2024-2025学年广东省广州市奥林匹克中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市奥林匹克中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(1,1,2)，b=(x,1,2x−3)，若a⊥b，则x=( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
2.直线x+ 3y−2=0的倾斜角为( )
A. π6B. π4C. π3D. 5π6
3.已知O是坐标原点，空间向量OA=(1,1,2)，OB=(−1,3,4)，OC=(2,4,4)，若线段AB的中点为D，则|CD|=( )
A. 9B. 8C. 3D. 2 2
4.直线l1：(3a+1)x+2ay−1=0和直线l2：ax−3y+3=0，则“a=53”是“l1⊥l2”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若DE=xAB+yAC+zAP，则x+y+z=( )
A. 1B. 2C. 13D. 53
6.O为空间任意一点，若AP=−14OA+18OB+tOC，若A，B，C，P四点共面，则t=( )
A. 1B. 12C. 18D. 14
7.已知点M(−3,1)，N(3,2)，P(1,−1)，设过点P的直线为l，取线段MN上一点Q.若Q∉l.则直线l斜率的取值范围是( )
A. (−∞,32]B. (−12,32)
C. [−12,+∞)D. (−∞,−12]∪[32,+∞)
8.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD−A1B1C1D1外接球的直径，点P是正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一点，则PE⋅PF的取值范围是( )
A. [−2,0]B. [−1,0]C. [0,1]D. [0,2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 直线 3x−y+1=0的一个方向向量为( 3,1)
B. A(1,3)，B(2,5)，C(−2,−3)三点共线
C. 直线2(m+1)x+(m−3)y+7−5m=0必过定点(1,3)
D. 经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y−1=tanθ(x−1)
10.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是( )
A. SA+SB+SC+SD=0
B. SA+SB−SC−SD=0
C. SA−SB+SC−SD=0
D. SA⋅SB=SC⋅SD
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过直线EF的平面分别与棱BB1，DD1交于M，N.设BM=x，x∈[0,1]，以下正确的是( )
A. 平面MENF⊥平面BDD1B1
B. 当且仅当x=12时，四边形MENF的面积最小
C. 四边形MENF的周长L=f(x)，x∈[0,1]是单调函数
D. 四棱锥C1−MENF的体积V保持不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点(1,2,3)关于yOz平面的对称点坐标为______．
13.若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为______．
14.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为______，点S与P距离的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(−2,6)，C(−8,0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积．
16.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，点D为棱BC上一点，且CD=2BD，点M为线段AD的中点．
(1)以{AB、AC、AP}为一组基底表示向量PM；
(2)若AB=AC=3，AP=4，∠BAC=∠PAC=60°，求PM⋅AC．
17.(本小题12分)
如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱A1B1上的一点，且A1E=2EB1，点F是棱A1D1上的一点，且A1F=2FD1．
(1)求异面直线AD1与CF所成角的余弦值；
(2)求直线BD到平面CEF的距离．
18.(本小题12分)
如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，底面ABCD是边长为 2的正方形，且D1O⊥底面ABCD．
(1)证明：AC⊥CC1；
(2)若二面角D1−AB−D的正切值为 2，求直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC=13，设点G是线段PB上的一点．
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)若PGPB=23.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
(3)设CG与平面AEF所成角为θ，求sinθ的范围．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.B
5.A
6.C
7.B
8.A
9.BC
10.CD
11.ABD
12.(−1,2,3)
13.3
14. 72 574
15.解：(1)由截距式可得：边AC所在直线的方程为x−8+y4=1，
即x−2y+8=0．
由两点式可得：边AB所在直线的方程为y−46−4=x−0−2−0，
即x+y−4=0．
(2)由题意，得点D的坐标为(−4,2)，
由两点式，得边BD所在直线的方程为y−26−2=x−(−4)−2−(−4)，
即2x−y+10=0，
所以x−5+y10=1．
所以直线BD与坐标轴围成的三角形的面积S=12×5×10=25．
16.解：(1)∵M为线段AD的中点，∴AM=12AD，
∵CD=2BD，∴BD=13BC，
∴PM=PA+AM=PA+12AD=PA+12(AB +BD)
=PA+12(AB+13BC)=PA+12[AB+13(BA+AC)]
=PA+12(AB−13AB+13AC)=−AP+13AB+16AC；
(2)PM⋅AC=(−AP+13AB+16AC)⋅AC
=−AP⋅AC+13AB⋅AC+16AC2
=−|AP||AC|⋅cs∠PAC+13|AB||AC|cs∠BAC+16|AC|2
=−4×3×12+13×3×3×12+16×32
=−6+32+32=−3．
17.解：(1)以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则A(3,0,0)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，F(1,0,3)，E(3,2,3)，
AD1=(−3,0,3)，CF=(1,−3,3)，
则cs=AD1⋅CF|AD1||CF|=−3+93 2× 19= 3819，
∴异面直线AD1与CF所成角的余弦值为 3819；
(2)连接B1D1，则BD//B1D1//EF，可得BD/​/平面CEF，
直线BD到平面CEF的距离等于D到平面CEF的距离，又CE=(3,−1,3)，
设平面CEF的一个法向量为n=(x,y,z)，
由n⋅CE=3x−y+3z=0n⋅CF=x−3y+3z=0，取z=1，可得n=(−34,34,1)，
又CD=(0,−3,0)，
∴直线BD到平面CEF的距离为|n⋅CD||n|=94 172 2=9 3434．
18.解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
因为D1O⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，所以D1O⊥AC，
因为AC⊥BD，D1O⊥AC，BD，D1O⊂面BDD1B1，BD∩D1O=O，
所以AC⊥面BDD1B1，
又因为DD1⊂面BDD1B1，所以AC⊥DD1，
又平行六面体ABCD−A1B1C1D1，所以DD1/​/CC1，
所以AC⊥CC1；
(2)取AB中点H，连接D1H，OH，

因为四边形ABCD为正方形，所以OH⊥AB，
因为D1O⊥底面ABCD，AB⊂面ABCD，所以D1O⊥AB，
因为AB⊥OH，D1O⊥AB，OH，D1O⊂面D1OH，OH∩D1O=O，
所以AB⊥面D1OH，
又D1H⊂面D1OH，所以AB⊥D1H，
所以∠D1HO是二面角D1−AB−D的平面角，
又二面角D1−AB−D的正切值为 2，所以D1O=1，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1(0,0,1)，D(0,−1,0)，A(1,0,0)，C(−1,0,0)，
所以A1C=A1A+AC=D1D+AC=(0,−1,−1)+(−2,0,0)=(−2,−1,−1)，
因为D1O⊥底面ABCD，所以底面ABCD的一个法向量为OD1=(0,0,1)，
设直线A1C与平面ABCD所成角为θ,θ∈(0,π2),sinθ=|cs|= 66，
所以csθ= 1−sin2θ= 306，
所以直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值为 306．
19.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内相交直线，故CD⊥平面PAD，
(2)以A为原点，DC、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,−1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(23,23,43)，G(43,−23,23)，
所以AE=(0,1,1)，AF=(23,23,43)，AG=(43,−23,23)，
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，
则AE⋅n=y+z=0AF⋅n=23x+23y+43z=0，令y=1，得x=1，z=−1，故n=(1,1,−1)
因为AG⋅n=43−23−23=0，且AE、AF、AG有公共点A，故直线AG在平面AEF内；
(3)由(2)可知BP=(−2,1,2)，
设BG=kBP=(−2k,k,2k)(0≤k≤1)，
则CG=CB+BG=(−2k,k−3,2k)(0≤k≤1)，
故sinθ=|cs〈CG,n〉|=|CG⋅n||CG||n|=|−2k+k−3−2k| 4k2+(k−3)2+4k2⋅ 3
=|3k+3| 9k2−6k+9⋅ 3=|k+1| 3k2−2k+3= (k+1)23k2−2k+3，
令t=k+1∈[1,2]，
则sinθ= t23(t−1)2−2(t−1)+3= t23t2−8t+8= 18t2−8t+3= 18(1t−12)2+1，
而1t−12∈[0,12]，8(1t−12)2+1∈[1,3]，故sinθ∈[ 33,1]．