重庆市拔尖强基联盟2025届高三上学期10月联合考试数学试题+答案

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重庆市高 2025 届拔尖强基联盟高三上 10 月联合考试
数学参考答案及评分意见
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B C A D C B
3x
xe lnx x1
8.【详解】当 x  0, xe3x  ln x  x  a x 1恒成立， 3x ( 0)恒成立.
a x  xe lnx x1,a  x
x
ln x 1
不妨令 x)  e  1(x 0) g x
g( 3x   ，则 ( ) .
a  易知 ex  x 1，当且仅当 x  0 时取等.
min
x
号. a  2,即a 2,2.故 B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
11. 【详解】对于 A 选项，令 x  4, 则 f (4)  g(2)  2, 令 x  4, 则 f (4)  g(6)  2.
g(2)  g(6)  4,A 选项正确；
对于 B 选项， f (x) 为奇函数，则 f (x) 是偶函数.但无法确定 f (0) 的值,B 选项不正确；
对于 C 选项， f (x)  g(2  x)  2, f (x)  g(2  x)  0，又 f (x)  g(x 1)  2 ，
3
g(x 1)  g(2  x)  2,g(x) 关于点 ( ,1) 中心对称，
2
1
 f (x)  2  g(x 1) f (x) 关于点 ( ,1) 中心对称,C 选项正确；
2
对于 D 选项，又因为 f (x) 为偶函数， f (x) 的周期为 2, 而 g(x 1)  2  f (x) ，
g(x)  2  f (x 1) ，
2025 2025 2025
k k k
   
g ( )  (2  f ( 1))  4050  f ( 1)，
2 2 2
k1 k1 k1
4
k 1 1

 f ( 1)  f ( )  f (0)  f ( )  f (1)  4 ，
2 2 2
k1
2025
k

g( )  2025, D 选项正确.
2
k1
数学答案 第 1页 共 5页故 g(x) 
3x ln x 3x ln x3x
3x (ln x   (ln 1)
ln x 1 xe  (ln x 1) e e  1) e x
e  1 1 1
x x x x

ln x  3x
1 ln x
x
1
1
2,
当 且 仅 当 ln x  3x  0 （ 该 方 程 显 然 有 解 ） 时 上 式 取 得 等
2025

k1
f
k
(
2
1)

4506 
f
2025
2
(
1)

2024

f
2023
( )
2

2024

f
3
( )
2

2025.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
题号 12 13 14
t t t t t t t t t t t t t t t t ，根据图像知：
0 , 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 , 8, 9 , 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15
t   t   t t   t t t t   t t t t t t t t  ，
0 0,0 1 1,1 2 , 3 2,2 4 , 5, 6 , 7 4,4 8, 9 , 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 8
零点.
四、解答题：本题共 5 题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
解：（1）设数列a 公差为 d ，又 a1,a2 ,a3  4 成等比数列，所以      
a2  a  a   a  d  a a  d  ，
2 1 3 4 1 1 1 2 4
2
n
（2 分）
16．（本小题满分 15 分）
2
（1）因为调查的女生人数为： 100  40
2  3
，所以，调查的男生人数为100 40  60 ，于是可完成 22列
联表如下：
心流 无心流 总计
女生 35 5 40
男生 45 15 60
合计 80 20 100
（3 分）
根据小概率值  0.05的 2 独立性检验，没有充分证据推断 H 不成立，
0
数学答案 第 2页 共 5页答案 2024
25 112
8
14.【详解】设t  f (x) ，考虑
1
f (t)  t 的根，由图像知有 16 个根，分别设为
2
再考虑 f (x)  t ,0  i 15，分别作出直线
i
y  t ，可知原函数共有816 212 4884 112个
i
又
2
a1 1，即1 d   5  2d ，解得 d  2或 d  2 （舍），所以 a 1 n 12  2n 1 . （5 分）
n
（2）可知b  2  24 1 ，则
a
n n
n
2 2
n
S  a  a  a  b  b  b  n   （13 分）
( ) ( ) (4 1)
n 1 2 n 1 2 n
3
零假设为
H ：在创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关.
0
根据列联表中的数据，可得：

2
100(3515 455) 75
2
   3 3.841
80204060 32
x
0.05
， （5 分）
因此可以认为
H 成立，即创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关； （7 分）
0
（2）当 k=8 时 p(k)的值最大， （8 分）
由 4  k  8 可知， p(k 1)  p(k) ，即 p(k)为增函数，
所以当 k=8 时 p(k)的值最大. （15 分）
17．（本小题满分 15 分）
解：（1）选择条件①，a bsin AC  a c sinA sinC ，则a bsinB  a c sinA sinC ，（1 分）
由正弦定理可得a  bb a  ca  c，即 a2  b2  c2  ab ， （3 分）
（3 分）
5 3
而在VABC 中，sinA  0恒成立，故得cs A  0 ，因为sin2 A cs2 A 1，所以 2 2
( cs A) cs A 1，
11
C  ，故 1 3 10 3
π
由上问得   ab  ，解得 ab  40 ， （10 分）
3
2 2
综上可得 a  5,b  8,c  7 (负根舍去)， （12 分）
18.（本小题满分 17 分）
x2  y2  4 ，令 y  0 得 x  2，不妨令 A2, 0,B2, 0， （1 分）
（1）由
x y
2 2
则可设椭圆C 的标准方程为 2 10 2
   b ， （2 分）
4 b
数学答案 第 3页 共 5页C C
k k
1 78 78 =
k 1
p(k)=
C C
k k
80 80k
78! (78  k)!

k!(78  k)! k!(78  2k)!
80! (80  k)!

k!(80  k)! k!(80  2k)!
=1
(80  2k)(79  2k)
8079
（k=4,5,6,7,8）， （12 分）
(80  2k)(79  2k) (78  2k)(77  2k)
p(k 1)  p(k)  
8079 8079
=
314 8k
8079
（14 分）
所以
csC
a2 b2 c2 1 π
  ，由C0, π，所以
C  ． （6 分）
2ab 2 3
 π   π 1
选择条件②，sin C cs C  
   
   
6 3 4
π  π   π  1 2  π  1
，即sin C cs C ，所以cs C  
      
   
      
2 3 3 4 3 4
，
π π 4π  π  1
由C   C   ，则
0,π , cs C   
 
3 3 3 3 2
 
π 2π π
，所以C   ，则C  ． （6 分）
3 3 3
（2）在VABC 中，因为 tan 5 3
A  ，所以
11
sinA 5 3 5 3
 ，所以5 3 cs A 11sinA ，故得sinA  cs A，
cs A 11 11
解得
cs
A  ，sin 5 3
11
A  . （8 分）
14
14
因为VABC 面积为10 3 ，所以
1 5 3
 bc 10 3 ，解得bc  56 ， （9 分）
2 14
而sin sin( ) 5 3 1 11 3 4 3
B  AC      ，所以
14 2 14 2 7
1 4 3
 ac 10 3 ，解得ac  35， （11 分）
2 7
 
 
设CD  d ，CA  b


，CB  a
  
，由平面向量基本定理定理得 2 1
d  a  b
， （13 分）
3 3
所以
     244
2 1 2 1 2
 ，故 CD 的长度为 2 61
d  (4 a  4 a  b   b )
9 2 9 3
； （15 分）
(2)①解：显然直线l 与l 垂直，设直线l : x  ty  d，则
k  t （5 分）
2 2
直线l 与椭圆交于 M x y  N x y ，
1, 1 , 2, 2
x2  4y2  4
l y  k x 平分直线l 与圆O的交线段，则有
由于直线 ，
2 : 2   
1 1
k t,
2 2 2
x  4y  3

2 2
x  x y  y
于是        ， （7 分）
x x 1 2 y y 1 2
1 2 4 1 2
2 2
（11 分）
19.（本小题满分 17 分）
解：（1）由题：不妨设 g(x) 函数图象上任意一点坐标为 (x0 , y0 ), 则其关于直线 x 1的对称的点 (2  x0 , y0 ) 在
f ) 的图象上，则 y0  g(x0 )  f (2  x0 )  ln(x0 1)  csx0 , g(x)  ln(x 1)  cs x. （4 分）
(x
（2）不妨令 h(x)  g(x)  ax 1 ln(x 1)  cs x  ax 1,(x  1)，则 h(x)  0在 (1,) 上恒成立，
注意到： h(0)  0，且 h(x) 在 x(1,) 上是连续函数，则 x  0 是函数 h(x) 的一个极大值点，
数学答案 第 4页 共 5页椭圆C 过点（ 3, 1
2
）,所以椭圆C 的标准方程为
x
2
4
 2  1； （4 分）
y
x  x
由于
t  k 
1 2 ,
1
y  y
1 2
y  y
1 2
2
x  x
1 2
2
1 1 k
，则 k   t ，则  1 . （10 分）
1
4 4 k
2
②由题可知
OH
OD

3
2
,则
3 3
S  S  S ,易知
EHG EDG DEFG
2 4
5
S  S
EFGH DEFG
4
令
x  4y  4
2 2
，得

y  k x

1
x  
4
4k 1
2
1
4
，则直线
l 与椭圆交线长为 2
| EG | 2 k 1
1
1 2
4k 1
1
， （13 分）
同理可得直线l 与椭圆的一个交点
2
 
4 4
，
D , k
 
   
2
4k 1 4k 1 2 2
 
2 2
则 D 到直线l 的距离
d
1
4 3 4
k  k  k
1 2 2 2 2
4k 1 4 4k 1
2 2
 
k 1 k 1
2 2
1 1
，
所以四边形面积
S | EG | d 
DEFG
6k
2
 2  2 
4k 1 4k 1
1 2
， （15 分）
当
k  时，四边形不存在，
2 0
当
k  时，
2 0
S
DEFG
6 12
，
 
17 1 5
k  
2
2 2
4 k
2
所以四边形面积的最大值
5
S  S  3
 ，在
EFGH DEFG
4
k2  1时取到. （17 分）
1
h(0)  0，又 h(x)   sin x  a,h(0) 1 a  0a 1.
x 1
（7 分）
下证：当 a 1时， h(x)  0在 x(1,) 上恒成立
1 x
令(x)  ln(x 1)  x(x  1)，(x)  1 .
x 1 x 1
当 x(1,0) 时，(x)  0,(x) 单调递增；当 x(0,) 时，(x)  0,(x) 单调递减.
(x)  (0)  0, 即： ln(x 1)  x 在 x(1,) 上恒成立；又 csx 1 0
 ( ) 0 的取值为1. （9 分）
h x  a
又由（2）知： ln(x 1)  x 在 (1,) 恒成立，则 ln x  x 1在 (0,) 上恒成立且当且仅当 x 1时取
等.
n n 1 1 n 1
则令 (0,1), *
x   n N 则 ln  ,  ln  ln(n 1)  lnn.
n 1 n 1 1 n n
 n  1 （15 分）
2n 
 g(i)  ln 2  n. 证毕. （17 分）
in1
数学答案 第 5页 共 5页1 1 1 1
（3）由（2）知： g(x) 1 x,则 g( ) 1 ，g( )  1.
i i i i
（10 分）
2n
1
 
g( )
i
in1

1
( 
n 1
1
n 
2

1
2n 1

1
) 
2n
n
（11 分）
1 1 1
    ln(n 1)  lnn  ln(n  2)  ln(n 1)  ln(2n)  ln(2n 1)
n 1 n  2 2n
 ln 2.