2024-2025学年天津四十七中高二（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年天津四十七中高二（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.向量a=(2,4,−4),b=(−2,x,2)，若a⊥b，则x的值为( )
A. −3B. 1C. −1D. 3
2.过点(−1,3)且平行于直线x−2y+3=0的直线方程为( )
A. x−2y+7=0B. 2x+y−1=0C. x−2y−5=0D. 2x+y−5=0
3.若点(1,a)到直线x−y+1=0的距离是3 22，则实数a为( )
A. −1B. 5C. −1或5D. −3或3
4.已知直线mx+4y−2=0与直线2x−5y+n=0互相垂直，垂足为(1,p)，则m+n−p等于( )
A. 24B. 20C. 4D. 0
5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE⋅AF的值为( )
A. a2B. 12a2C. 14a2D. 34a2
6.下列命题中正确的是( )
A. 点M(3,2,1)关于平面yz对称的点的坐标是(−3,2,−1)
B. 若直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，平面α的法向量为m=(6,4,−1)，则l⊥α
C. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°，则直线l与平面α所成的角为30°
D. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若OP=mOA−12OB+OC，则m=−12
7.若圆(x−1)2+y2=25的弦AB被点P(2,1)平分，则直线AB的方程为( )
A. 2x+y−3=0B. x+y−3=0C. x−y−1=0D. 2x−y−5=0
8.已知圆C1：(x−a)2+(y+3)2=1与圆C2：(x+b)2+(y+3)2=9外切，a，b为正实数，则4a+1b的最小值为( )
A. 2B. 94C. 4D. 92
9.若直线y=x+b与曲线y=3− 4x−x2有公共点，则b的取值范围是( )
A. [1−2 2,1+2 2]B. [1− 2,3]
C. [−1,1+2 2]D. [1−2 2,3]
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若向量a=(1,1,x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，且满足条件(c−a)⋅(2b)=−2，则x= ．
11.过两条直线l1：x+2y−4=0，l2：2x−y−3=0的交点，且与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为______．
12.若圆心在x轴上、半径为 2的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是______．
13.已知直线l：mx−y−3m+1=0恒过点P，过点P作直线与圆C：(x−1)2+(y−2)2=25相交于A，B两点，则|AB|的最小值为______．
14.若圆C：x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是 ．
15.若圆x2+y2−4x−4y−10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2 2，则直线l的斜率的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=C,2b= 3a．
(I)求csA的值；
(II)cs(2A+π4)的值．
17.(本小题12分)
求分别满足下列条件的直线l的方程．
(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;
(2)经过两点A(1,0)，B(m,1);
(3)经过点(4,−3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
18.(本小题12分)
已知圆C1的圆心为坐标原点，且与直线3x+4y−10=0相切．
(1)求圆C1的标准方程；
(2)若直线l过点M(1,2)，直线l被圆C1所截得的弦长为2 3，求直线l的方程．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA=AB=3，AC=2，E是棱PD的中点．
(Ⅰ)求证：PB//平面AEC；
(Ⅱ)求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；
(Ⅲ)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得二面角M−AC−E的余弦值为 1010？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由．
20.(本小题12分)
已知圆C过点P(1,1)且与圆M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l与圆C交于A，B两点，且点P(1,1)在直线l的左上方．
(1)求圆C的方程．
(2)证明：△PAB的内切圆的圆心在定直线x=1上．
(3)若∠APB=60°，求△PAB的面积．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.D
5.C
6.C
7.B
8.B
9.D
10.2
11.3x−y−5=0
12.(x+2)2+y2=2
13.4 5
14.4
15.[2− 3,2+ 3]
16.解：(I)由B=C，2b= 3a，可得c=b= 32a，
所以csA=b2+c2−a22bc=34a2+34a2−a22× 3a2× 3a2=13，
(II)因为csA=13,A∈(0,π)，
所以sinA= 1−cs2A=2 23，
故sin2A=2sinAcsA=4 29，cs2A=2cs2A−1=−79，
所以cs(2A+π4)=cs2Acsπ4−sin2Asinπ4
=−79× 22−4 29× 22=−8+7 218．
17.解：(1)设直线l的方程为y=34x+b，
令y=0，得x=−43b，
∴12|b·(−43b)|=6，b=±3．
∴直线l的方程为y=34x±3．
(2)当m≠1时，直线l的方程是y−01−0=x−1m−1，即y=1m−1 (x−1)，
当m=1时，直线l的方程是x=1；
(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b．
当a≠0，b≠0时，l的方程为xa+yb=1；
∵直线过P(4,−3)，
∴4a−3b=1，
又∵|a|=|b|，
∴4a−3b=1a=±b，解得a=1b=1或a=7b=−7．
当a=b=0时，直线过原点且过(4,−3)，
∴l的方程为y=−34x.
综上所述，直线l的方程为x+y=1或x7+y−7=1或y=−34x.

18.解：(1)∵原点O到直线3x+4y−10=0的距离为|−10| 32+42=2，
∴圆C1的标准方程为x2+y2=4；
(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1，代入x2+y2=4，
得y=± 3，即直线l被圆C1所截得的弦长为2 3，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y−2=k(x−1)，即kx−y−k+2=0．
∵直线l被圆C1所截得的弦长为2 3，圆的半径为2，
则圆心到直线l的距离d= 22−( 3)2=1=|−k+2| k2+1，解得k=34．
∴直线l的方程为34x−y−34+2=0，即3x−4y+5=0．
综上，直线l的方程为x=1或3x−4y+5=0．
19.解：(Ⅰ)证明：连接BD交AC于点O，并连接EO，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴O为BD的中点，
又∵E为PD的中点，
∴在ΔPDB中，EO为中位线，EO/​/PB，
∵PB⊄面AEC，EO⊂面AEC，∴PB/​/面AEC．
(Ⅱ)证明：∵在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，
底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA=AB=3，AC=2，E是棱PD的中点，
∴以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
P(0,0,3)，C(2,0,0)，A(0,0,0)，D(2,−3,0)，E(1,−32,32)，
则AE=(1,−32,32)，AC=(2,0,0)，PC=(2,0,−3)，
设平面AEC的法向量m=(x,y,z)，
则AE⋅m=x−32y+32z=0AC⋅m=2x=0，取y=1，得m=(0,1,1)，
设直线PC与平面AEC所成角为θ，
则直线PC与平面AEC所成角的正弦值为：sinθ=|PC⋅m||PC|⋅|m|=3 13⋅ 2=3 2626．
(Ⅲ)假设在线段PB上(不含端点)存在一点M，使得二面角M−AC−E的余弦值为 1010，
设M(a,b,c)，B(0,3,0)，
PM=λPB，则(a,b,c−3)=λ(0,3,−3)，
解得a=0，b=3λ，c=3−3λ，M(0,3λ,3−3λ)，
AC=(2,0,0)，AM=(0,3λ,3−3λ)，
设平面ACM的法向量n=(p,q,t)，
则n⋅AC=2p=0n⋅AM=3λq+(3−3λ)t=0，取q=1，得n=(0,1,λλ−1)，
∵二面角M−AC−E的余弦值为 1010，
∴|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|= 1010，
解得λ=13或λ=23．
∴在线段PB上(不含端点)存在一点M，使得二面角M−AC−E的余弦值为 1010，
且PM=13PB或PM=23PB．
20.解：(1)设圆心C(a,b)，由题意得到圆M坐标为(−2,−2)，
又圆C与圆M关于直线x+y+2=0对称，
∴a−22+b−22+2=0①，…(2分)
又直线x+y+2=0的斜率为−1，
∴直线CM的斜率为1，即b+2a+2=1②，
联立①②解得：a=b=0，
∴圆心C坐标为(0,0)，又P(1,1)在圆C上，
半径r2=(0−1)2+(0−1)2=2，
∴圆C的方程为x2+y2=2…(4分)
(2)设直线AB的方程为：y=x+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x2+y2=2y=x+m，消去y得：2x2+2mx+m2−2=0，
∴x1+x2=−m，x1x2=m2−22，
∴kPA+kPB=y1−1x1−1+y2−1x2−1=x1−1+mx1−1+x2−1+mx2−1
=2+mx1−1+mx2−1=2+m(x1+x2−2)x1x2−(x1+x2)+1
=2+m(−m−2)m2−22+m+1=2−2(m2+2m)m2+2m=0，
即kPA+kPB=0，
∴∠APB的平分线为垂直于x轴的直线，又P(1,1)，
则△PAB的内切圆的圆心在直线x=1上；…(10分)
(3)若∠APB=60°，结合(2)可知：kPA= 3，kPB=− 3，…(11分)
直线PA的方程为： 3x−y+1− 3=0，
圆心O到直线PA的距离d= 3−12，
∴PA=2 2−d2=2 2−( 3−12)2= 3+1，…(13分)
同理可得：PB= 3−1，…(15分)
∴S△PAB=12PA⋅PB⋅sin60°= 32.…(16分)