等边三角形
∴
∴，
∵
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
本题重点考查了相似三角形的判定和性质，充分利用已知条件并结合图形找到两组对应角相等是解题的关键．
25、（1）小亮在家停留了1min；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据路程与速度、时间的关系，首先求出C、B两点的坐标，即可解决问题；
（2）根据C、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题.
【详解】（1）步行速度：300÷6=50m/min，单车速度：2×50=100m/min，
单车时间：3000÷100=30min，40-30=10，
∴C（10，0），
∴A到B是时间==3min，
∴B（9，0），
∴BC=1，
∴小亮在家停留了1分钟；
(2)设解析式为y=kx+b ,将C (10,0) 和D (40,300) 代入得
，解得，
所以 .
【点睛】本题考查一次函数的应用、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
26、（1）1；（2）证明见解析；（1）在直线y=﹣x+b上存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形，P点坐标是（2，2）或（﹣6，6）．
【解析】
分析：（1）根据待定系数法，可得b的值；（2）根据矩形的判定与性质，可得PM与ON，PN与OM的关系，根据PC=MP，MB=OM，OE=ON，NO=NP，可得PC与OE，CM与NE，BM与ND，OB与PD的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得BE与CD，BC与DE的关系，根据平行四边形的判定，可得答案；（1）根据正方形的判定与性质，可得BE与BC的关系，∠CBM与∠EBO的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得OE与BM的关系，可得P点坐标间的关系，可得答案．
本题解析：
（1）一次函数y=﹣x+b的图象过点A（0，1），
1=﹣×0+b，解得b=1．
故答案为：1；
（2）证明：过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，
∴∠M=∠N=∠O=90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴PM=ON，OM=PN，∠M=∠O=∠N=∠P=90°．
∵PC=MP，MB=OM，OE=ON，NO=NP，
∴PC=OE，CM=NE，ND=BM，PD=OB，
在△OBE和△PDC中，
，
∴△OBE≌△PDC（SAS），
BE=DC．
在△MBC和△NDE中，
，
∴△MBC≌△NDE（SAS），
DE=BC．
∵BE=DC，DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形；
（1）设P点坐标（x，y），
当△OBE≌△MCB时，四边形BCDE为正方形，
OE=BM，
当点P在第一象限时，即y=x，x=y．
P点在直线上，
，
解得，
当点P在第二象限时，﹣x=y
，
解得
在直线y=﹣x+b上存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形，P点坐标是（2，2）或（﹣6，6）．
点睛：本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，注意数形结合.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
月使用费/元
主叫限定时间/分钟
主叫超时费（元/分钟）
方式一
30
600
0.20
方式二
50
600
0.25
月主叫时间500分钟
月主叫时间800分钟
方式一收费/元
130
方式二收费/元
50
淡季
旺季
未入住房间数
10
0
日总收入（元）
24000
40000
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