湖南省长沙市南雅中学2025届九上数学开学统考试题【含答案】
展开一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、(4分)下列曲线中不能表示是的函数的是
A.B.
C.D.
2、(4分)如果aA.a+23、(4分)化简的结果是
A.-2B.2C.-4D.4
4、(4分)若一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限,则一次函数y=-bx+k的图象不经过( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5、(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE的度数为( )
A.30°B.40°C.70°D.80°
6、(4分)如图,已知△ABC为直角三角形,∠B=90°,若沿图中虚线剪去∠B,则∠1+∠2=( )
A.90°B.135°C.270°D.315°
7、(4分)设a、b是直角三角形的两条直角边,若该三角形的周长为12,斜边长为5,则ab的值是( )
A.6B.8C.12D.24
8、(4分)一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.不能确定
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、(4分)如图,菱形ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点,若EF=3,则菱形ABCD的周长是 .
10、(4分)已知Rt△ABC中,AB=3,AC=4,则BC的长为__________.
11、(4分)如图,点是平行四边形的对角线交点,,是边上的点,且;是边上的点,且,若分别表示和的面积,则__________.
12、(4分)若x-y=,xy=,则代数式(x-1)(y+1)的值等于_____.
13、(4分)若关于x的分式方程无解. 则常数n的值是______.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(12分)如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过C作CE⊥AC,交AB的延长线于点E.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形;
(2)若∠E=50°,求∠DAB的度数.
15、(8分)(1)解不等式组;
(2)解方程;
16、(8分)学校决定从甲、乙两名同学中选拔一人参加“诵读经典”大赛,在相同的测试条件下,甲、乙两人5次测试成绩(单位:分)如下:
甲:79,86,82,85,83.
乙:88,81,85,81,80.
请回答下列问题:
(1)甲成绩的中位数是______,乙成绩的众数是______;
(2)经计算知,.请你求出甲的方差,并从平均数和方差的角度推荐参加比赛的合适人选.
17、(10分)反比例函数的图象经过点点是直线上一个动点,如图所示,设点的横坐标为且满足过点分别作轴,轴,垂足分别为与双曲线分别交于两点,连结.
(1)求的值并结合图像求出的取值范围;
(2)在点运动过程中,求线段最短时点的坐标;
(3)将三角形沿着翻折,点的对应点得到四边形能否为菱形?若能,求出点坐标;若不能,说明理由;
(4)在点运动过程中使得求出此时的面积.
18、(10分)如图,在△ABC中,点O是AC边上一动点,过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F
(1)求证:EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形CEAF是矩形?请证明你的结论.
(3)在第(2)问的结论下,若AE=3,EC=4,AB=12,BC=13,请直接写出凹四边形ABCE的面积为 .
B卷(50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、(4分)___________
20、(4分)如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,∠ABC=90°,则四边形ABCD是________;若AC=5 cm,则BD=________.
21、(4分)为了了解我县八年级学生的视力情况,从中随机抽取名学生进行视力情况检查,这个问题中的样本容量是___.
22、(4分)计算6-15的结果是______.
23、(4分)如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,3)、(n,3).若直线y = 2x与线段AB有公共点,则n的取值范围是____________.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(8分)为了了解全校名学生的阅读兴趣,从中随机抽查了部分同学,就“我最感兴趣的书籍”进行了调查:A.小说、B.散文、C.科普、D.其他(每个同学只能选择一项),进行了相关统计,整理并绘制出两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次抽查中,样本容量为 ;
(2) , ;
(3)扇形统计图中,其他类书籍所在扇形的圆心角是 °;
(4)请根据样本数据,估计全校有多少名学生对散文感兴趣.
25、(10分)如图,直线y=2x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)过B点作直线BP与x轴相交于P,且使OP=2OA, 求直线BP的解析式.
26、(12分)为迎接省“义务教育均衡发展验收”,某广告公司承担了制作宣传牌任务,安排甲、乙两名工人制作,由于乙工人采用了新式工具,其工作效率比甲工人提高了20%,同样制作30个宣传牌,乙工人比甲工人节省了一天时间:
(1)求甲乙两名工人每天各制作多少个宣传牌?
(2)现在需要这两名工人合作完成44个宣传牌制作在务,应如何分配,才能让两名工人同时完成任务?
参考答案与详细解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、D
【解析】
根据函数的定义即可判断.
【详解】
因为是的函数时,只能一个x对应一个y值,故D错误.
此题主要考查函数的定义,解题的关键是熟知函数图像的性质.
2、C
【解析】
根据不等式的性质,逐项判断即可.
【详解】
解:A.,,选项结论正确,不符合题意;
B.,,选项结论正确,不符合题意;
C.,,选项结论错误,符合题意;
D.,,选项结论正确,不符合题意.
故选:C.
此题主要考查了不等式的基本性质:(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变;(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变.
3、B
【解析】
故选:B
4、A
【解析】
根据一次函数y=kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k,b的取值范围,再根据k,b的取值范围确定一次函数y=-bx+k图象在坐标平面内的位置关系,从而求解.
【详解】
解:一次函数y=kx+b过一、二、四象限,
则函数值y随x的增大而减小,因而k<1;
图象与y轴的正半轴相交则b>1,
因而一次函数y=-bx+k的一次项系数-b<1,
y随x的增大而减小,经过二四象限,
常数项k<1,则函数与y轴负半轴相交,
因而一定经过二三四象限,
因而函数不经过第一象限.
故选:A.
本题考查了一次函数的图象与系数的关系.函数值y随x的增大而减小⇔k<1;函数值y随x的增大而增大⇔k>1;
一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b>1,一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b<1,一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=1.
5、A
【解析】
由等腰△ABC中,AB=AC,∠A=40°,即可求得∠ABC的度数,又由线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,可得AE=BE,继而求得∠ABE的度数,则可求得答案.
【详解】
∵AB=AC,∠A=40°,
∴∠ABC=∠C=(180°−∠A)÷2=70°,
∵线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,
∴AE=BE,
∴∠ABE=∠A=40°,
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°,
故选:A.
本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质,熟练掌握相关性质,运用数形结合思想是解题的关键.
6、C
【解析】
如图,根据题意可知∠1=90°+∠BNM,∠2=90°+∠BMN,然后结合三角形内角和定理即可推出∠1+∠2的度数.
【详解】
解:∵△ABC为直角三角形,∠B=90°
∴∠1=90°+∠BNM,∠2=90°+∠BMN,∠BMN +∠BNM=90°,
∴∠1+∠2=270°.
故选C.
本题考查三角形的外角性质、三角形内角和定理,直角三角形的性质,解题的关键在于求证∠1=90°+∠BNM,∠2=90°+∠BMN.
7、C
【解析】
由该三角形的周长为12,斜边长为5可知a+b+5=12,再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值.
【详解】
解:∵三角形的周长为12,斜边长为5,
∴a+b+5=12,
∴a+b=7,①
∵a、b是直角三角形的两条直角边,
∴a2+b2=52,②
由②得a2+b2=(a+b)2﹣2ab=52
∴72﹣2ab=52
ab=12,
故选:C.
本题考查勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用,解题的关键是熟练掌握勾股定理以及完全平方公式.
8、B
【解析】
根据根的判别式判断即可.
【详解】
∵,
∴该方程有两个相等的实数根,
故选:B.
此题考查一元二次方程的根的判别式,熟记根的三种情况是解题的关键.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、1.
【解析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC,再根据菱形的周长公式列式计算即可得解.
【详解】
∵E、F分别是AB、AC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴BC=2EF=2×3=6,
∴菱形ABCD的周长=4BC=4×6=1.
故答案为1.
本题主要考查了菱形的四条边都相等,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,求出菱形的边长是解题的关键.
10、或1.
【解析】
根据勾股定理来进行解答即可,本题需要分两种情况进行计算,即BC为斜边和BC为直角边.
【详解】
根据勾股定理可得:AB=
或AB=,
故答案为1或.
本题主要考查的是利用勾股定理求边长的问题,属于基础问题.在利用勾股定理时一定要注意所求的边为直角边还是斜边.
11、3:1
【解析】
根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得,,再由点O是▱ABCD的对角线交点,根据平行四边形的性质可得S△AOB=S△BOC=S▱ABCD,从而得出S1与S1之间的关系.
【详解】
解:∵,,
∴S1=S△AOB,S1=S△BOC.
∵点O是▱ABCD的对角线交点,
∴S△AOB=S△BOC=S▱ABCD,
∴S1:S1=:=3:1,
故答案为:3:1.
本题考查了三角形的面积,平行四边形的性质,根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出,是解答本题的关键.
12、2-2
【解析】
解:
∵=,
原式
故答案为:
13、1或
【解析】
分式方程无解的条件是:去分母后所得整式方程无解,或解这个整式方程得到的解,使原方程的分母等于1.
【详解】
解:两边都乘(x−3),得3−2x+nx−2=−x+3,
解得x=,
n=1时,整式方程无解,分式方程无解;
∴当x=3时分母为1,方程无解,
即=3,
∴n=时,方程无解;
故答案为:1或.
本题考查了分式方程无解的条件,掌握知识点是解题关键.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、 (1)证明见解析;(2)∠DAB=80°.
【解析】
直接利用菱形的性质对角线互相垂直,得出,进而得出答案;
利用菱形、平行四边形的性质得出,进而利用三角形内角和定理得出答案.
【详解】
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,DC∥BE,
又∵CE⊥AC,
∴BD∥EC,
∴四边形BECD是平行四边形;
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,
∴∠ADB=∠ABD,
∵四边形BECD是平行四边形,
∴DB∥CE,
∴∠CEA=∠DBA=50°,
∴∠ADB=50°,
∴∠DAB=180°﹣50°﹣50°=80°.
此题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的性质,正确应用菱形的性质是解题关键.
15、(1)2<x≤;(2)原分式方程无解
【解析】
(1)根据不等式组的解法即可求出答案.
(2)根据分式方程的解法即可求出答案.
【详解】
解:(1)
由①得:3x-3>x+1
∴2x>4
解得:x>2
由②得:x-1≥4x-8
∴-3x≥-7
解得:x≤
∴不等式组的解集为:2<x≤
(2)去分母得:x(x-2)-(x+2)2=-16
∴x2-2x-x2-4x-4=-16
∴-6x=-12
解得:x=2
将x=2代入x2-4,得x2-4=0
∴原分式方程无解.
本题考查学生的计算能力,解题的关键是熟练运用不等式组的解法以及分式方程的解法,本题属于基础题型.
16、(1)83,81;(2),推荐甲去参加比赛.
【解析】
(1)根据中位数和众数分别求解可得;
(2)先计算出甲的平均数和方差,再根据方差的意义判别即可得.
【详解】
(1)甲成绩的中位数是83分,乙成绩的众数是81分,
故答案为:83分、81分;
(2),
∴.
∵,,
∴推荐甲去参加比赛.
此题主要考查了方差、平均数、众数、中位数等统计量,其中方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
17、(1),,(2),(3)能,,
(4)
【解析】
(1)先把(1,3)代入求出k的值,再由两函数有交点求出m的值,根据函数图象即可得出结论;
(2)根据线段OC最短可知OC为∠AOB的平分线,对于,令,即可得出C点坐标,把代入中求出的值即可得出P点坐标;
(3)当OC=OD时,四边形O′COD为菱形,由对称性得到△AOC≌△BOD,即OA=OB,由此时P横纵坐标相等且在直线上即可得出结论.
(4)设,则,,根据PD=DB,构建方程求出,即可解决问题.
【详解】
解:(1)∴反比例函数(x>0,k≠0)的图象进过点(1,3),
∴把(1,3)代入,解得,
.
∵ ,
∴,
,
∴由图象得:;
(2)∵线段OC最短时,
∴OC为∠AOB的平分线,
∵对于,令,
∴,即C,
∴把代入中,得:,即P;
(3)四边形O′COD能为菱形,
∵当OC=OD时,四边形O′COD为菱形,
∴由对称性得到△AOC≌△BOD,即OA=OB,
∴此时P横纵坐标相等且在直线上,
即,解得:,即P.
(4)设B,则,
∵PD=DB,
∴,
解得:(舍弃),
∴,D,,,
本题属于反比例函数综合题,考查的是反比例函数的图像与性质,涉及到菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识,在解答此题时要注意利用数形结合求解.
18、(1)详见解析;(2)当点O运动到AC的中点时,四边形CEAF是矩形,理由详见解析;(3)1.
【解析】
(1)由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC=∠OCE,证出EO=CO,同理得出FO=CO,即可得出EO=FO;
(2)由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形,再由对角线相等即可得出结论;
(3)先根据勾股定理求出AC,得出△ACE的面积=AE×EC,再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形,得出△ABC的面积=AB•AC,凹四边形ABCE的面积=△ABC的面积﹣△ACE的面积,即可得出结果.
【详解】
(1)证明:∵EF∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠OCE,
∴∠OEC=∠OCE,
∴EO=CO,
同理:FO=CO,
∴EO=FO;
(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形CEAF是矩形;理由如下:
由(1)得:EO=FO,
又∵O是AC的中点,
∴AO=CO,
∴四边形CEAF是平行四边形,
∵EO=FO=CO,
∴EO=FO=AO=CO,
∴EF=AC,
∴四边形CEAF是矩形;
(3)解:由(2)得:四边形CEAF是矩形,
∴∠AEC=90°,
∴AC===5,
△ACE的面积=AE×EC=×3×4=6,
∵122+52=132,
即AB2+AC2=BC2,
∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,
∴△ABC的面积=AB•AC=×12×5=30,
∴凹四边形ABCE的面积=△ABC的面积﹣△ACE的面积=30﹣6=1;
故答案为1.
本题考查了角平分线的概念,三角形的性质,矩形的判断以及四边形与几何动态综合,知识点综合性强,属于较难题型.
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、-0.1
【解析】
试题解析:原式=0.4-0.7=-0.1.
故答案为:-0.1.
20、矩形 5cm
【解析】
试题解析:∵AO=OC,BO=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD
∵AC=5cm
∴BD=5cm
21、
【解析】
根据样本容量则是指样本中个体的数目,可得答案.
【详解】
为了了解我县八年级学生的视力情况,从中随机抽取1200名学生进行视力情况检查,在这个问题中,样本容量是1200,
故答案为:1200.
本题考查了总体、个体、样本、样本容量,解题要分清具体问题中的总体、个体与样本,关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的,所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目,不能带单位.
22、6-
【解析】
直接化简二次根式进而得出答案.
【详解】
解:原式=6-15×,
=6-.
故答案为:6-.
此题主要考查了二次根式的加减运算,正确化简二次根式是解题关键.
23、
【解析】
由直线y=2x与线段AB有公共点,可得出点B在直线上或在直线右下方,利用一次函数图象上点的坐标特征,即可得出关于n的一元一次不等式,解之即可得出n的取值范围,在其内任取一数即可得出结论.
【详解】
∵直线y=2x与线段AB有公共点,
∴2n≥3,
∴.
故答案为:.
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,用一次函数图象上点的坐标特征,找出关于n的一元一次不等式是解题的关键.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(1)50;(2)6,15;(3)72;(4)288.
【解析】
【分析】(1)根据小说有19人占比为38%即可求得样本容量;
(2)用样本容量乘以科普的比可求得b的值,再用样本容量减去小说、科普、其他的人数即可求得a的值;
(3)用其他所占的比乘以360度即可得;
(4)用2400乘以喜欢散文类所占的比例即可得.
【详解】(1)样本容量为:19÷38%=50,
故答案为50;
(2)b=50×30%=15,
a=50-19-15-10=6,
故答案为6,15;
(3)其他类书籍所在扇形的圆心角为:=72°,
故答案为72;
(4)估计全校对散文感兴趣的学生约有:=288人.
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用,认真识图,从图中找到必要的解题信息是解题的关键.
25、(1)(-,0);(0,1);(2)y=x+1或y=-x+1.
【解析】
试题分析:(1)根据坐标轴上点的坐标特征确定A点和B点坐标;
(2)由OA=,OP=2OA得到OP=1,分类讨论:当点P在x轴正半轴上时,则P点坐标为(1,0);当点P在x轴负半轴上时,则P点坐标为(-1,0),然后根据待定系数法求两种情况下的直线解析式.
试题解析:(1)把x=0代入y=2x+1,得y═1,
则B点坐标为(0,1);
把y=0代入y=2x+1,得0=2x+1,
解得x=-,
则A点坐标为(-,0);
(2)∵OA=,
∴OP=2OA=1,
当点P在x轴正半轴上时,则P点坐标为(1,0),
设直线BP的解析式为:y=kx+b,
把P(1,0),B(0,1)代入得
解得:
∴直线BP的解析式为:y=-x+1;
当点P在x轴负半轴上时,则P点坐标为(-1,0),
设直线BP的解析式为y=kx+b,
把P(-1,0),B(0,1)代入得
解得:k=1,b=1
所以直线BP的解析式为:y=x+1;
综上所述,直线BP的解析式为y=x+1或y=-x+1.
考点:1.一次函数图象上点的坐标特征;2.待定系数法求一次函数解析式.
26、 (1)甲工人每天制作5个宣传牌,乙工人每天制作6个;(2)给甲分配制作20个,乙制作24个.
【解析】
(1)设甲工人每天完成x个宣传牌,则乙工人每天完成1.2x个宣传牌,根据完成30个宣传牌工作,乙工人比甲工人节省了一天时间列出方程解答即可;
(2)根据(1)中求得的数据,设甲完成a个宣传牌,则乙完成(44-a)个宣传牌,根据所用时间相等列出方程解答即可.
【详解】
解:(1)设甲工人每天制作x个宣传牌,则乙工人每天制(1+20%)x=1.2x个,由题意得
解得x=5
经检验x=5是原方程的解且符合题意
∴1.2x=6
答:甲工人每天制作5个宣传牌,乙工人每天制作6个.
(2) 设甲完成a个宣传牌,则乙完成(44-a)个宣传牌,
由题意得: ,
解得:a=20,
44-a=24,
答:给甲分配制作20个,乙制作24个 ,才能让两名工人同时完成任务.
故答案为:(1)甲工人每天制作5个宣传牌,乙工人每天制作6个;(2)给甲分配制作20个,乙制作24个.
本题考查分式方程的实际运用、一元一次方程的实际运用,找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
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