江苏省溧水区2024-2025学年九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份江苏省溧水区2024-2025学年九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列各式中，属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图，四边形的对角线与相交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3、（4分）若一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，则一次函数y=-bx+k的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4、（4分）用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（ ）
A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°
5、（4分）下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）2014年4月13日，某中学初三650名学生参加了中考体育测试，为了了解这些学生的体考成绩，现从中抽取了50名学生的体考成绩进行了分析，以下说法正确的是（ ）
A．这50名学生是总体的一个样本
B．每位学生的体考成绩是个体
C．50名学生是样本容量
D．650名学生是总体
7、（4分）如图，已知直角坐标系中的点A、B的坐标分别为A（2，4）、B（4，0），且P为AB的中点．若将线段AB向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（6，2）C．（6，4）D．（3，5）
8、（4分）对于反比例函数，下列说法中不正确的是（ ）
A．图像经过点（1.-2）
B．图像分布在第二第四象限
C．x>0时，y随x增大而增大
D．若点A（）B（）在图像上，若,则
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）现有两根木棒的长度分别是4 米和3 米，若要钉成一个直角三角形木架，则第三根木棒的长度为_________米．
10、（4分）一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是___边形．
11、（4分）已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是______.
12、（4分）已知函数，当= _______ 时，直线过原点；为 _______ 数时，函数随的增大而增大 .
13、（4分）如图，直线经过点，当时，的取值范围为__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C．
(1)求证：AB＝BC；
(2)尺规作图：在AE上找一点D，使得四边形ABCD为菱形(不写作法，保留作图痕迹)
15、（8分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，1），交y轴于点B（1，n），且m，n满足＋（n﹣12）2＝1．
（1）求直线AB的解析式及C点坐标；
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；
（3）如图2，点E（1，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．
16、（8分）明德中学在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费3000元，购买乙种足球共花费2100元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）为响应国家“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
17、（10分）直线与轴轴分别交于点A和点B，M是OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在轴上的点B′处，试求出直线AM的解析式.
18、（10分）如图(1) ，折叠平行四边形，使得分别落在边上的点，为折痕
(1)若，证明:平行四边形是菱形;
(2)若 ，求的大小;
(3)如图(2) ，以为邻边作平行四边形，若，求的大小
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为________．
20、（4分）甲、乙二人在相同情况下，各射靶次，两人命中环数的方差分别是，，则射击成绩较稳定的是_________.（填“甲”或“乙"）
21、（4分）若，则xy的值等于_______.
22、（4分）化简： =_________．
23、（4分）关于x的方程的有两个相等的实数根，则m的值为________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE=DF．
25、（10分）已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，8），已知直线AC与双曲线y＝（m≠0）在第一象限内有一交点Q（5，n）．
（1）求直线AC和双曲线的解析式；
（2）若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与的运动时间t秒的函数关系式，并求当t取何值时S＝1．
26、（12分）我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”.
如图，在四边形中，，四边形就是“对角线垂直四边形”.
（1）下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是_________.
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
（2）如图，在“对角线垂直四边形”中，点、、、分别是边、、、的中点，求证：四边形是矩形.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据分式的定义，可得出答案.
【详解】
A、分母中不含未知数故不是分式，故错误；
B、是分数形式，但分母不含未知数不是分式，故错误；
C、是分式，故正确；
D、分母中不含未知数不是分式，故错误.
故选C
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的概念是正确求解的关键.
2、C
【解析】
利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
【详解】
：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB∥DC，AB=DC可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
C. ，不能判断四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
D. ，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意.
故选C.
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
3、A
【解析】
根据一次函数y=kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，再根据k，b的取值范围确定一次函数y=-bx+k图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．
【详解】
解：一次函数y=kx+b过一、二、四象限，
则函数值y随x的增大而减小，因而k＜1；
图象与y轴的正半轴相交则b＞1，
因而一次函数y=-bx+k的一次项系数-b＜1，
y随x的增大而减小，经过二四象限，
常数项k＜1，则函数与y轴负半轴相交，
因而一定经过二三四象限，
因而函数不经过第一象限．
故选：A．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜1；函数值y随x的增大而增大⇔k＞1；
一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞1，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜1，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=1．
4、B
【解析】
根据反证法的第一步是假设结论不成立矩形解答即可．
【详解】
解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，
第一步应先假设每一个内角都小于，
故选：．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
5、A
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【详解】
解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故A符合题意；
B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不合题意．
故选A．
本题考查了中心对称和轴对称图形的定义．解题的关键是掌握中心对称和轴对称图形的定义．
6、B
【解析】
因为这50名学生的体考成绩是总体的一个样本，所以选项A错误；
因为每位学生的体考成绩是个体，所以选项B正确；
因为50是样本容量，样本容量是个数字，没有单位，所以选项C错误；
因为这650名学生的体考成绩是总体，所以选项D错误.
故选B.
7、B
【解析】
直接利用平移中点的变化规律求解即可.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.
【详解】
根据中点坐标的求法可知点坐标为，因为左右平移点的纵坐标不变，由题意向右平移3个单位，则各点的横坐标加3，所以点的坐标是.
故选：.
本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点.
8、D
【解析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，即函数所在的象限和增减性对各选项作出判断．
【详解】
A.把点（1，-2）代入得：-2=-2，故该选项正确，不符合题意，
B.∵k=-2<0，
∴函数图像分布在第二第四象限，故该选项正确，不符合题意，
C.∵k=-2<0，
∴x>0时，y随x增大而增大，故该选项正确，不符合题意，
D.∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴x<0时，y>0，x>0时，y<0，
∴x1<0y2，故该选项错误，符合题意，
故选D.
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，对于反比例函数，当k>0时，图象在一、三象限，在各象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在各象限内，y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、．
【解析】
题目中没有明确直角边和斜边，故要分情况讨论，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：当第三根木棒为直角边时，长度
当第三根木棒为斜边时，长度
故第三根木棒的长度为米．
故答案为：．
本题考查勾股定理的应用，分类讨论问题是初中数学的重点，在中考中比较常见，不重不漏的进行分类是解题的关键．
10、八
【解析】
设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°×(n-2)，即可得方程180×(n-2)=1080，解此方程即可求得答案．
【详解】
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180×(n-2)=1080，
解得：n=8，
故答案为：八．
此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
11、
【解析】
直接利用一次函数图象，结合式kx+b＞0时，则y的值＞0时对应x的取值范围，进而得出答案．
【详解】
如图所示：
关于x的不等式kx+b＞0的解集是：x＜1．
故答案为：x＜1．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用数形结合是解题关键．
12、 m>0
【解析】
分析：（1）根据正比例函数的性质可得出m的值；
（2）根据一次函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
详解：直线过原点，则 ；即，解得： ；
函数随的增大而增大 ，说明 ，即 ，解得：；
故分别应填：；m>0 .
点睛：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的定义及增减性是解答此题的关键．
13、
【解析】
根据题意结合图象首先可得的图象过点A，因此便可得的解集.
【详解】
解：∵正比例函数也经过点，
∴的解集为，
故答案为：．
本题主要考查函数的不等式的解，关键在于根据图象来判断，这是最简便的解题方法.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)证明见解析；(2)画图见解析.
【解析】
（1）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论；
（2）在射线AE上截取AD=AB，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：(1)∵AE∥BF，
∴∠EAC=∠ACB，
又∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴BA=BC．
(2)主要作法如下：
本题考查了作图-复杂作图，菱形的判定，正确的作出图形是解题的关键．
15、（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，1）；（3）点P的坐标（，）
【解析】
（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；
（2）画出图象，由CD⊥AB知可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；
（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.
【详解】
解：（1）∵＋（n﹣12）2＝1，
∴m＝6，n＝12，
∴A（6，1），B（1，12），
设直线AB解析式为y＝kx＋b，
则有，解得，
∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，
∵直线AB过点C（a，a），
∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点C坐标（4，4）．
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，
设直线CD解析式为y＝x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，
∴直线CD解析式为y＝x＋2，
∴点D坐标（－4，1）．
（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，
图2
∵直线EC解析式为y＝x－2，直线CF解析式为y＝－x＋，
∵×（－）＝－1，
∴直线CE⊥CF，
∵EC＝2，CF＝2，
∴EC＝CF，
∴△FCE是等腰直角三角形，
∴∠FEC＝45°，
∵直线FE解析式为y＝－5x－2，
由解得，
∴点P的坐标为（）.
本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F（－2，8）是解题的突破口.
16、（1）购买一个甲种足球需要50元，购进一个乙种足球需要70元；（2）这所学校最多可购买25个乙种足球．
【解析】
（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购进一个乙种足球需要元，根据数量=总价÷单价结合3000元购买的甲种足球数量是2100元购买的乙种足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设这所学校可购买m个乙种足球，则购买个甲种足球，根据总价=单价×数量结合总费用不超过2950元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购进一个乙种足球需要元
依题意得：
解得：
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意
此时，
答：购买一个甲种足球需要50元，购进一个乙种足球需要70元；
（2）设这所学校可购买m个乙种足球，则购买个甲种足球，
依题意得：
解得：
答：这所学校最多可购买25个乙种足球．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
17、y=-0.5x+1
【解析】
先确定点A、点B的坐标，再由AB=AB'，可得AB'的长度，求出OB'的长度，即可得出点B'的坐标；设OM=m，则B'M=BM=8-m，在Rt△OMB'中利用勾股定理求出m的值，得出M的坐标后，利用待定系数法可求出AM所对应的函数解析式．
【详解】
解：y=-x+8，
令x=0，则y=8，
令y=0，则x=6，
∴A（6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8 AB=10，
∵A B'=AB=10，
∴O B'=10-6=4，
∴B'的坐标为：（-4，0）．
设OM=m，则B'M=BM=8-m，
在Rt△OMB'中，m2+42=（8-m）2，
解得：m=1，
∴M的坐标为：（0，1），
设直线AM的解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
故直线AM的解析式为：y=-0.5x+1．
本题考查了一次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、勾股定理及翻折变换的性质，解答本题的关键是数形结合思想的应用，难度一般．
18、（1）详见解析；（2）30°；（3）45°.
【解析】
（1）利用面积法解决问题即可．
（2）分别求出∠BAD，∠BAB′，∠DAD′即可解决问题．
（3）如图2中，延长AE到H，使得EH＝EA，连接CH，HG，EF，AC．想办法证明E，H，G，C四点共圆，可得∠EGC＝∠EHC＝45°．
【详解】
（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF，
∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图1中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠BAD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝∠D＝70°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD．
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF＝20°，
由翻折变换的性质可知：∠BAB′＝2∠BAE＝40°，∠DAD′＝2∠DAF＝40°，
∴∠B′AD′＝110°﹣80°＝30°．
（3）解：如图2中，延长AE到H，使得EH＝EA，连接CH，HG，EF，AC．

∵EA＝EC，∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∵∠AEC+∠AFC＝180°，
∴A，B，C，F四点共圆，
∴∠AFE＝∠ACE＝45°，
∵四边形AEGF是平行四边形，
∴AF∥EG，AE＝FG，
∴∠AFE＝∠FEG＝45°，
∴EH＝AE＝FG，EH∥FG，
∴四边形EHGF是平行四边形，
∴EF∥HG，
∴∠FEG＝∠EGH＝45°
∵EC＝AE＝EH，∠CEH＝90°，
∴∠ECH＝∠EHC＝45°，
∴∠ECH＝∠EGH，
∴E，H，G，C四点共圆，∠EGC＝∠EHC＝45°．
本题属于几何变换综合题，考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，翻折变换，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用四点共圆解决问题，属于中考压轴题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.2
【解析】
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°.
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP.
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP.
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴AM的最小值是1.2.
20、乙
【解析】
根据方差的意义解答即可.
【详解】
方差反映了数据的离散程度，方差越小，成绩越稳定，故射击成绩比较稳定的是乙.
故答案为：乙.
本题主要考查了方差的意义，清楚方差反映了数据的离散程度，方差越小，数据越稳定是解题的关键.
21、1
【解析】
直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出x，y的值进而得出答案．
【详解】
解：∵，
∴x-1=0， y-1=0，
解得：x=1，y=1，
则xy=1．
此题主要考查了完全平方公式，偶次方的性质以及二次根式的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
22、
【解析】
根据根式的性质即可化简.
【详解】
解： =
本题考查了根式的化简,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键.
23、9
【解析】
因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以△=b2-4ac=0，根据判别式列出方程求解即可．
【详解】
∵关于x的方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=0，
即（-6）2-4×1×m=0，
解得m=9
故答案为：9
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，又由点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，可得DE=BF，继而证得四边形BFDE是平行四边形，即可证得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，
∴DE=AD，BF=BC，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．
本题主要考查平行四边形的判定与性质定理，掌握对边平行且相等的四边形是平行四边形，是解题的关键.
25、（1）直线AC的解析式为：，双曲线为：；（2），当t＝2.5秒或t＝7秒时，S＝1．
【解析】
（1）设直线的解析式为．将、两点代入其中，即利用待定系数法求一次函数解析式；然后利用一次函数图象上点的坐标特征，将点代入函数关系式求得值；最后将点代入双曲线的解析式，求得值，即可求得双曲线的解析式；
（2）分类讨论：当时，；当时，．
【详解】
解：(1)设直线的解析式为，过、，
，
解得：，
直线的解析式为，
又在直线上，
，
又双曲线过，
，
双曲线的解析式为：；
（2）当时，，
过作，垂足为，如图1，
，，
，
当时，
解得，
当时，，
过作，垂足为，如图2
，，
，
当时，，
解得，
综上，，
当秒时，的面积不存在，
当秒或秒时，．
此题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，分类讨论是本题的关键．
26、（1） ③④；（2）详见解析
【解析】
（1）根据“对角线垂直四边形"的定义求解；
（2）根据三角形中位线的性质得到HG//EF，HE//GF，则可判断四边形EFGH是平行四边形，再证明∠EHG=90°，然后判断四边形EFGH是矩形；
【详解】
(1) 菱形和正方形是“对角线垂直四边形，故③④满足题意.
(2)证明：∵点分别是边、、、的中点，
∴，且；，且；.
∴.
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴，
又∵，
∴.
∴.
∴是矩形.
本题考查了中点四边形：任意四边形各边中点的连线所组成的四边形为平行四边形，也考查了三角形中位线性质、菱形、正方形的性质.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人