湖南长沙长郡中学2025届数学九年级第一学期开学考试模拟试题【含答案】

这是一份湖南长沙长郡中学2025届数学九年级第一学期开学考试模拟试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）计算的结果是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±4
2、（4分）已知点在函数的图象上，则
A．5B．10C．D．
3、（4分）下列命题：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②两点之间，线段最短；
③相等的角是对顶角；
④直角三角形的两个锐角互余；
⑤同角或等角的补角相等．
其中真命题的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4、（4分）某校将举办一场“中国汉字听写大赛”，要求每班推选一名同学参加比赛，为此，八年级（1)班组织了五轮班级选拔赛，下表记录了该班甲、乙、丙、丁四名同学五轮选拔赛成绩的平均数与方差S2：根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5、（4分）如图，在平行四边形中，下列结论不一定成立的是( )
A．B．
C．D．
6、（4分）如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．3
7、（4分）如图所示，在矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，则的长为( )
A．B．C．D．
8、（4分）如图，正比例函数y=x与反比例y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在，，，，中任意取一个数，取到无理数的概率是___________.
10、（4分）如图，点B在线段AC上，且BC＝2AB，点D，E分别是AB，BC的中点，分别以AB，DE，BC为边，在线段AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形(阴影部分)．其面积分别记作S1，S2，S3，若S1+S3＝15，则S2＝_____．
11、（4分）直线沿轴平移3个单位，则平移后直线与轴的交点坐标为 .
12、（4分）正比例函数y＝mx经过点P（m，9），y随x的增大而减小，则m＝__．
13、（4分）如果多边形的每个外角都是40°，那么这个多边形的边数是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P在函数的图象上，过P作直线轴于点A，交直线于点M，过M作直线轴于点B.交函数的图象于点Q。
（1）若点P的横坐标为1，写出点P的纵坐标，以及点M的坐标；
（2）若点P的横坐标为t，
①求点Q的坐标（用含t的式子表示）
②直接写出线段PQ的长（用含t的式子表示）
15、（8分）如图，点B、C分别在直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上的两点，且四边形ABCD是正方形．
（1）若正方形ABCD的边长为2，则点B、C的坐标分别为 ．
（2）若正方形ABCD的边长为a，求k的值．
16、（8分）计算
（1）．
（2）．
17、（10分）如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，且DE＝AB，连接AE、BD，证明AE＝BD．
18、（10分）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长，与BA的延长线交于点F，证明：EF＝EC．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）计算：（－0.75）2015 × = _____________.
20、（4分）一次函数y＝kx+b与y＝2x+1平行，且经过点（﹣3，4），则表达式为：_____．
21、（4分）确定一个的值为________，使一元二次方程无实数根.
22、（4分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.
23、（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B'C′关于点P位似且顶点都在格点上，则位似中心P的坐标是______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）解不等式组：（1）； （2）.
25、（10分）（知识背景）
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．
（应用举例）
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且
勾为3时，股，弦；
勾为5时，股，弦；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝
（2）如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ．
（解决问题）
观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：
（3）如果是符合同样规律的一组勾股数，（表示大于1的整数），则 ， ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．
（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、1．
26、（12分）如图是某港口在某天从0时到12时的水位情况变化曲线．
（1）在这一问题中，自变量是什么？
（2）大约在什么时间水位最深，最深是多少？
（3）大约在什么时间段水位是随着时间推移不断上涨的？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
直接利用二次根式的性质化简即可求出答案．
【详解】
＝2
故选：A．
此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
2、B
【解析】
根据已知点在函数的图象上,将点代入可得:.
【详解】
因为点在函数的图象上,
所以,
故选B.
本题主要考查一次函数图象上点的特征,解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象上点的特征.
3、B
【解析】
解：命题①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误，为假命题；
命题②两点之间，线段最短，正确，为真命题；
命题③相等的角是对顶角，错误，为假命题；
命题④直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；
命题⑤同角或等角的补角相等，正确，为真命题，
故答案选B．
考点：命题与定理．
4、A
【解析】
根据方差越小，数据离散程度越小，成绩越稳定，所以甲，乙的成绩的稳定性一样，但甲的平均数比乙高，而丙的稳定性不够，从而可得答案．
【详解】
解：从平均数看，成绩最好的是甲同学，丙同学， 从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定， 所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应该选择甲，
故选：A．
本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
5、D
【解析】
根据平行四边形的性质得到AD//BC、、从而进行判断.
【详解】
因为四边形是平行四边形，
所以AD//BC、、，（故B、C选项正确，不符合题意）
所以，（故A选项正确，不符合题意）.
故选：D.
考查了平行四边形的性质，解题关键是熟记平行四边形的性质.
6、B
【解析】
【分析】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG；再由正方形ABCD的边长为3，BE=1，可得EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG；最后由勾股定理可以求得答案.
【详解】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，
∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，
在直角三角形ECF中，
∵EF2=EC2+CF2，
∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，
解得GF=，
∴EF=1+=．
故正确选项为B.
【点睛】此题考核知识点是：正方形性质；轴对称性质；勾股定理.解题的关键在于：从图形折叠过程找出对应线段，利用勾股定理列出方程.
7、D
【解析】
由题得BD= =5，根据折叠的性质得出△ADG≌△A′DG，继而得A′G=AG，A′D=AD，A′B=BD-A′G，再Rt△A′BG根据勾股定理构建等式求解即可.
【详解】
解：由题得BD= =5，
根据折叠的性质得出：△ADG≌△A′DG，
∴A′G=AG，A′D=AD=3，
A′B=BD-A′G=5-3=2，BG=4-A′G
在Rt△A′BG中，BG2=A′G2+A′B2可得：，
解得A′G=，则AG=，
故选：D．
本题主要考查折叠的性质，由已知能够注意到△ADG≌△A′DG是解决的关键．
8、C
【解析】
首先根据反比例函数图像上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴做垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S= ，得出，再根据反比例函数的对称性可知：OB=OD，得出得出结果.
【详解】
解：根据反比例函数得对称性可知：
OB=OD,AB=CD,
∵ 四边形ABCD的面积等于，
又

∴S四边形ABCD＝2.
故答案选：C．
本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是熟知反比例函数中的几何意义，即图像上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
直接利用无理数的定义得出无理数的个数，再利用概率公式求出答案．
【详解】
解：∵在，，，，中无理数只有这1个数，
∴任取一个数，取到无理数的概率是，
故答案为：．
此题主要考查了概率公式以及无理数，正确把握无理数的定义是解题关键．
10、2
【解析】
设，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出，，，根据题意计算即可．
【详解】
解：设DB＝x，
则S1＝x1，S1＝＝1x1，S3＝ 1x×1x＝4x1．
由题意得，S1+S3＝15，即x1+4x1＝15，
解得x1＝3，
所以S1＝1x1＝2，
故答案为：2．
本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是是解题的关键．
11、（0，2）或（0，）
【解析】
试题分析：∵直线沿轴平移3个单位，包括向上和向下，
∵平移后的解析式为或．
∵与轴的交点坐标为（0，2）；与轴的交点坐标为（0，）．
12、－1
【解析】
直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
【详解】
解：把x=m，y=9代入y=mx中，
可得：m=±1，
因为y的值随x值的增大而减小，
所以m=-1，
故答案为-1．
本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y=kx（k≠0）的图象为直线，当k＞0时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y值随x的增大而减小．
13、1
【解析】
根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【详解】
解：多边形的边数是： ＝1，
故答案为：1．
此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握运算公式
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）点P的纵坐标为4，点M的坐标为；（2）①；②
【解析】
（1）直接将点P的横坐标代入中，得到点P的纵坐标，由点M在PA上，PA⊥x轴，即可得到M的坐标；
（2）①由点P的横坐标为t，得到M的横坐标为t，因为M在y=x上，得到M的坐标为（t，t），从而得到Q的纵坐标，代入反比例函数解析式即可的到点Q的坐标；
②连接PQ，很快就发现PQ是直角三角形PMQ的斜边，直接利用勾股定理即可得到答案.
【详解】
解： (1)∵点P在函数的图象上，点P的横坐标为1，
∴，
∴点P的纵坐标为4，
∵点M在PA上，PA⊥x轴，且点P的横坐标为1，
∴点M的横坐标为1，
又∵点M在直线y＝x上，
∴点M的坐标为（1，1），
故答案为点P的纵坐标为4，点M的坐标为(1，1)；
(2) ①∵点P的横坐标为t，点P在函数的图象上，
∴点P的坐标为，
∵直线PA⊥x轴，交直线y＝x于点M，
∴点M的坐标为，
∵直线MB⊥y轴，交函数的图象于点Q，
∴点Q的坐标为；
②连接PQ，
∵P的坐标为，M的坐标为，Q的坐标为，
∴PM=，MQ=，
∴PQ=，
故答案为线段PQ的长为.
本题考查的知识点是正比例函数的图像和性质，反比例函数的图像和性质，反比例函数的应用，平面直角坐标系中点的坐标，点到坐标及其原点的距离和勾股定理的应用，掌握好正比例函数与反比例函数的点的坐标特征是解题的关键.
15、（1）（1，2），（3，2）；（2）
【解析】
（1）根据正方形的边长，运用正方形的性质表示出点B、C的坐标；
（2）根据正方形的边长，运用正方形的性质表示出C点的坐标，再将C的坐标代入函数中，从而可求得k的值．
【详解】
解：（1）∵正方形边长为2，
∴AB=2，
在直线y=2x中，当y=2时，x=1，
∴B（1，2），
∵OA=1，OD=1+2=3，
∴C（3，2），
故答案为（1，2），（3，2）；
（2）∵正方形边长为a，
∴AB=a，
在直线y=2x中，当y=a时，x=，
∴OA=，OD=，
∴C（，a），
将C（，a）代入y=kx，得a=k×，
解得：k=，
故答案为．
本题考查了正方形的性质与正比例函数的综合运用，熟练掌握和灵活运用正方形的性质是解题的关键．
16、（1）；（2）．
【解析】
（1）直接利用算术平方根以及立方根性质分别化简再计算即可得出答案．
（2）直接利用二次根式的混合运算法则，先用完全平方公式和平方差公式计算，再化简得出答案．
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17、见解析
【解析】
首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，再根据等腰三角形的性质可得∠DCE＝∠DEC，即可证明△ABE≌△DEB，再根据全等三角形性质可得到结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∵DE＝AB，
∴DE＝DC．
∴∠DCE＝∠DEC，
∵AB∥DC，
∴∠ABC＝∠DCE．
∴∠ABC＝∠DEC．
在△ABE与△DEB中
，
∴△ABE≌△DEB（SAS）．
∴AE＝BD．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，解题的关键是根据图中角的关系，找出证明全等的条件.
18、见解析.
【解析】
由题意可得AE=DE，∠FEA=∠DEC，∠FAE=∠D，则可证△AEF≌△DEC，则可得结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠EAF=∠EDC
∵E是AD中点
∴AE=DE
∵AE=DE，∠FEA=∠DEC，∠FAE=∠EDC
∴△EAF≌△DEC
∴EF=EC
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，关键是熟练运用这些性质解决问题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据积的乘方的逆用进行计算求解.
【详解】
解：（－0.75）2015 ×
=
=
=
=
本题考查积的乘方的逆用使得运算简便，掌握积的乘方公式正确计算是本题的解题关键.
20、y=2x+1
【解析】
解：已知一次函数y=kx+b与y=2x+1平行，可得k=2，
又因函数经过点（-3，4），代入得4=-6+b，解得，b=1，
所以函数的表达式为y=2x+1．
21、
【解析】
根据方程无实数根求出b的取值范围，再确定b的值即可.
【详解】
∵一元二次方程x2+2bx+1=0无实数根，
∴4b2-4<0
∴-1因此，b可以取等满足条件的值.
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题难度不大，解题的关键是掌握当△<0时，一元二次方程没有实数根．
22、（-2，-2）
【解析】
先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．
【详解】
“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），
故答案是：（﹣2，﹣2）．
考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．
23、 (4，5)
【解析】
直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：连接AA′，BB′，两者相交于点P，
∴位似中心P的坐标是（4，5）．
故答案为：（4，5）．
本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据不等式性质求出不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可；
（2）求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．
【详解】
解：（1）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
（2）
解不等式得：
解不等式得：
∴不等式组的解集为：
本题主要考查了对不等式性质，解一元一次不等式（组）等知识点的理解和掌握，正确解不等式是解此题的关键。
25、（1）；；（2）；；（3）；；（4）10；26； 12；2；
【解析】
（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=，
弦25=；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股=，
弦=；
（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a=2m（m表示大于1的整数），则b=m2-1，c=m2+1；
（4）依据柏拉图公式，若m2-1=24，则m=5，2m=10，m2+1=26；若m2+1=1，则m=6，2m=12，m2-1=2．
【详解】
解：（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=，
弦25=；
故答案为：；；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股=，
弦=；
故答案为：；；
（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a=2m（m表示大于1的整数），则b=m2-1，c=m2+1；
故答案为：m2-1，m2+1；
（4）依据柏拉图公式，
若m2-1=24，则m=5，2m=10，m2+1=26；
若m2+1=1，则m=6，2m=12，m2-1=2；
故答案为：10、26；12、2．
此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
26、（1）自变量是时间；（2）大约在3时水位最深，最深是8米；（3）在0到3时和9到12时，水位是随着时间推移不断上涨的．
【解析】
（1）根据函数图象，可以直接写出自变量；
（2）根据函数图象中的数据可以得到大约在什么时间水位最深，最深是多少；
（3）根据函数图象，可以写出大约在什么时间段水位是随着时间推移不断上涨的．
【详解】
（1）由图象可得，
在这一问题中，自变量是时间；
（2）大约在3时水位最深，最深是8米；
（3）由图象可得，
在0到3时和9到12时，水位是随着时间推移不断上涨的．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分