湖南省长沙市湖南师大附中高新实验中学2024年数学九年级第一学期开学调研试题【含答案】

这是一份湖南省长沙市湖南师大附中高新实验中学2024年数学九年级第一学期开学调研试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣，2）B．（﹣3，）C．（﹣2，2）D．（﹣3，2）
2、（4分）某校举行课间操比赛，甲、乙两个班各选出20名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都为1.65m，其方差分别是S甲2＝3.8，S乙2＝3.4，则参赛学生身高比较整齐的班级是（ ）
A．甲班B．乙班C．同样整齐D．无法确定
3、（4分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．∠ABC＝90°B．∠BCD＝90°C．AB＝CDD．AB∥CD
4、（4分）如图，直线经过点A(a，)和点B(，0)，直线经过点A，则当时，x的取值范围是（ ）
A．x>-1B．x<-1C．x>-2D．x<-2
5、（4分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
6、（4分）如图，在平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是（ ）
A．3B．4C．5D．2.5
7、（4分）使代数式的值不小于代数式的值，则应为（ ）
A．＞17B．≥17C．＜17D．≥17
8、（4分）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，已知：，点、、在射线上，点、、...在射线上，、、...均为等边三角形，若，则的边长为__________．
10、（4分）在菱形中，若，，则菱形的周长为________.
11、（4分）分解因式：m2﹣9m＝_____．
12、（4分）如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n=______．
13、（4分）对于反比例函数，当时，其对应的值、、的大小关系是______．（用“”连接）
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）求不等式（2x﹣1）（x+1）＞0的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或 ②．
解①得x＞；解②得x＜﹣1．
∴不等式的解集为x＞或x＜﹣1．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式（2x﹣1）（x+1）＜0的解集．
（2）求不等式≥0的解集．
15、（8分）如图，过点A（2，0）的两条直线，分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=.
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求的解析式．
16、（8分）仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值，
解:设另一个因式为，得: ，
则
解得:
另一个因式为，的值为，
问题:仿照以上方法解答下列问题:
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
17、（10分）知识再现：
如果，，则线段的中点坐标为；对于两个一次函数和，若两个一次函数图象平行，则且；若两个一次函数图象垂直，则．
提醒：在下面这个相关问题中如果需要，你可以直接利用以上知识．
在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）如图1，把直线向右平移使它经过点，如果平移后的直线交轴于点，交x轴于点，请确定直线的解析式．
（2）如图2，连接，求的长．
（3）已知点是直线上一个动点，以为对角线的四边形是平行四边形，当取最小值时，请在图3中画出满足条件的，并直接写出此时点坐标．
18、（10分）已知：如图，在□ABCD中，点M、N分别是AB、CD的中点．求证：DM = BN．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）为参加2018年“宜宾市初中毕业生升学体育考试”，小聪同学每天进行立定跳远练习，并记录下其中7天的最好成绩（单位：m）分别为：2.21，2.12，2.1，2.39，2.1，2.40，2.1．这组数据的中位数和众数分别是_____．
20、（4分）如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集是_____．
21、（4分）如图所示，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB＝2，则PP′＝_______.
22、（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的中点，若CD=5cm，则AB=_____________cm.
23、（4分）用反证法证明“若，则”时，应假设_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算：+－－
25、（10分）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
26、（12分）ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF=BE，连接BF，AF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠BAD，且AE=3，DF=5，求矩形BFDE的面积.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，由BC=OC利用等腰三角形的性质可得出OC、OE的值，再利用勾股定理可求出CE的长度，此题得解．
【详解】
∵直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）．
过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示．
∵BC=OC=OA，
∴OC=3，OE=2，
∴CE= ,
∴点C的坐标为（-，2）．
故选A．
考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求出CE、OE的长度是解题的关键．
2、B
【解析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定
【详解】
S甲2＝3.8，S乙2＝3.4，
∴S甲2＞S乙2，
∴参赛学生身高比较整齐的班级是乙班，
故选：B．
此题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
3、C
【解析】
根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
【详解】
A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，正确；
B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，∵∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，正确；
C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，
无法得出△ABO≌△DCO，
故无法得出四边形ABCD是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD是矩形，错误；
D、∵AB||CD，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠BAO＝∠ODC，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴▱ABCD是矩形，正确；
故选：C．
此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．
4、A
【解析】
先求出点A坐标，再结合图象观察出直线直线在直线下方的自变量x的取值范围即可.
【详解】
把A(a，-2)代入y2=2x，得-2=2a，
解得：a=-1，
所以点A(-1，-2)，
观察图象可知当x>-1时，，
故选A.
本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察函数图象，比较函数图象的高低(即比较函数值的大小)，确定对应的自变量的取值范围．注意数形结合思想的运用．
5、C
【解析】
在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.
【详解】
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．
本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.
6、D
【解析】
由▱ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，易证得△ABE，△CDE是等腰三角形，△BEC是直角三角形，则可求得BC的长，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=90°，
∵BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，∠DCE=∠BCE=∠DCB，
∴∠ABE=∠AEB，∠DCE=∠DEC，∠EBC+∠ECB=90°，
∴AB=AE，CD=DE，
∴AD=BC=2AB，
∵BE=4，CE=3，
∴BC=，
∴AB=BC=2.5.
故选D．
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意证得△ABE，△CDE是等腰三角形，△BEC是直角三角形是关键．
7、B
【解析】
【分析】不小于就是大于或等于的意思,根据此可列出不等式,然后根据不等式的基本性质求出解.
【详解】依题意得：
≥
解此不等式，得
≥17
故选：B
【点睛】本题考核知识点：解一元一次不等式.解题关键点：熟记不等式的性质.
8、A
【解析】
根据分式有意义的条件，得到关于x的不等式，进而即可求解．
【详解】
∵分式有意义，
∴，即：，
故选A．
本题主要考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2…进而得出答案
【详解】
解：如图
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=a，
∴A2B1=a，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4a，
A4B4=8B1A2=8a，
A5B5=16B1A2=16a，
以此类推：A6B6=32B1A2=32a．
故答案为：32a．
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．
10、8
【解析】
由菱形的，可得∠BAD=∠BCD =60°，则在Rt△AOB中根据勾股定理以及30°所对的直角边是斜边的一半，列方程可以求出AB的长，即可求出菱形周长.
【详解】
解：如图，
∵ABCD为菱形
∴∠BAD=∠BCD，BD⊥AC，O为AC、BD中点
又∵
∴∠BAD=∠BCD =60°
∴∠BAC=∠BAD=30°
在Rt△AOB中，BO=AB，
设BO=x，根据勾股定理可得：
解得x=1
∴AB=2x=2
∴菱形周长为8
故答案为8
本题考查菱形的性质综合应用，灵活应用菱形性质是解题关键.
11、m（m﹣9）
【解析】
直接提取公因式m即可．
【详解】
解：原式＝m（m﹣9）．
故答案为：m（m﹣9）
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
12、1
【解析】
根据多边形内角和公式110°（n-2）和外角和为360°可得方程110（n-2）=360×3，再解方程即可．
【详解】
解：由题意得：110（n-2）=360×3，
解得：n=1，
故答案为：1．
此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
13、
【解析】
根据反比例函数的性质，图形位于第一、三象限，并且随着的增大而减小，再根据，即可比较、、的大小关系．
【详解】
解：根据反比例函数的性质，图形位于第一、三象限，并且随着的增大而减小，而，则，而，则，
故答案为．
本题考查反比例函数，难度不大，是中考的常考知识点，熟记反比例函数的性质是顺利解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）﹣1＜x＜；（2）x≥1或x＜﹣2．
【解析】
（1）、（2）根据题意得出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【详解】
解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得①或②，
解①得不等式组无解；解②得，﹣1＜x＜；
（2）根据“同号两数相除，积为正”可得①，②，
解①得，x≥1，解②得，x＜﹣2，
故不等式组的解集为：x≥1或x＜﹣2．
故答案为（1）﹣1＜x＜；（2）x≥1或x＜﹣2．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15、（1）（0，3）；（2）．
【解析】
（1）在Rt△AOB中，由勾股定理得到OB=3，即可得出点B的坐标；
（2）由=BC•OA，得到BC=4，进而得到C（0，-1）．设的解析式为， 把A（2，0），C（0，-1）代入即可得到的解析式．
【详解】
（1）在Rt△AOB中，
∵，
∴，
∴OB=3，
∴点B的坐标是（0，3） ．
（2）∵=BC•OA，
∴BC×2=4，
∴BC=4，
∴C（0，-1）．
设的解析式为，
把A（2，0），C（0，-1）代入得：，
∴，
∴的解析式为是．
考点：一次函数的性质．
16、另一个因式为，的值为
【解析】
设另一个因式为（x+n），得2x2-5x-k=（2x-3）（x+n）=2x2+（2n-3）x-3n，可知2n-3=-5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．
【详解】
解：设另一个因式为（x+n），得：2x2-5x-k=（2x-3）（x+n）
则2x2-5x-k=2x2+（2n-3）x-3n，
解得:
另一个因式为，的值为，
本题考查因式分解的应用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
17、（1）；（2）5；（3）
【解析】
（1）用待定系数法可求直线AB的解析式，由平移的性质可设直线A'B'的解析式为：，将点P坐标代入可求直线A′B′的解析式；
（2）由P（6，4），B（6，0），点B'坐标（9，0）可得BP⊥B'B，BP=4，BB'=3，由勾股定理可求B'P的长；
（3）由平行四边形的性质可得，AE=BE，当CE⊥CO时，CE的值最小，即CD的值最小，由中点坐标公式可求点E坐标，可求CE解析式，列出方程组可求点C坐标．
【详解】
解：（1）设直线的解析式为：，过点两点，有
∴，∴
直线的解析式为： ，
把直线向右平移使它经过点
∴直线的解析式为，且过点
∴，∴
∴直线的解析式为
（2）∵直线交轴于点，交轴于点
∴当时，
当时，
∴点坐标，点坐标
∵，，点坐标
∴轴，，，
∴
（3）如图，设与的交点为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴要使取最小值，即的值最小，
由垂线段最短可得：当时，的值最小，即的值最小，
∵点，，且
∴点
∵，直线解析式为：
∴设解析式为，且过点
∴
∴
∴解析式为
∴联立直线和的解析式成方程组，得
解得：
∴点
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及中点坐标公式、平行四边形的性质、勾股定理，解题的关键是：（1）读懂并理解材料；（2）利用中点坐标公式求出点E的坐标；（3）联立两直线的解析式成方程组，通过解方程组求出点C的坐标．
18、见解析
【解析】
根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，∠A=∠C.，利用点M、N分别是AB、CD的中点证得，再证明△ADM≌△CBN即可得到结论.
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AD=BC，∠A=∠C.
又∵点M、N分别是AB、CD的中点，
∴
∴
∴ △ADM≌△CBN（SAS）
∴ DM = BN.
此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，线段中点的性质，根据题中的已知条件确定正确全等三角形的思路是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2.40，2.1．
【解析】
∵把7天的成绩从小到大排列为：2.12，2.21，2.39，2.40，2.1，2.1，2.1．
∴它们的中位数为2.40，众数为2.1．
故答案为2.40，2.1．
点睛:本题考查了中位数和众数的求法，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数.
20、
【解析】
观察图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：观察图象得：当时，，
即不等式的解集为．
故答案为：．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的解集．
21、
【解析】
解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°．∵△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，∴∠PBP′=∠ABC=90°，PB=P′B=2，∴△PBP′为等腰直角三角形，∴PP′=PB=．
故答案为．
点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形与等腰直角三角形性质．
22、1
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴线段CD是斜边AB上的中线；
又∵CD=5cm，
∴AB=2CD=1cm．
故答案是：1．
本题考查了直角三角形斜边上的中线．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
23、
【解析】
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】
解：用反证法证明“若，则”时，应假设．
故答案为：．
此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、2+3
【解析】
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】
原式＝4+3﹣﹣ ＝2+3
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型．
25、（1）；（2）至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）这次消毒是有效的．
【解析】
（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y=，把点（8，6）代入即可；
（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．
【详解】
解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1
∴k1=
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（k2＞0）代入（8，6）为6=，
∴k2=48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为（x＞8）
∴
（2）结合实际，令中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．
（3）把y=3代入，得：x=4
把y=3代入，得：x=16
∵16﹣4=12
所以这次消毒是有效的．
现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
26、（1）见解析；（2）1
【解析】
（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）由平行线和角平分线定义得出∠DFA＝∠DAF，证出AD＝DF＝5，由勾股定理求出DE＝＝4，即可得出矩形BFDE的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DFA，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴AD＝DF＝5，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
由勾股定理得：DE＝＝4，
∴矩形BFDE的面积＝DF×DE＝5×4＝1．
本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF＝∠DFA是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分