重庆市“拔尖强基联盟”2025届高三上学期10月联合考试数学试卷（含答案）

这是一份重庆市“拔尖强基联盟”2025届高三上学期10月联合考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−4,−2,0,2,4},B={x∣x2+2x−3<0}，则图中阴影部分表示的集合为
A. −4,2,4B. −4,−2,4C. −2,0D. −4,−2,0
2.设复数z满足(2+i)=(2−i)z，则z=
A. 12B. 1C. 52D. 5
3.设等差数列an的前n项和为Sn，且a3+a11−a5=4，则S17=
A. 58B. 68C. 116D. 136
4.遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x(小时)的大致关系：y=1−，则记忆率为20%时经过的时间约为(参考数据：lg2≈0.30,lg3≈0.48)
A. 80小时B. 90小时C. 100小时D. 120小时
5.在平行四边形ABCD中，点E,F,G分别满足DE=EC,BC=2BG,AF=2FE，则FG=
A. 23AB−16ADB. 23AB+16ADC. 16AB−23ADD. 16AB+23AD
6.已知函数f(x)=1ex+1−12，若正实数a,b满足f(a)+f(2b−1)=0,则ba+2b的最小值为
A. 172B. 7C. 5+3 2D. 4+2 2
7.已知α为锐角，sinαsin(α+π6)−45=csαsinπ3−α，则sinα=
A. 2 15+ 510B. 2 15− 510C. 2 5+ 1510D. 2 5− 1510
8.已知函数f(x)=xe3x−lnx−x−ax，若对任意的x>0,f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围为
A. [−3,3]B. [−2,2]C. [−4,4]D. [−1,1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a,b,c满足a=(1,1)，b=(−1,2)，c=(2m,n−1)，则
A. |a−b|=5B. 当b//c时，4m+n=1
C. 当(2a→+b→)⊥c→时，m+2n=2D. b在a上的投影向量的坐标为(−15,25)
10.已知函数f(x)=sin (2x−φ)(0⩽φ<π)，g(x)=cs (2x+π3)，定义域均为R，下列说法正确的是
A. 函数y=f(x)与y=g(x)有相同的最小正周期
B. 若函数f(x)在(0,π3)上单调递增，则φ的最小值为π6
C. 当φ=0时，y=g(x)的图象可以由函数y=f(x)的图象向右平移π12个单位得到
D. 当φ=π4时，若方程f(x)= 63在区间(0,π2)内的解为x1,x2(x111.已知函数f(x)与g(x)及其导函数f′(x)与g′(x)的定义域均为R.若fx为奇函数，f(x)+g(2−x)=2，f′(x)+g′(x+1)=2，则
A. g(−2)+g(6)=4B. f′(0)=0
C. f′x关于点(12,1)中心对称D. k=12025g′(k2)=2025
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数fx=f(2x),x≤0lg2x,x>0，则f−2024= _______．
13.育才中学研究性学习小组为测量如图所示的陶行知雕塑的高度，在和它底部O位于同一水平高度的三点A,B,C处测得雕塑顶端P处仰角均为π4，且AB=BC=5m,AC=6m则该雕塑的高度为_______m．
14.已知函数fx=|sinπx|,0≤x<22fx−2,2≤x<8，则函数y=f(fx)−12fx的零点个数是_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知正项等差数列an满足：a1=1且a1,a2,a3+4成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn满足：bn=2an，n∈N∗，求数列{an+bn}的前n项和为Sn．
16.(本小题15分)
心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态.某中学的学习研究小组为设计创新性学习活动，随机抽取了100名学生进行调研，男生与女生的人数之比为3:2，其中女生有35名自述活动过程中体验到心流，男生有15名没有体验到心流．
(1)完成2×2列联表，依据表中数据，以及小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关?
(2)在体验到心流的学生中，有A,B两名同学表示特别喜爱这种创新性学习活动，希望参加到进一步的学习中.在接下来的进一步学习中，研究小组将每次从体验到心流的学生中不放回的随机抽取k(k=4,5,6,7,8)名同学参加，记抽取两次后抽中A或B的概率为p(k)，当p(k)最大时k为何值？请证明你的结论．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
17.(本小题15分)
在▵ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足__________．
请在①a−bsinA+C=a−csinA+sinC；②sinπ6−CcsC+π3=14，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题．
(1)求C；
(2)若▵ABC面积为10 3，tanA=5 311，点D在线段AB上，且2BD=AD，求CD的长．
18.(本小题17分)
已知圆O:x2+y2=4交x轴于A,B两点，椭圆C过点( 3,12)且以AB为长轴．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l与椭圆C交于M,N两点，与圆O交于P,Q两点，若不重合的两条直线l1:y=k1x与l2:y=k2x分别平分线段MN,PQ．
①求证：k1k2为定值；
②已知直线l1,l2与椭圆C分别交于D,E,F,G，且OH+3HD=0，求四边形EFGH面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln(3−x)+cs(2−x)的图象与g(x)的图象关于直线x=1对称．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若g(x)−1≤ax在定义域内恒成立，求a的取值范围；
(3)求证：i=n+12ng(1i)参考答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.A
6.D
7.C
8.B
9.BC
10.ABD
11.ACD
12.−2024
13.258
14.112
15. 解：(1)设数列{an}公差为d，又a1，a2，a3+4成等比数列，
所以a22=a1⋅(a3+4)，
所以(a1+d)2=a1(a1+2d+4)，
又a1=1，
即(1+d)2=5+2d，
解得d=2或d=−2(舍)，
所以an=1+(n−1)×2=2n−1．
(2)可知bn=2an=2⋅4n−1，
则Sn=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn)
=1+3+5+..+2n−1+240+41+42+...+4n−1
=n1+2n−12+2×1×1−4n1−4
=n2+23(4n−1)．
16.解：(1)因为调查的女生人数为：22+3×100=40，所以，调查的男生人数为100−40=60，
于是可完成2×2列联表如下：
零假设为H0:在创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关.根据列联表中的数据，
可得：χ2=100×(35×15−45×5)280×20×40×60=7532<3<3.841=x0.05，
根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可以认为H0成立，即创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关;
(2)当k=8时，p(k)的值最大，
p(k)=1−C78kC78−kkC80kC80−kk=1−78!k!78−k!·78−k!k!78−2k!80!k!80−k!·80−k!k!80−2k!=1−80−2k79−2k80×79(k=4,5,6,7,8)，
p(k+1)−p(k)=(80−2k)⋅(79−2k)80⋅79−(78−2k)⋅(77−2k)80⋅79=314−8k80⋅79，
由4≤k≤8可知，p(k+1)>p(k)，
即p(k)为增函数，所以当k=8时p(k)的值最大．
17.解：(1)选择条件①，(a−b)sin(A+C)=(a−c)(sinA+sinC)，
则(a−b)sinB=(a−c)(sinA+sinC)，
由正弦定理可得(a−b)b=(a−c)(a+c)，即a2+b2−c2=ab，
所以csC=a2+b2−c22ab=12，由C∈(0,π)，所以C=π3；
选择条件②，sin(π6−C)cs(C+π3)=14，
即sin[π2−(π3+C)]cs(C+π3)=14，所以cs2(C+π3)=14，
由C∈(0,π),π3所以C+π3=2π3，则C=π3；
(2)在△ABC中，因为tanA=5 311，所以sinAcsA=5 311，
所以5 3csA=11sinA，故得sinA=5 311csA，
而在△ABC中，sinA>0恒成立，故得csA>0，
因为sin2A+cs2A=1，所以(5 311csA)2+cs2A=1，
解得csA=1114，sinA=5 314，
因为△ABC面积为10 3，所以12×5 314×bc=10 3，解得bc=56，
由上问得C=π3，故12× 32×ab=10 3，解得ab=40，
而sinB=sin(A+C)=5 314×12+1114× 32=4 37，
所以12×4 37×ac=10 3，解得ac=35，
综上可得a=5，b=8，c=7(负根舍去)，
设CD=d，CA=b，CB=a，
由平面向量基本定理定理得d=23a+13b，
所以|d|2=19(4|a|2+4×|a|×|b|×12+|b|2)=2449，
故CD的长度为2 613．
18.解：(1)由x2+y2=4，令y=0得x=±2，不妨令A(−2,0)，B(2,0)，
则可设椭圆C的标准方程为x24+y2b2=1(0椭圆C过点( 3,12)，即34+14b2=1，解得b2=1，
所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1;
(2) ①解：显然直线l与l2垂直，设直线l:x=ty+d，则k2=−t，直线l与椭圆交于M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由于直线l2:y=k2x平分直线l与圆O的交线段，则有k2=−t，x12+4y12=4x22+4y22=4,
于是(x1−x2)x1+x22=−4(y1−y2)y1+y22，
由于t=x1−x2y1−y2，k1=y1+y22x1+x22，则k1=−14t，则14=k1k2．
②由题可知OHOD=32，则S△EHG=32S△EDG=34SDEFG，易知SEFGH=54SDEFG，
令x2+4y2=4y=k1x，得x=± 44k12+1，
则直线l1与椭圆交线长为|EG|=2 k12+1 44k12+1，
同理可得直线l2与椭圆的一个交点D( 44k22+1,k2 44k22+1)，
则D到直线l1的距离d=k1−k2 44k22+1 k12+1=34k2 44k22+1 k12+1，
所以四边形面积SDEFG=|EG|d=6k2 (4k12+1)(4k22+1)，
当k2=0时，四边形不存在，
当k2≠0时，SDEFG=6 k22+174+1k22≤125，当且仅当k2=±1时，取等号，
所以四边形面积的最大值SEFGH=54SDEFG=3，在k2=±1时取到．

19.解：(1)由题，不妨设g(x)函数图象上任意一点坐标为(x0,y0)，则其关于直线x=1的对称的点(2−x0,y0)在f(x)的图象上，
则y0=g(x0)=f(2−x0)=ln(x0+1)+csx0，
∴g(x)=ln(x+1)+csx；
(2)不妨令ℎ(x)=g(x)−ax−1=ln(x+1)+csx−ax−1，(x>−1)，
则ℎ(x)≤0在(−1,+∞)上恒成立，
注意到，ℎ(0)=0，且ℎ(x)在x∈(−1,+∞)上是连续函数，
则x=0是函数ℎ(x)的一个极大值点，
∴ℎ′(0)=0，又ℎ′(x)=1x+1−sinx−a，ℎ′(0)=1−a=0，
∴a=1，
下证：当a=1时，ℎ(x)≤0在x∈(−1,+∞)上恒成立，
令φ(x)=ln(x+1)−x(x>−1)，φ′(x)=1x+1−1=−xx+1，
∴当x∈(−1,0)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；当x∈(0,+∞)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，
∴φ(x)≤φ(0)=0，即：ln(x+1)≤x在x∈(−1,+∞)上恒成立；
又csx−1≤0，∴ℎ(x)≤0，
∴a的取值为1；
(3)由(2)知：g(x)−1≤x，则g(1i)−1≤1i，
∴g(1i)≤1i+1，
∴i=n+12ng(1i)≤(1n+1+1n+2+⋯+12n−1+12n)+n，
又由(2)知：ln(x+1)≤x在(−1,+∞)恒成立，则lnx≤x−1在(0,+∞)上恒成立，且当且仅当x=1时取等，
则令x=nn+1∈(0,1)，n∈N∗，
则lnnn+1<−1n+1，
∴1n+1∴1n+1+1n+2+⋯+12n∴i=n+12ng(i)无心流
总计
女生
35
男生
15
合计
100
α
0.10
0.05
0.010
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879