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河南省 郑州市第七初级中学 2024-2025学年 九年级上学期10月数学月考卷
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这是一份河南省 郑州市第七初级中学 2024-2025学年 九年级上学期10月数学月考卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分试卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1．下列命题中，错误的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直B．对角线相等的四边形是矩形
C．平行四边形的对角线互相平分D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，且．若的面积为4，则的面积是（ ）
A．B．6C．9D．18
4．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）
A．B．C．D．
5．根据表格，选取一元二次方程的一个近似解取值范围（ ）
A．B．C．D．
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．B．2C．D．5
7．五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段的黄金分割点，且，则图中五边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边如图所示，若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为192平方米．设小道宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图1，在菱形中，对角线交于点，，，点沿从点匀速运动到点．设点的运动时间为，图2是点运动时随变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标的值为（ ）
A．B．C．D．3
二、填空题（每题3分，共5题，共15分）
11．若，则_____．
12．若关于的一元二次方程的解，则的值是_____．
13．如图，在Rt中，，，是的中线，是的中点，连接，若，垂足为，则的长为_____．
14．如图，矩形的对角线交于点，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为_____．
15．已知中，，，，点分别在上，沿折叠，点的对应点为点交于点．若，当与相似时，则_____．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）解下列方程：
（1）； （2）．
17．（8分）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，列出（x，y）所有可能出现的结果；
（2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
18．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最大整数，求此方程的根．
19．（9分）如图，已知：在四边形中，的垂直平分线交于点，交于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当=______°时，四边形是正方形；
（3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为_____．
20．（10分）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是225万元，3月份的销售额是324万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台（上）的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
21．（10分）如图1是屹立于河南省新郑市南关双洎河南岸的北宋古塔——风台寺塔，距今已有900余年，为仓颉造字之地．数学综合实践小组用自制的菱形测角仪测量塔高，其边长为，较长的对角线的长为为对角线的交点，当测角仪的顶点D，A与塔顶避雷装置顶端的点在同一条直线上时，系在顶点处的铅垂线过点和顶点，交地平线于点，经测量得到．
（1）求凤台寺塔的高（包括顶部高为的避雷装置）；
（2）据凤台寺塔的简介知，该塔不包括避雷装置的高度为，结合计算结果，提出一条改进测量方法的合理化建议．
22．（10分）如图，在中，，点是边上的一个动点，点在上，点在运动过程中始终保持．设的长为．
（1）求证：；
（2）用含的代数式表示的长；当时，求的值；
（3）直接写出当为何值时，为等腰三角形．
23．（12分）综合与探究：
如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，点从点出发沿向终点运动，速度为每秒1个单位，同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点，作轴，交折线于点，设运动时间为．
（1）求点的坐标；
（2）在点C，点D运动过程中，
①当点分别在上时，求证四边形是矩形；
②在点，点的整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你直接写出的值；
（3）点是平面内一点，在点的运动过程中，问是否存在以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
数学月考参考答案
1．B 2．A 3．C 4．B． 5．C 6．D
7．解：点C，D分别为线段的右侧和左侧的黄金分割点，，，
五边形的周长．故选：C
8．解：假设不规则图案的面积为，由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上：，解得：，
不规则图案的面积大约为，故选：B．
9．解：由题意得：，即，故选：B．
10．解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，
连接，，四边形为菱形，点在上，，
垂直平分，，，
当三点共线时，的最小值为
在Rt中，，
，
，，
，，
，即，，
，，，即，
，，，即，
在Rt中，，
的最小值为，即．故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．解：，故答案为：．
12．解：关于的一元二次方程的解，，即，．故答案为：2043．
13．解：，，是的中线，，
是斜边上的中线，，
是的中点，
，，
由勾股定理得．故答案为：．
14．解：，矩形的面积为48，，，对角线交于点，的面积为12，，，即，，，，故答案为：．
15．解：当时，根据折叠的性质，得，．在Rt中，，
根据勾股定理，得，；
当时，根据折叠的性质，得，，，．
．在Rt中，，
．在Rt中，，，
．在Rt中，
，，在Rt中，，
，，．
故答案为：10或．
三．解答题（共4小题）
16．（1） （2）
17．解：（1）列表如下：
共有12种等可能的结果；
（2）游戏规则公平，理由如下：
由表知，他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果有6种，
由小东讲的概率为，则由小华讲的概率为，，此游戏规则公平．
18．解：（1）根据题意，得．解不等式，得．
（2）根据题意，得．此时，原方程为．
解这个方程，得．
19．（1）证明：垂直平分，，
，，，
，，
，，四边形是菱形；
（2）解：当时，四边形是正方形，理由如下：
若四边形是正方形，则，
，，，
，由（1）知四边形是菱形，
四边形是正方形；故答案为：45；
（3）解：由（2）知，四边形是正方形，，
四边形的面积为，故答案为：12．
20．解：（1）设月平均增长率为，依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是．
（2）设售价应降低元，则每天可售出千克，
依题意，得：，解得：，
要尽量减少库存，．答：售价应降低4元．
21．解：（1）延长交于点，由题意得：
，
四边形是菱形，，，在Rt中，，，
，，
，，解得：，
，
答：凤台寺塔的高为；
（2）一条改进测量方法的合理化建议：多次测量求平均值，可以减少误差（答案不唯一）．
22．解：；
．又，，；
（2），，即，，
，，解得：或6．
解这个方程，得；
（3）①当时，，
，即．解得．
②当时，，
．，即．解得．
③当时，点与点重合，点与点重合，
此时．（或当时，），
，情况不成立．
综上所述，当或时，为等腰三角形．
23．（1）解：当时，，，
当时，，，点的坐标分别为；
（2）①证明：，，，
轴，轴，，
由点的运动可知，，，
，四边形是平行四边形，
，平行四边形是矩形；
②解：当点分别在上时，若四边形是正方形，
则，，，，
，，
解得，当分别在上时，如图，
同理可证四边形是矩形，若四边形是正方形，则，
，，．
，，
解得，综上，的值为或；
（3）解：存在，理由如下：若以点为顶点的四边形是菱形，则只需是等腰三角形即可．
当时，点与点重合，，此时点与点关于轴对称，
；当时，，
且，；
当，则解得，
，此时且，
，综上所述，点的坐标为（9，3）或或．0
0.5
1
5
2.75
1
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
本试卷分试卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1．下列命题中，错误的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直B．对角线相等的四边形是矩形
C．平行四边形的对角线互相平分D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，且．若的面积为4，则的面积是（ ）
A．B．6C．9D．18
4．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）
A．B．C．D．
5．根据表格，选取一元二次方程的一个近似解取值范围（ ）
A．B．C．D．
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．B．2C．D．5
7．五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段的黄金分割点，且，则图中五边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边如图所示，若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为192平方米．设小道宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图1，在菱形中，对角线交于点，，，点沿从点匀速运动到点．设点的运动时间为，图2是点运动时随变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标的值为（ ）
A．B．C．D．3
二、填空题（每题3分，共5题，共15分）
11．若，则_____．
12．若关于的一元二次方程的解，则的值是_____．
13．如图，在Rt中，，，是的中线，是的中点，连接，若，垂足为，则的长为_____．
14．如图，矩形的对角线交于点，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为_____．
15．已知中，，，，点分别在上，沿折叠，点的对应点为点交于点．若，当与相似时，则_____．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）解下列方程：
（1）； （2）．
17．（8分）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，列出（x，y）所有可能出现的结果；
（2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
18．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最大整数，求此方程的根．
19．（9分）如图，已知：在四边形中，的垂直平分线交于点，交于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当=______°时，四边形是正方形；
（3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为_____．
20．（10分）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是225万元，3月份的销售额是324万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台（上）的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
21．（10分）如图1是屹立于河南省新郑市南关双洎河南岸的北宋古塔——风台寺塔，距今已有900余年，为仓颉造字之地．数学综合实践小组用自制的菱形测角仪测量塔高，其边长为，较长的对角线的长为为对角线的交点，当测角仪的顶点D，A与塔顶避雷装置顶端的点在同一条直线上时，系在顶点处的铅垂线过点和顶点，交地平线于点，经测量得到．
（1）求凤台寺塔的高（包括顶部高为的避雷装置）；
（2）据凤台寺塔的简介知，该塔不包括避雷装置的高度为，结合计算结果，提出一条改进测量方法的合理化建议．
22．（10分）如图，在中，，点是边上的一个动点，点在上，点在运动过程中始终保持．设的长为．
（1）求证：；
（2）用含的代数式表示的长；当时，求的值；
（3）直接写出当为何值时，为等腰三角形．
23．（12分）综合与探究：
如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，点从点出发沿向终点运动，速度为每秒1个单位，同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点，作轴，交折线于点，设运动时间为．
（1）求点的坐标；
（2）在点C，点D运动过程中，
①当点分别在上时，求证四边形是矩形；
②在点，点的整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你直接写出的值；
（3）点是平面内一点，在点的运动过程中，问是否存在以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
数学月考参考答案
1．B 2．A 3．C 4．B． 5．C 6．D
7．解：点C，D分别为线段的右侧和左侧的黄金分割点，，，
五边形的周长．故选：C
8．解：假设不规则图案的面积为，由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上：，解得：，
不规则图案的面积大约为，故选：B．
9．解：由题意得：，即，故选：B．
10．解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，
连接，，四边形为菱形，点在上，，
垂直平分，，，
当三点共线时，的最小值为
在Rt中，，
，
，，
，，
，即，，
，，，即，
，，，即，
在Rt中，，
的最小值为，即．故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．解：，故答案为：．
12．解：关于的一元二次方程的解，，即，．故答案为：2043．
13．解：，，是的中线，，
是斜边上的中线，，
是的中点，
，，
由勾股定理得．故答案为：．
14．解：，矩形的面积为48，，，对角线交于点，的面积为12，，，即，，，，故答案为：．
15．解：当时，根据折叠的性质，得，．在Rt中，，
根据勾股定理，得，；
当时，根据折叠的性质，得，，，．
．在Rt中，，
．在Rt中，，，
．在Rt中，
，，在Rt中，，
，，．
故答案为：10或．
三．解答题（共4小题）
16．（1） （2）
17．解：（1）列表如下：
共有12种等可能的结果；
（2）游戏规则公平，理由如下：
由表知，他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果有6种，
由小东讲的概率为，则由小华讲的概率为，，此游戏规则公平．
18．解：（1）根据题意，得．解不等式，得．
（2）根据题意，得．此时，原方程为．
解这个方程，得．
19．（1）证明：垂直平分，，
，，，
，，
，，四边形是菱形；
（2）解：当时，四边形是正方形，理由如下：
若四边形是正方形，则，
，，，
，由（1）知四边形是菱形，
四边形是正方形；故答案为：45；
（3）解：由（2）知，四边形是正方形，，
四边形的面积为，故答案为：12．
20．解：（1）设月平均增长率为，依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是．
（2）设售价应降低元，则每天可售出千克，
依题意，得：，解得：，
要尽量减少库存，．答：售价应降低4元．
21．解：（1）延长交于点，由题意得：
，
四边形是菱形，，，在Rt中，，，
，，
，，解得：，
，
答：凤台寺塔的高为；
（2）一条改进测量方法的合理化建议：多次测量求平均值，可以减少误差（答案不唯一）．
22．解：；
．又，，；
（2），，即，，
，，解得：或6．
解这个方程，得；
（3）①当时，，
，即．解得．
②当时，，
．，即．解得．
③当时，点与点重合，点与点重合，
此时．（或当时，），
，情况不成立．
综上所述，当或时，为等腰三角形．
23．（1）解：当时，，，
当时，，，点的坐标分别为；
（2）①证明：，，，
轴，轴，，
由点的运动可知，，，
，四边形是平行四边形，
，平行四边形是矩形；
②解：当点分别在上时，若四边形是正方形，
则，，，，
，，
解得，当分别在上时，如图，
同理可证四边形是矩形，若四边形是正方形，则，
，，．
，，
解得，综上，的值为或；
（3）解：存在，理由如下：若以点为顶点的四边形是菱形，则只需是等腰三角形即可．
当时，点与点重合，，此时点与点关于轴对称，
；当时，，
且，；
当，则解得，
，此时且，
，综上所述，点的坐标为（9，3）或或．0
0.5
1
5
2.75
1
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
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