江苏省南通市2024-2025学年九上数学开学预测试题【含答案】

这是一份江苏省南通市2024-2025学年九上数学开学预测试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一次函数y＝﹣3x+5的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2、（4分）下面四个二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么（m+n）2的值为（ ）
A．23B．24C．25D．无答案
4、（4分）已知点A（1，2）在反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式是（ ）
A．B．C．D．y＝2x
5、（4分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等边三角形
6、（4分）甲、乙两人约好步行沿同一路线同一方向在某景点集合，已知甲乙二人相距660米，二人同时出发，走了24分钟时，由于乙距离景点近，先到达等候甲，甲共走了30分钟也到达了景点与乙相遇.在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲的速度是70米/分B．乙的速度是60米/分
C．甲距离景点2100米D．乙距离景点420米
7、（4分）如果反比例函数 的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜C．m≤D．m≥
8、（4分）一个一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ）
A．x≥2B．x＜2C．x＞2D．x≤2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）观察下面的变形规律：
＝－1，＝－，＝－，＝－，…
解答下面的问题：
（1） 若为正整数，请你猜想＝________；
（2） 计算：
10、（4分）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
11、（4分）对于分式，当x ______ 时，分式无意义；当x ______ 时，分式的值为1．
12、（4分）如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB边上任意一点DE∥BC，DF∥AC，AC＝5cm，则四边形DECF的周长是_____．
13、（4分）若是整数，则满足条件的最小正整数为________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．
(1)如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．
①求证：△PBE是等边三角形；
②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；
(2)连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．
15、（8分）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：①∠BEA =∠G，② EF=FG．
（2）如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．
16、（8分）下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程.
已知:如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，0为AC的中点.
求作:四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形.
作法:①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；
②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形.
根据小丁设计的尺规作图过程.
(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明.
证明:∴点O为AC的中点，
∴AO=CO.
又∵DO=BO，
∵四边形ABCD为平行四边形(__________)(填推理的依据).
∵∠ABC=90°，
∴ABCD为矩形(_________)(填推理的依据).
17、（10分）某学校八年级学生举行朗诵比赛，全年级学生都参加，学校对表现优异的学生进行表彰，设置—、二、三等奖和进步奖共四个奖项，赛后将八年级（1）班的获奖情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请报据图中的信息，解答下列问题：

(1)八年级（1）班共有 名学生；
(2)将条形图补充完整；在扇形统计图中，“二等奖”对应的扇形的圆心角度数 ；
(3)如果该八年级共有800名学生，请估计荣获一、二、三等奖的学生共有多少名.
18、（10分）如图，已知正方形，点、分别在边、上，若，判断、的关系并证明．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知方程组的解为，则一次函数y＝﹣x+1和y＝2x﹣2的图象的交点坐标为_____．
20、（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1．作一边的垂直平分线交另一边于点D，则CD的长是______．
21、（4分）已知如图所示，AB＝AD＝5，∠B＝15°，CD⊥AB于C，则CD＝___.
22、（4分）函数y=x+1与y=ax+b的图象如图所示,那么,使y、y的值都大于0的x的取值范围是______.
23、（4分）为了了解本校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐次数，并给制成如图所示的频数分布直方图，请根据图中信息，计算仰卧起坐次数在次的频率是______
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF
⑴求证：四边形AECF是平行四边形；
⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
25、（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，且点的坐标为，点为的中点.
（1）点的坐标是________，点的坐标是________;
（2）直线上有一点，若，试求出点的坐标；
（3）若点为直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与的函数解析式.
26、（12分）小华思考解决如下问题：
原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ．
（1）小华进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E、F分别在边BC、CD上，如图1．此时她证明了AE＝AF，请你证明；
（1）由以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明；
（3）如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，求四边形APCQ的周长的最小值.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
一次项系数-3＜1，则图象经过二、四象限；常数项5＞1，则图象还过第一象限．
【详解】
解：∵-3＜1，∴图象经过二、四象限；
又∵5＞1，∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，图象还过第一象限．
所以一次函数y=-3x+5的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数及常数是大于1或是小于1．可借助草图分析解答．
2、A
【解析】
分析：根据最简二次根式的概念进行判断即可．
详解：A．是最简二次根式；
B．被开方数含分母，故B不是最简二次根式；
C．被开方数含能开得尽方的因数，故C不是最简二次根式；
D．被开方数含有小数，故D不是最简二次根式．
故选A．
点睛：本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3、B
【解析】
根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，1mn即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（m+n）1．
【详解】
（m+n）1=m1+n1+1mn=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（13﹣1）=14．
故选B．
本题考查了勾股定理、正方形的性质、直角三角形的性质、完全平方公式等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
4、C
【解析】
把点A（1，2）代入可得方程2＝，解方程即可.
【详解】
解：∵点A（1，2）在反比例函数的图象上，
∴2＝，
∴k＝2，
则这个反比例函数的解析式是．
故选：C．
本题考查了用待定系数法求函数解析式，正确代入是解题的关键.
5、D
【解析】
根据中心对称图形的概念中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．
【详解】
解：A、平行四边形是中心对称图形，故本选项错误；
B、矩形是中心对称图形，故本选项错误；
C、菱形是中心对称图形，故本选项错误；
D、等边三角形不是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
6、D
【解析】
根据图中信息以及路程、速度、时间之间的关系一一判断即可.
【详解】
甲的速度==70米/分，故A正确，不符合题意；
设乙的速度为x米/分．则有，660+24x-70×24=420，
解得x=60，故B正确，本选项不符合题意，
70×30=2100，故选项C正确，不符合题意，
24×60=1440米，乙距离景点1440米，故D错误，
故选D．
本题考查一次函数的应用，行程问题等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
7、B
【解析】
根据反比例函数的性质可得1-2m>0, 再解不等式即可.
【详解】
解：有题意得：反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，1-2m>0,
解得:m<,
故选:B.
此题主要考查了反比例函数的性质.对于反比例函数y=(k≠0), 当k>0时, 在每一个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小;当k<0时,在每一个象限内,函数值y随自变量x增大而增大.
8、D
【解析】
直接将解集在数轴上表示出来即可，注意实心和空心的区别
【详解】
数轴上读出不等式解集为x≤2，故选D
本题考查通过数轴读出不等式解集，属于简单题
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（1）、；（2）、1.
【解析】
试题分析：（1）根据所给等式确定出一般规律，写出即可；
（2）先将各式分母有理化，此时发现除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，故可求出答案.
解：（1）﹣
（2）原式=[（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]（ +1）
=（ ﹣1）（ +1）
=（ ）2﹣12
=2016﹣1
=1．
点睛：本题主要考查了代数式的探索与规律，二次根式的混合运算，根据所给的等式找到规律是解题的关键.
10、1或
【解析】
分析：直接解分式方程，再利用当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．
详解：去分母得：
x-3a=2a（x-3），
整理得：（1-2a）x=-3a，
当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，
则a=1，
故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．
故答案为1或．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
11、
【解析】
根据分母为零时，分式无意义；分子为零且分母不为零，分式的值为1，据此分别进行求解即可得.
【详解】
当分母x+2=1，
即x=-2时，分式无意义；
当分子x2-9=1且分母x+2≠1，
即x=2时，分式的值为1，
故答案为=-2，=2．
本题考查了分式无意义的条件，分式的值为1的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(2)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12、10cm
【解析】
求出BC，求出BF=DF，DE=AE，代入得出四边形DECF的周长等于BC+AC，代入求出即可．
【详解】
解：∵∠A=∠B，
∴BC=AC=5cm，
∵DF∥AC，
∴∠A=∠BDF，
∵∠A=∠B，
∴∠B=∠BDF，
∴DF=BF，
同理AE=DE，
∴四边形DECF的周长为：CF+DF+DE+CE=CF+BF+AE+CE=BC+AC=5cm+5cm=10cm，
故答案为10cm．
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，关键是求出BF=DF，DE=AE．
13、1
【解析】
把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．
【详解】
解:∵28=4×1，4是平方数，
∴若是整数，则n的最小正整数值为1，
故答案为1．
本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）①见解析，②∠PCE=30°；（2）AG+EG+DG的最小值为1．
【解析】
(1)①先判断出△ABC等边三角形，得出∠ABC=60°，再由旋转知BP=BE，∠PBE=∠ABC=60°，即可得出结论．
②先用勾股定理的逆定理判断出△ACP是直角三角形，得出∠APC=90°，进而判断出∠PBE+∠PCE=90°，即可得出结论；
(2)先判断出△G'DG是等边三角形，得出GG'=DG，即：AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'得出当A'、G'、G、E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，即可得出结论．
【详解】
解：(1)①∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，
∵AC=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC等边三角形，
∴∠ABC=60°，
由旋转知BP=BE，∠CBE=∠ABP
∴∠CBE＋∠PBC=∠ABP＋∠PBC
∴∠PBE=∠ABC=60°，
∴△PBE是等边三角形；
②由①知AB=BC=1
∵由旋转知△ABP≌△CBE，
∴AP=CE=4，∠APB=∠BEC，
∵AP2+PC2=42+32=21=AC2，
∴△ACP是直角三角形，
∴∠APC=90°，
∴∠APB+∠BPC=270°，
∵∠APB=∠CEB，
∴∠CEB+∠BPC=270°，
∴∠PBE+∠PCE=360°－（∠CEB+∠BPC）=90°，
∵∠PBE=∠ABC=60°，
∴∠PCE=90°-60°=30°；
(2)如图，将△ADG绕着点D顺时针旋转60°得到△A'DG'，
由旋转知△ADG≌△A'DG'，
∴A'D=AD=4，G'D=GD，A'G'=AG，
∵∠G'DG=60°，G'D=GD，
∴△G'DG是等边三角形，
∴GG'=DG，
∴AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'
∵当A'、G'、G、E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，
即AG+EG+DG的值最小，
∵∠A'DA=60°，∠ADE=∠ADC=30°，
∴∠A'DE=90°，
∴AG+EG+DG=A'G'+EG+G'G=A'E==1，
∴AG+EG+DG的最小值为1．
此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，旋转的性质，判断出点A'，G'，G，E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，是解本题的关键．
15、（1）①见解析②见解析（1）
【解析】
（1）在△ABE和△ADG中，根据SAS得出△ABE≌△ADG则∠BEA＝∠G.然后在△FAE和△GAF中通过SAS证明得出△FAE≌△GAF，则EF=FG.
（1）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．在△ABM和△ACE中，通过SAS证明得出△ABM≌△ACE, AM=AE, ∠BAM+∠CAN=45°. 在△MAN和△EAN中，通过SAS证明得出△MAN≌△EAN, MN=EN. Rt△ENC中，由勾股定理，得EN1=EC1+NC1得出最终结果.
【详解】
（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，
在△ABE和△ADG中，，
∴△ABE≌△ADG（SAS），∠BEA＝∠G
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
又∠BAD＝90°，
∴∠EAG=90°，∠FAG＝45°
在△FAE和△GAF中，，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF=FG
（1）
解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE⊥BC，
∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN1=EC1+NC1．
∴MN1=BM1+NC1．
∵BM=1，CN=3，
∴MN1=11+31，
∴MN=.
本题主要考查全等三角形的判定定理、勾股定理，做辅助线是本题的难点．
16、 (1)作图如图所示，见解析(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形， 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
【解析】
（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明．
【详解】
（1）如图，矩形ABCD即为所求．
（2）理由：∵点O为AC的中点，
∴AO=CO
又∵DO=BO，
∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵∠ABC=90°，
∴▱ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形.
本题考查作图-复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
17、（1）50；（2）见解析；57.6°；（3）368.
【解析】
（1）根据“不得奖”人数及其百分比可得总人数；
（2）总人数乘以一等奖所占百分比可得其人数，补全图形，根据各项目百分比之和等于1求得二等奖所占百分比，再乘以360°即可得；
（3）用总人数乘以荣获一、二、三等奖的学生占总人数的百分比即可．
【详解】
解：（1）八年级（1）班共有 =50
(2)获一等奖人数为：50×10%=5(人)，
补全图形如下：
∵获“二等奖”人数所长百分比为1−50%−10%−20%−4%=16%，
“二等奖”对应的扇形的圆心角度数是×16%=57.6，
（3）（名）
此题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，解题关键在于看懂图中数据
18、且．证明见解析.
【解析】
先证明，得到及，再证得即可.
【详解】
且．证明如下．
在正方形中，
在和中
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴且
本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（1，0）
【解析】
试题分析：二元一次方程组是两个一次函数变形得到的，所以二元一次方程组的解，就是函数图象的交点坐标
试题解析：∵方程组的解为，
∴一次函数y=-x+1和y=2x-2的图象的交点坐标为（1，0）．
考点：一次函数与二元一次方程（组）．
20、或
【解析】
分两种情况：①当作斜边AB的垂直平分线PQ，与BC交于点D时，连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；②当作直角边的垂直平分线PQ，与斜边AB交于点D时，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线性质求得CD．
【详解】
解：当作斜边AB的垂直平分线PQ，与BC交于点D时，连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（1-x）2，
解得x=，
∴CD=BC-DB=1-=；
当作直角边的垂直平分线PQ或P′Q′，都与斜边AB交于点D时，连接CD，
则D是AB的中点，
∴CD=AB=，
综上可知，CD=或．
故答案为：或．
本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21、
【解析】
根据等边对等角可得∠ADB=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAC=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=AD．
【详解】
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B=15°，
∴∠DAC=∠ADB+∠B=30°，
又∵CD⊥AB，
∴CD=AD=×5=．
故答案为：．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
22、−1【解析】
根据x轴上方的图象的y值大于0进行解答．
【详解】
如图所示,x>−1时,y>0，
当x<2时,y>0，
∴使y、y的值都大于0的x的取值范围是：−1故答案为：−1此题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于x轴上方的图象的y值大于0
23、0.4
【解析】
根据计算仰卧起坐次数在次的频率.
【详解】
由图可知：仰卧起坐次数在次的频率.
故答案为：.
此题考查了频率、频数的关系：.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、⑴证明见解析
⑵5
【解析】
（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形．
（2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长
【详解】
⑴证明：如图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC
∴四边形AECF是平行四边形
⑵解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC
∴∠1=∠2分
∵∠3=90°－∠2，∠4=90°－∠1，
∴∠3=∠4，
∴AE=BE
∴BE=AE=CE=BC=5
25、（1），；（2）或；（3）.
【解析】
（1）将点A（8,0）代入可求得一次函数解析式，再令x=0即可得到B点坐标；因为C是A、B中点，利用中点坐标公式可求出C点坐标；
（2）先求出△AOC的面积，则△NOA的面积为△AOC的面积的一半，设N点的坐标，可根据列出方程求解；
（3）可先求出直线OC的函数解析式，把点P、Q坐标表示出来，分情况讨论即可得出答案.
【详解】
解：（1）将A（8,0）代入得：，解得：b=6；
∴
令x=0，得：y=6，∴点的坐标为
∵C为AB中点，
∴的坐标为
故答案为：点的坐标为，的坐标为；
（2）或
由题可得S△AOC=
∵
∴S△NOA=
设
S△NOA=
解得：n=6或n=10
将n=6代入得；
将n=10代入得；
∴或
（3）依照题意画出图形，如图所示．
解图1 解图2
∵．
设直线的解析式为,
则有，解得：，
∴直线的解析式为．
∵点在直线上，点在直线上，点的横坐标为，轴，
∴，
当时，；
当时，．
故与的函数解析式为.
本题考查待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积的算法以及线段长度的算法，在计算的时注意分类讨论.
26、（1）见解析；（1）见解析；（3）.
【解析】
（1）根据四边形ABCD是菱形，首先证明∠B＝∠D，AB＝AD，再结合题意证明，进而证明△AEB≌△AFD，即可证明AE＝AF.
（1）根据（1）的证明，再证明△AEP≌△AFQ（ASA），进而证明AP＝AQ.
（3）根据题意连接AC，则可证明△ABC为等边三角形，再计算AE的长度，则可计算长APCQ的周长的最小值.
【详解】
（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，
∵∠EAF＝∠B，
∴∠EAF+∠C＝180°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
∵AE⊥BC，
∴AF⊥CD，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF；
（1）证明：如图3，由（1）得，∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE＝AF，
∴∠EAP＝∠FAQ，
在△AEP和△AFQ中，
，
∴△AEP≌△AFQ（ASA），
∴AP＝AQ；
（3）解：如图2，连接AC，
∵∠ABC＝60°，BA＝BC＝2，
∴△ABC为等边三角形，
∵AE⊥BC，
∴BE＝EC＝1，
同理，CF＝FD＝1，
∴AE＝ ＝1 ，
∴四边形APCQ的周长＝AP+PC+CQ+AQ＝1AP+CP+CF+FQ＝1AP+1CF，
∵CF是定值，当AP最小时，四边形APCQ的周长最小，
∴当AP＝AE时，四边形APCQ的周长最小，此时四边形APCQ的周长的最小值＝1×1+2＝2+2．
本题主要考查菱形的性质，关键在于第三问中的最小值的计算，要使周长最小，当AP＝AE时，四边形APCQ的周长最小.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人