四川省四川大学附属中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份四川省四川大学附属中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共30页。
A．对角相等B．对角线相等
C．对边相等D．对角线互相平分
2．（4分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1B．C．x2﹣2y+4＝0D．x2﹣2x+1＝0
3．（4分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，则d＝（ ）
A．8cmB．0.5cmC．2cmD．3cm
4．（4分）已知线段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（ ）
A．24B．28C．32D．36
6．（4分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC．D．
7．（4分）某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（ ）
A．500（1+2x）＝720B．500（1+x）2＝720
C．500（1+x2）＝720D．720（1﹣x）2＝500
8．（4分）若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（ ）
A．b＞4B．b＞﹣4C．b≥4D．b≥﹣4
二.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）一元二次方程x2+3x（x﹣1）＝5的一般形式是 ．
10．（4分）如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60cm，小孔O到像CD的距离是30cm，若物体AB的长为16cm，则像CD的长是 cm．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为 ．
12．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2﹣2x1x2为 ．
13．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为 cm．
三.解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）解方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
15．（8分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
16．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，已知∠ADB＝2∠ABD．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度数．
17．（10分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围：
（2）如果x1，x2满足不等式，且m为整数，求m的值．
（3）求x1+x2﹣3x1x2的最小值．
18．（10分）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF．求的值．
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长．
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的一点且DE＝DC∠D＝60°，△ADE沿AE翻折得到△AFE，AF与CD交于H且FH＝，直线EF交直线BC于点P，求PE的长．
一.填空题（共20分）
19．（4分）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+5α+2β＝ ．
20．（4分）已知a，b，c是非零实数，且满足K＝＝＝，则K＝ ．
21．（4分）实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B，若AM2＝BM•AB，BN2＝AN•AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当m﹣n＝6时，b﹣a＝ ．
22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝ ．
23．（4分）对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LtharCllatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长m＝5．若输入数n，变换次数m，当m＝8时，n的所有可能值有 个，其中最小值为 ．
二.解答题（共30分）
24．（8分）“顺峰”在2021年“十一”长假期间，接待游客达2万人次，预计在2023年“十一”长假期间，接待游客2.88万人次，在顺峰，一家特色小面店希望在“十一”长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
25．（10分）已知正方形ABCD和一动点E，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF．
（1）如图1，当点E在正方形ABCD内部时：
①依题意补全图1；
②求证：BE＝DF；
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，连接AF，取AF中点M，连接AE，DM，用等式表示线段AE与DM的数量关系，并证明．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：若图形W在一个矩形V的内部（包含边界），当矩形V有一条边平行于坐标轴且面积最小时，则称矩形V是图形W的“精致矩形”，如图1，矩形MNPQ即是四边形ABCD的“精致矩形”．
（1）如图2，已知点M（1，3），N（3，），则△OMN的“精致矩形”面积为 ；
（2）在（1）的条件下，直线MN与x轴，y轴分别交于A，B两点，在直线MN上存在一点P，当△OAP的“精致矩形”为正方形时，求点P的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，将△AOB绕点A按顺时针方向旋转α°（0＜α°＜360°）得△ADC，连接OD，OC，BD，在旋转过程中，当△ABD为直角三角形时，求点C的坐标，并直接写出△OCD的“精致矩形”面积．
2024-2025学年四川大学附属中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对角线相等
C．对边相等D．对角线互相平分
【分析】利用矩形与菱形的性质即可解答本题．
【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
2．（4分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1B．C．x2﹣2y+4＝0D．x2﹣2x+1＝0
【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，选项A不符合题意；
B．方程x2+3＝是分式方程，选项B不符合题意；
C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，选项C不符合题意；
D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
3．（4分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，则d＝（ ）
A．8cmB．0.5cmC．2cmD．3cm
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴ad＝cb，
∵a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，
∴d＝8（cm），
故选：A．
【点评】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．
4．（4分）已知线段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用已知条件进而表示出a，b，c，进而代入求出答案．
【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，
∴设a＝x，则b＝2x，c＝3x，
∴．
故选：C．
【点评】此题主要考查了比例线段，比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
5．（4分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（ ）
A．24B．28C．32D．36
【分析】根据DE∥AC、DF∥AB即可得出四边形AEDF为平行四边形，再根据AD平分∠BAC即可得出∠FAD＝∠FDA，即FA＝FD，从而得出平行四边形AEDF为菱形，根据菱形的性质结合AF＝6即可求出四边形AEDF的周长．
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，
∴FA＝FD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
∵AF＝6，
∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，解题的关键是证出四边形AEDF是菱形．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟记菱形的判定与性质是关键．
6．（4分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC．D．
【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
C、添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角∠BAC＝∠DAE是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法．
7．（4分）某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（ ）
A．500（1+2x）＝720B．500（1+x）2＝720
C．500（1+x2）＝720D．720（1﹣x）2＝500
【分析】根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：500（1+x）2＝720．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（4分）若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（ ）
A．b＞4B．b＞﹣4C．b≥4D．b≥﹣4
【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b，
∴（x﹣a）2＝b+4，
∵方程（x﹣a）2＝b+4有实数根，
∴b+4≥0，
∴b≥﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键．
二.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）一元二次方程x2+3x（x﹣1）＝5的一般形式是 4x2﹣3x﹣5＝0 ．
【分析】先去括号，移项，再合并同类项即可．
【解答】解：x2+3x（x﹣1）＝5，
x2+3x2﹣3x﹣5＝0，
4x2﹣3x﹣5＝0．
故答案为：4x2﹣3x﹣5＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式（ax2+bx+c＝0，其中a、b、c为常数，a≠0）是解此题的关键．
10．（4分）如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60cm，小孔O到像CD的距离是30cm，若物体AB的长为16cm，则像CD的长是 8 cm．
【分析】如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．由△AOB∽△DOC，推出（相似三角形的对应高的比等于相似比），由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．
∵AB∥CD，
∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，
∴（相似三角形的对应高的比等于相似比），
∴CD＝AB＝8cm，
故答案为：8．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比，属于中考常考题型．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为 ．
【分析】连接AP，证明四边形ANPM为矩形，得到MN＝AP，根据垂线段最短，得到AP⊥BC时，AP最小，即MN最小，等积法求出AP的长即可．
【解答】解：连接AP，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴，
∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，∠BAC＝90°，
∴四边形ANPM为矩形，
∴MN＝AP，
∴当AP最小时，MN最小，
∴当AP⊥BC时，AP最小，即MN最小，
此时，即：6×8＝10AP，
∴；
∴MN的最小值为；
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟记矩形的判定和性质是解题的关键．
12．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2﹣2x1x2为 8 ．
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，代入代数式即可求解．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，
∴x1+x2﹣2x1x2＝2﹣2×（﹣3）＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
13．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为 5 cm．
【分析】四边形OACB的四条边都相等，则这个四边形是菱形．AB和OC是菱形OACB的两条对角线，则根据菱形的面积＝AB×OC求解即可．
【解答】解：根据作图方法，可得AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形．
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，
∴AB×OC＝×2×OC＝5，
解得OC＝5（cm）．
故答案为：5．
【点评】本题侧重考查尺规作图，掌握四边相等的四边形是菱形、对角线相互垂直的四边形的面积是其两条对角线乘积的一半是解决此题的关键．
三.解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）解方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，
x2+2x＝4，
x2+2x+1＝4+1，
（x+1）2＝5，
x+1＝±，
x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1；
（2）3x（2x+1）＝4x+2，
3x（2x+1）＝2（2x+1），
3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，
（3x﹣2）（2x+1）＝0，
3x﹣2＝0或2x+1＝0，
x1＝，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
15．（8分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
【分析】设小路的宽应为x m，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x）m，（9﹣x）m；那么根据题意得出方程，解方程即可．
【解答】解：设小路的宽应为x m，
根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
解得：x1＝1，x2＝16．
∵16＞9，
∴x＝16不符合题意，舍去，
∴x＝1．
答：小路的宽应为1m．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
16．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，已知∠ADB＝2∠ABD．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度数．
【分析】（1）由∠ABC＝2∠ABD，∠ADB＝2∠ABD，得∠ADB＝∠ABC，而∠A＝∠A，则△ABD∽△ACB；
（2）由相似三角形的性质得∠ABD＝C，因为∠ABD＝∠DBC，所以∠C＝∠DBC，求得DB＝DC＝2，AD＝1，所以AC＝3，则AB2＝AD•AC＝3，AD2＝1，DB2＝4，所以AB2+AD2＝DB2，则∠A＝90°．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∵∠ADB＝2∠ABD，
∴∠ADB＝∠ABC＝2∠ABD，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB；
（2）解：∵△ABD∽△ACB，
∴∠ABD＝∠C，，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠C＝∠DBC，
∵DC＝2AD＝2，
∴AD＝1，DB＝DC＝2，
∴AC＝AD+DC＝3，
∵，
∴AB2＝AD•AC＝3，
∵AD2＝1，DB2＝4，
∴AB2+AD2＝DB2＝4，
∴△ABD是直角三角形，∠A＝90°，
故∠A的度数是90°．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
17．（10分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围：
（2）如果x1，x2满足不等式，且m为整数，求m的值．
（3）求x1+x2﹣3x1x2的最小值．
【分析】（1）由题意可得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解即可；
（2）由根于系数的关系可得x1+x2＝1，，代入解不等式求整数解即可；
（3）设y＝x1+x2﹣3x1x2，把x1+x2＝1，代入得到，根据一次函数的增减性解题即可．
【解答】解：（1）由题意知Δ≥0，即4﹣8（m+1）≥0，
解得：；
（2）由题意知x1+x2＝1，，
又∵，
∴4+3（m+1）＞1，
解得：m＞﹣2，
又∵，
∴，
又∵m为整数，
∴m＝﹣1；
（3）设y＝x1+x2﹣3x1x2，
则，
∵，y随m的增大而减小，
∴当时，y最小，最小值为．
【点评】本题考查一元二次方程的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式和根与系数的关系．
18．（10分）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF．求的值．
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长．
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的一点且DE＝DC∠D＝60°，△ADE沿AE翻折得到△AFE，AF与CD交于H且FH＝，直线EF交直线BC于点P，求PE的长．
【分析】（1）证明△AED≌△DFC，根据全等三角形的性质得到DE＝CF，得到答案；
（2）由平行线的性质和折叠的性质可证BG＝EG，由勾股定理可求CH的长，通过证明△BFG∽△BCH，可得，即可求解；
（3）通过证明△EFH∽△ECP，可求CP的长，由勾股定理可求PN，CN的长，可得EN的长，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）设DE与CF交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
即＝1；
（2）∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，
∴AB＝BF＝6，AE＝EF，∠AEB＝∠BEF，∠A＝∠BFE＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠BEG，
∴BG＝EG，
∵BC2+CH2＝BH2，CH＝CF，
∴64+CH2＝（6+CH）2，
∴CH＝，
∴BH＝，
∵∠CBH＝∠CBH，∠BFG＝∠C＝90°，
∴△BFG∽△BCH，
∴，
∴＝＝，
∴FG＝，BG＝＝EG，
∴EF＝，
∴AE＝EF＝；
（3）如图，过点P作PN⊥DC于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝6＝AD，AD∥BC，
∴∠D＝∠DCP＝60°，
∵DE＝DC，
∴DE＝2，EC＝4，
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴DE＝EF＝2，∠D＝∠AFE＝60°，
∴∠AFE＝∠DCP＝60°，
又∵∠FEH＝∠PEC，
∴△EFH∽△ECP，
∴＝，
∴＝，
∴PC＝，
∵PN⊥CD，∠DCP＝60°，
∴∠CPN＝30°，
∴CN＝，PN＝，
∴EN＝，
∴PE＝＝＝．
【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
一.填空题（共20分）
19．（4分）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+5α+2β＝ 1 ．
【分析】由α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，得出α+β＝﹣3，α2+3α＝7，再把α2+5α+2β变形为α2+3α+2（α+β），即可求出答案．
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣7＝0，
∴α2+3α＝7，
∴α2+5α+2β＝α2+3α+2（α+β）＝7+2×（﹣3）＝1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
20．（4分）已知a，b，c是非零实数，且满足K＝＝＝，则K＝ ﹣2或1 ．
【分析】讨论：当a+b+c＝0时把a+b＝﹣c代入计算可得K＝﹣2；当a+b+c≠0，利用等比性质求K的值．
【解答】解：当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，K＝＝﹣2；
当a+b+c≠0，K＝＝1，
即K的值为﹣2或1．
故答案为﹣2或1．
【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．
21．（4分）实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B，若AM2＝BM•AB，BN2＝AN•AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当m﹣n＝6时，b﹣a＝ 12+6 ．
【分析】先根据黄金分割定义，得AM＝BN，AN＝BM，设AN＝BM＝x，根据AM2＝BM•AB，列出一元二次方程，解得AN的长，从而求出AB的长，即b﹣a的值．
【解答】解：∵AM2＝BM•AB，BN2＝AN•AB，
∴AM＝BN，AN＝BM，
设AN＝BM＝x，则AM＝BN＝x+6，
根据AM2＝BM•AB得，
（x+6）2＝x（2x+6），
解得x1＝3+3，x2＝3﹣3（舍去），
∴AB＝b﹣a＝2×（3+3）+6＝12+6．
故答案为：12+6．
【点评】本题考查了黄金分割的定义和一元一次方程的应用，解题的关键是能正确表示数轴上两点的距离．
22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝ ．
【分析】连接CE，过E作EF⊥BC于F，设BD＝x，则BC＝x+2，由∠ACB＝90°，E为AD中点，可得CE＝AE＝DE＝AD，有∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，证明△ECD∽△BCE，可得＝，∠CED＝∠CBE，故CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4，再证△ABC∽△BEF，得＝，而AC＝2EF，即得2EF2＝（x+1）（x+2），从而＝（2x+4）﹣12，即可解得答案．
【解答】解：连接CE，过E作EF⊥BC于F，如图：
设BD＝x，则BC＝BD+CD＝x+2，
∵∠ACB＝90°，E为AD中点，
∴CE＝AE＝DE＝AD，
∴∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，
∴∠CED＝2∠CAD，
∵BE＝BC，
∴∠ECD＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠EDC，
∵∠ECD＝∠BCE，
∴△ECD∽△BCE，
∴＝，∠CED＝∠CBE，
∴CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD，
∴∠CAB＝∠CED，
∴∠CAB＝∠CBE，
∵∠ACB＝90°＝∠BFE，
∴△ABC∽△BEF，
∴＝，
∵CE＝DE，EF⊥BC，
∴CF＝DF＝CD＝1，
∵E为AD中点，
∴AC＝2EF，
∴＝，
∴2EF2＝（x+1）（x+2），
∵EF2＝CE2﹣CF2，
∴＝（2x+4）﹣12，
解得x＝或x＝（小于0，舍去），
∴BD＝．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．
23．（4分）对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LtharCllatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长m＝5．若输入数n，变换次数m，当m＝8时，n的所有可能值有 4 个，其中最小值为 6 ．
【分析】采取倒推的方法，将可能的运算路线都找到即可．
【解答】解：由输出结果是1，倒推得到1→2→4→8→16→5→10→20→40，
1→2→4→8→16→5→10→3→6，
1→2→4→8→16→32→64→128→256，
1→2→4→8→16→32→64→21→42，
∴则x的可能值有4个，最小值为6，
故答案为：4，6．
【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的运算，倒推出运算过程是解题的关键．
二.解答题（共30分）
24．（8分）“顺峰”在2021年“十一”长假期间，接待游客达2万人次，预计在2023年“十一”长假期间，接待游客2.88万人次，在顺峰，一家特色小面店希望在“十一”长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
【分析】（1）设2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为x，利用2023年“十一”长假期间游客人次＝2021年“十一”长假期间游客人次×（1+2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每碗售价定为y元，则平均每天可销售（240﹣8y）碗，利用净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为20%．
（2）设每碗售价定为y元，则平均每天可销售120﹣8（y﹣15）＝（240﹣8y）碗，
依题意得：（240﹣8y）y﹣10（240﹣8y）﹣168＝600，
整理得：y2﹣40y+396＝0，
解得：y1＝18，y2＝22（不符合题意，舍去）．
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天净利润600元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（10分）已知正方形ABCD和一动点E，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF．
（1）如图1，当点E在正方形ABCD内部时：
①依题意补全图1；
②求证：BE＝DF；
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，连接AF，取AF中点M，连接AE，DM，用等式表示线段AE与DM的数量关系，并证明．
【分析】（1）①按题中要求补全图形即可；
②由旋转得CE＝CF，∠ECF＝90°，由正方形的性质得CB＝CD，∠BCD＝90°，则∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BCE≌△DCF，则BE＝DF；
（2）先证明△BCE≌△DCF，得BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，再延长DM到点G，使GM＝DM，连接AG，可证明△AGM≌△FDM，得AG＝DF，∠G＝∠MDF，所以BE＝AG，AG∥DF，可推导出∠DAG＝180°﹣∠ADF＝180°﹣（360°﹣90°﹣∠CDF）＝∠CDF﹣90°，而∠ABE＝∠CBE﹣90°，所以∠ABE＝∠DAG，即可证明△ABE≌△DAG，则AE＝DG＝2DM．
【解答】解：（1）①如图1，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF.
②证明：由旋转得CE＝CF，∠ECF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴BE＝DF．
（2）AE＝2DM，
证明：如图2，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF，取AF中点M，连接AE，DM，
由旋转得CE＝CF，∠ECF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD＝AB＝DA，∠BCD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，
∴∠CBE﹣90°＝∠CDF﹣90°，
延长DM到点G，使GM＝DM，连接AG，
∵M是AF的中点，
∴AM＝FM，
在△AGM和△FDM中，
，
∴△AGM≌△FDM（SAS），
∴AG＝DF，∠G＝∠MDF，
∴BE＝AG，AG∥DF，
∴∠DAG＝180°﹣∠ADF＝180°﹣（360°﹣90°﹣∠CDF）＝∠CDF﹣90°，
∵∠ABE＝∠CBE﹣90°，
∴∠ABE＝∠DAG，
在△ABE和△DAG中，
，
∴△ABE≌△DAG（SAS），
∴AE＝DG＝2DM．
【点评】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且适当选择全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：若图形W在一个矩形V的内部（包含边界），当矩形V有一条边平行于坐标轴且面积最小时，则称矩形V是图形W的“精致矩形”，如图1，矩形MNPQ即是四边形ABCD的“精致矩形”．
（1）如图2，已知点M（1，3），N（3，），则△OMN的“精致矩形”面积为 9 ；
（2）在（1）的条件下，直线MN与x轴，y轴分别交于A，B两点，在直线MN上存在一点P，当△OAP的“精致矩形”为正方形时，求点P的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，将△AOB绕点A按顺时针方向旋转α°（0＜α°＜360°）得△ADC，连接OD，OC，BD，在旋转过程中，当△ABD为直角三角形时，求点C的坐标，并直接写出△OCD的“精致矩形”面积．
【分析】（1）分别过点M，N作y轴和x轴的垂线，垂足分别为C，E，CM，EN交于点D，则四边形CDEO是△OMN的“精致矩形”，进而得出，即可得出△OMN的“精致矩形”面积；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，根据新定义得出P的纵坐标为4，代入解析式，即可求解；
（3）先得出∠BAO＝60°，∠ABO＝30°，根据旋转的性质分∠ADB＝90°，∠BAD＝90°两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，分别过点M，N作y轴和x轴的垂线，垂足分别为C，E，CM，EN交于点D，则四边形CDEO是△OMN的“精致矩形”，
∵，，
∴，
∴，OE＝CD＝3，
∴△OMN的“精致矩形”面积为，
故答案为：．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将，代入得，
解得，
∴，
∵，
当x＝0时，，
当y＝0时，x＝4，
∴A（4，0），，
∵△OAP的“精致矩形”为正方形，
∴yP＝4，
∴，
解得，
∴．
（3）∵，
当x＝0时，，
当y＝0时，x＝4，
∴A（4，0），，
∴，
如图所示，取AB的中点S，连接OS，
∴AS＝OS＝4，
∴OA＝AS＝OS＝4，
∴△AOS是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，∠ABO＝30°，
①如图所示，当∠ADB＝90°时，则B，D，C共线，
∵∠ACD＝∠ABO＝30°，
∴∠OBC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABD＝∠OBC﹣∠ABO＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°，
又∵∠OAB＝∠DAC＝60°，
∴∠OAB+∠BAD+∠DAC＝180°，
∴点C在x轴上，
∴OC＝OA+AC＝OA+AB＝4+8＝12，
∴C（12，0），
如图，过点D作DF⊥x轴于点F，连接OD，
∴∠ADF＝30°，
∴，
∴OF＝OA+AF＝4+2＝6，，
∴，
∴△OCD的“精致矩形”面积为，
②如图所示，当∠BAD＝90°时，且点D在AB右侧，过点C作CG⊥x轴于点G，过D作DP⊥x轴于点P，
∵∠OAB＝60°，∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAC＝30°，DP＝＝2，
∴CG＝＝4，
∴AG＝，
∴OG＝4+4，
∴C（4+4，﹣4），
此时△OCD的“精致矩形”面积为（DP+CG）×OG＝24+24；
③如图所示，当∠BAD＝90°时，且点D在AB左侧，过点C作CE⊥x轴于点E，
∴DC∥AB，
∵∠ACD＝30°，
∴∠BAC＝∠DCA＝30°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠CAO＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点D作DG⊥x轴于点G，
∴∠DAG＝∠DAC﹣∠OAC＝30°，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴△OCD的“精致矩形”面积为，
综上所述，C（12，0），△OCD的“精致矩形”面积为或C（4+4，﹣4），△OCD的“精致矩形”面积为（DP+CG）×OG＝24+24或，△OCD的“精致矩形”面积为．
【点评】本题考查了四边形的综合应用，主要考查新定义，一次函数与坐标轴交点问题，矩形的性质，坐标与图形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，正方形的性质，一次函数交点问题，分类讨论，理解新定义，是解题的关键．