2024-2025学年黑龙江省哈尔滨九中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨九中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列表示正确的是( )
A. 0∈N∗B. 12∈ZC. π∈QD. 2∈R
2.若集合A={−x,|x|}，则x应满足( )
A. x>0B. x<0C. x=0D. x≤0
3.对于集合A，B，若B⊆A不成立，则下列理解正确的是( )
A. 集合B的任何一个元素都属于AB. 集合B的任何一个元素都不属于A
C. 集合B中至少有一个元素属于AD. 集合B中至少有一个元素不属于A
4.设x∈R，则“0A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若命题p：∃x∈R，x2+4x+a=0是假命题，则实数a的取值范围是( )
A. 04C. a<0D. a≥4
6.若函数y=f(x)的定义域是[1,2]，则函数y=f( x)的定义域是( )
A. [1,2]B. [1,4]C. [1, 2]D. [2,4]
7.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形的直角边长分别为a和b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A. a+b2≥ ab(a>0,b>0)B. a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
C. ab≥21a+1b(a>0,b>0)D. a2+b22≥a+b2(a>0,b>0)
8.若函数f(x)=2ax2+bx+c的部分图象如图所示，则f(1)=( )
A. −23 B. −112
C. −16 D. −13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数表示不同函数的是( )
A. f(x)=0,g(x)= x−1+ 1−xB. f(x)=1，g(x)=x0
C. f(x)= x2,g(x)=|x|D. f(x)=x+1,g(x)=x2−1x−1
10.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A. 若ab≠0且a1bB. 若0C. 若a>b>0，则b+1a+1>baD. 若c11.已知集合A={x|ax2−(a+1)x+1>0,a<1}，B={x|x>0}，则A∩B可能是( )
A. {x|0C. {x|01a}D. {x|1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={x|x2+3x−4<0}，B={x|2x+3≥0}，则A∩B=______．
13.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是________．
14.[x]表示不大于x的最大整数，例[2.3]=2，[−5.6]=−6，则[x]=2的x的取值范围______，方程[2x]=x2的解集是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|x−2x+2≤0}，B={x|a≤x<2a+1,a∈R}．
(1)求A；
(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)的解析式f(x)=3x+5,x≤0x+5,01．
(1)求f(f(12))；
(2)若f(a)=2，求a的值；
(3)画出f(x)的图像，并写出函数的单调区间和值域(直接写出结果即可)．
17.(本小题15分)
(1)已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为(−13,12)，求−cx2+2x−a>0的解集；
(2)若不等式(m+1)x2−(m−1)x+3(m−1)>0对于任何实数x恒成立，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2+bx+c，且f(1+x)=f(1−x)，f(0)=−2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知a∈R，p：当019.(本小题17分)
若存在实数λ∈(0,1)使得x=λa+(1−λ)b，则称x是区间(a,b)(a(1)若x=2是区间(1,3)的λ一内点，求λ的值；
(2)求证：x∈(a,b)的充要条件是存在λ∈(0,1)，使得x是区间(a,b)的λ一内点；
(3)给定实数ω∈(0,1)，若对于任意区间(a,b)(a参考答案
1.D
2.A
3.D
4.B
5.B
6.B
7.B
8.D
9.ABD
10.BCD
11.BC
12.{x|−32≤x<1}
13.5
14.[2,3) {0, 2, 3,2}
15.解：(1)由题意得(x−2)(x+2)≤0x+2≠0，解得−2(2)因为B⊆A，
当B=⌀时，a≥2a+1，解得a≤−1，满足题意；
当B≠⌀时，因为B⊆A，所以a<2a+1a>−22a+1≤2，解得−1综上所述，实数a的取值范围为(−∞,12]．
16.解：(1)∵函数f(x)的解析式f(x)=3x+5,x≤0x+5,01．
∴f(12)=12+5=112，f(f(12))=−2×112+8=−3；
(2)f(x)=3x+5,x≤0x+5,01.f(a)=2，
可得3a+5=2，解得a=−1，a+5=2，解得a=−3(舍去)，−2a+8=2，解得a=3，
综上a=−1或a=3．
(3)画出函数的图象如图：
；
由图可知，函数的增区间(−∞,1]，减区间为(1,+∞)；
f(x)的最大值为f(1)=6.函数的值域(−∞,6]．
17.解：(1)因为不等式ax2+2x+c>0的解集为(−13,12)，
所以−13,12为方程ax2+2x+c=0的两个根，
则−13+12=−2a−13×12=ca，解得a=−12，c=2，
所以不等式−cx2+2x−a>0即为−2x2+2x+12>0，解得−2故不等式的解集为(−2,3)；
(2)因为不等式(m+1)x2−(m−1)x+3(m−1)>0对于任何实数x恒成立，
当m+1=0，即m=−1时，不等式为2x−6>0，不符合题意；
当m+1≠0，即m≠−1时，
则m+1>0Δ=(m−1)2−12(m+1)(m−1)<0，解得m>1．
综上所述，实数m的取值范围为(1,+∞)．
18.解：(1)因为f(1+x)=f(1−x)，则f(x)的对称轴是x=−b2=1，解得b=−2，
又因为f(0)=c=−2，所以f(x)=x2−2x−2．
(2)若p为真，f(x)+3<2x+a，则a>f(x)−2x+3=x2−4x+1对任意的x∈(0,1)恒成立，
可知ℎ(x)=x2−4x+1的图象开口向上，对称轴为x=2，
可知ℎ(x)=x2−4x+1在(0,1)内单调递减，且ℎ(0)=1，则a≥1；
若q为真，g(x)=f(x)−ax=x2−(a+2)x−2，可知g(x)的图象开口向上，对称轴为x=a+22，因为g(x)在[−2,2]内是单调函数，则a+22≤−2或a+22≥2，解得a≤−6或a≥2；
若p或q为真命题，p且q为假命题，则p与q真假性相反，
则a≥1−6所以实数a的取值范围为(−∞,−6]∪[1,2)．
19.解：(1)依题意，2=λ+3(1−λ)，
解得λ=12；
(2)证明：①若x∈(a,b)，取λ=b−xb−a，则x=λa+(1−λ)b，且0则x是区间(a,b)(a②若x是区间(a,b)(a则存在实数λ∈(0,1)使得x=λa+(1−λ)b，则x=λa+(1−λ)b=(a−b)λ+b∈(a,b)；
故x∈(a,b)的充要条件是存在λ∈(0,1)，使得x是区间(a,b)的λ一内点；
(3)证明：因为x1是区间的λ1一内点，则x1=λ1a+(1−λ1)b，
则[λ1a+(1−λ1)b]2≤ωa2+(1−ω)b2恒成立，
则(ω−λ12)a2−2(λ1−λ12)ab+(−λ12+2λ1−ω)b2≥0恒成立，
当ω−λ12≤0时，上式不可能恒成立，
因此ω−λ12>0，
所以Δ=4(λ1−λ12)2−4(ω−λ12)(−λ12+2λ1−ω)≤0，
即(λ1−ω)2≤0，即λ1=ω，
同理λ2=1−ω，
故λ1+λ2=1．