2023-2024学年海南省海口市琼山中学高二（上）期中数学试卷（含详细解析）

这是一份2023-2024学年海南省海口市琼山中学高二（上）期中数学试卷（含详细解析），共43页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线x＝的倾斜角是（ ）
A．0°B．30°C．60°D．90°
2．（5分）两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（ ）
A．B．
C．D．
3．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆于A、B两点，若△ABF1的周长为4，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
4．（5分）已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量，表示向量是（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知点P（x0，y0）在直线3x﹣4y﹣10＝0上，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（5分）圆C：x2+y2＝4关于直线l：x+y﹣1＝0对称的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4B．（x+1）2+（y+1）2＝4
C．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4D．（x+2）2+（y+2）2＝4
7．（5分）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2或m＞6B．2＜m＜6
C．m＜﹣6或m＞﹣2D．﹣6＜m＜﹣2
8．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（ ）
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的一个法向量
D．∥
（多选）10．（5分）过点P（2，﹣1）且与原点的距离为2的直线l的方程为（ ）
A．x＝﹣2B．x＝2
C．3x﹣4y﹣10＝0D．3x+4y﹣10＝0
（多选）11．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝169，直线l：kx﹣y﹣4k+5＝0，k∈R．则下列选项正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．直线l与圆C的位置可能相交、相切和相离
C．直线l被圆C截得的最短弦长为12
D．直线l被圆C截得的最短弦长对应的k值为
（多选）12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P（，0），A，B是圆C：x2+（y﹣）2＝36上的两个动点，满足|PA|＝|PB|，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB的倾斜角是
B．直线AB的倾斜角是
C．|AB|最大时，△PAB的面积是
D．|AB|最大时，△PAB的面积是6
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知A（1，2，3），B（4，5，9），＝，则的坐标为 ．
14．（5分）双曲线方程为x2﹣2y2＝1，则它的焦点坐标为 ．
15．（5分）若椭圆C：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 ．
16．（5分）已知直线y＝ax与圆C：x2+y2﹣2ax﹣2y+2＝0相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则圆C的面积为
四、解答题（本题共6道题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程、或演算步骤。）
17．（10分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．
（1）求AB的中垂线方程；
（2）求与直线AB平行且与圆x2+y2＝16相切的直线方程．
18．（12分）已知椭圆的焦距为，短轴长为．
（1）求Ω的方程；
（2）若直线y＝x+2与Ω相交于A、B两点，求以线段AB为直径的圆的标准方程．
19．（12分）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2．
（1）求证：BF∥平面ADE；
（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD中点．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣BE﹣C的正弦值．
21．（12分）已知一个动点P在圆x2+4x+y2﹣32＝0上移动，它与定点Q（6，0）所连线段的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过定点（0，﹣3）的直线l与点M的轨迹方程交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足+＝，求直线l的方程．
22．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．
（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；
（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且＝，求直线AB 的斜率．
2023-2024学年海南省海口市琼山中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）直线x＝的倾斜角是（ ）
A．0°B．30°C．60°D．90°
【考点】直线的倾斜角．
【答案】D
【分析】直接通过直线方程，求出直线的倾斜角即可．
【解答】解：因为直线方程为x＝，直线与x轴垂直，所以直线的倾斜角为90°．
故选：D．
【点评】本题考查直线的方程求解直线的倾斜角的方法，考查基本知识的应用．
2．（5分）两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】两条平行直线间的距离．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，以及平行直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：∵直线2x﹣y+3＝0与直线ax﹣y+4＝0平行，∴，解得a＝2，
∴直线ax﹣y+4＝0方程化为2x﹣y+4＝0，
两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣y+4＝0间的距离，
故a，d分别为a＝2，d＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，以及平行直线的距离公式，属于基础题．
3．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆于A、B两点，若△ABF1的周长为4，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义结合已知条件可得，从而求得a的值，利用离心率可得c的值，根据a，b，c关系可得b2，从而得到椭圆的方程．
【解答】解：因为过F2的直线l交椭圆于A、B两点，
所以由椭圆的定义可知，△ABF1的周长为，
所以．
又因为，所以c＝，
所以b2＝a2﹣c2＝4，
则椭圆的方程，
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的定义和简单几何性质，属于基础题．
4．（5分）已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量，表示向量是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【答案】C
【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．
【解答】解：∵＝
＝
＝
＝
∴
故选：C．
【点评】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．
5．（5分）已知点P（x0，y0）在直线3x﹣4y﹣10＝0上，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】点到直线的距离公式；两点间的距离公式．
【答案】B
【分析】就是P（x0，y0）到原点的距离，只需求出原点到直线的距离即可．
【解答】解：就是P（x0，y0）到原点的距离，
P（x0，y0）到原点的距离的最小值为原点到直线3x﹣4y﹣10＝0的距离，
则的最小值为2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用几何意义求解最值，属于基础题．
6．（5分）圆C：x2+y2＝4关于直线l：x+y﹣1＝0对称的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4B．（x+1）2+（y+1）2＝4
C．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4D．（x+2）2+（y+2）2＝4
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【答案】A
【分析】求出圆C的圆心C（0，0）关于直线l的对称点C′，即可得出答案．
【解答】解：圆C的圆心为C（0，0），点C关于直线l的对称点为C′（1，1），
故关于l的对称圆的圆心为C′（1，1），半径为2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的标准方程以及点的对称性，属于基础题．
7．（5分）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2或m＞6B．2＜m＜6
C．m＜﹣6或m＞﹣2D．﹣6＜m＜﹣2
【考点】由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数．
【答案】B
【分析】由x2和y2的分母异号可建立关于m的不等式，解不等式可求
【解答】解：由题意（m﹣2）（m﹣6）＜0，解得2＜m＜6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，属于基础题．
8．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【答案】D
【分析】设，其中λ∈[0，1]，再由向量的加法、数乘及数量积运算求解．
【解答】解：由题意，设，其中λ∈[0，1]，
＝＝＝
＝1+＝1﹣λ∈[0，1]．
∴的取值范围是[0，1]．
故选：D．
【点评】本题考查数量积的性质及运算，考查化归与转化、数形结合思想，是基础题．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（ ）
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的一个法向量
D．∥
【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【答案】ABC
【分析】由•＝0得出⊥，判断A正确；
由•＝0得出⊥，判断B正确；
由⊥且⊥得出是平面ABCD的一个法向量，判断C正确；
由是平面ABCD的法向量得出⊥，判断D错误．
【解答】解：对于A，•＝2×（﹣1）+（﹣1）×2+（﹣4）×（﹣1）＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确；
对于B，•＝（﹣1）×4+2×2+（﹣1）×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确；
对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；
对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了空间向量的性质应用问题，是基础题．
（多选）10．（5分）过点P（2，﹣1）且与原点的距离为2的直线l的方程为（ ）
A．x＝﹣2B．x＝2
C．3x﹣4y﹣10＝0D．3x+4y﹣10＝0
【考点】点到直线的距离公式．
【答案】BC
【分析】对直线的斜率是否存在分情况讨论，过P（2，﹣1）垂直于x轴的直线满足条件即方程为x＝2，斜率存在，设l的方程为y+1＝k（x﹣2），再利用点到直线距离公式即可求出k的值，从而得到直线l的方程．
【解答】解：过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，﹣1），可见，过P（2，﹣1）垂直于x轴的直线满足条件．
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2．
若斜率存在，设l的方程为y+1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1＝0．
由已知，得＝2，解之得k＝．
此时l的方程为3x﹣4y﹣10＝0．
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x﹣4y﹣10＝0．
故选：BC．
【点评】本题主要考查直线方程的求法以及点到直线距离公式，是基础题．
（多选）11．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝169，直线l：kx﹣y﹣4k+5＝0，k∈R．则下列选项正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．直线l与圆C的位置可能相交、相切和相离
C．直线l被圆C截得的最短弦长为12
D．直线l被圆C截得的最短弦长对应的k值为
【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．
【答案】AD
【分析】由直线l：kx﹣y﹣4k+5＝0，k∈R．直线l过定点（4，5）进而得点在圆内可得圆与直线相交，当直线l与过点（4，5）和圆心的直线垂直进直线l被圆截得的弦长最短，再求解即可．
【解答】解：由直线l：kx﹣y﹣4k+5＝0，k∈R．得y﹣5＝k（x﹣4），k∈R，
所以直线l过定点（4，5）故A正确，
此时将点（4，5）代入圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝169，得（4﹣1）2+（5﹣1）2＝25＜169，
所以点（4，5）在圆内，故直线l与圆C的位置关系是相交，故B错误，
当直线l与过点（4，5）和圆心的直线垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短弦长为，
此时直线l的斜率为＝﹣，故C错误，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系以过圆中一点的最短弦长问题，属基础题．
（多选）12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P（，0），A，B是圆C：x2+（y﹣）2＝36上的两个动点，满足|PA|＝|PB|，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB的倾斜角是
B．直线AB的倾斜角是
C．|AB|最大时，△PAB的面积是
D．|AB|最大时，△PAB的面积是6
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】AD
【分析】因为|PA|＝|PB|，则点P在AB的垂直平分线上，所以PC⊥AB，根据两直线垂直的斜率关系可求得．|AB|最长即为圆的直径，|PC|用两点间的距离公式计算，代入即可求得．
【解答】解：∵|PA|＝|PB|，∴P在AB的垂直平分线上，
又AB是圆C的弦，圆心C也在AB的垂直平分线上，则PC⊥AB，
，∴AB的斜率为，直线AB的倾斜角为．
当AB过圆心C，即AB为直径时，|AB|＝12，
此时△PAB的高为PC，且|PC|＝1，
．
故选：AD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形的面积的求法，考查运算求解能力，属中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知A（1，2，3），B（4，5，9），＝，则的坐标为 （1，1，2） ．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【答案】（1，1，2）．
【分析】直接根据空间向量的坐标运算求解即可．
【解答】解：∵A（1，2，3），B（4，5，9），
∴＝（3，3，6），
∴＝＝（1，1，2），
故答案为：（1，1，2）．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题．
14．（5分）双曲线方程为x2﹣2y2＝1，则它的焦点坐标为 （±，0） ．
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】把双曲线方程变为标准方程，就可求出双曲线中的a，b的值，再根据双曲线中a，b，c的关系式即可求出半焦距c的值，判断焦点位置，就可得到焦点坐标．
【解答】解：∵双曲线方程可变形为x2﹣＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝1+＝，c＝
又∵双曲线焦点在x轴上，∴焦点坐标为（±，0）
故答案为（±，0）
【点评】本题主要考查双曲线的焦点坐标的求法，做题时注意判断焦点位置．
15．（5分）若椭圆C：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 ．
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】．
【分析】根据椭圆的几何性质，即可求解．
【解答】解：依题意可知c＝b，又 ，
∴椭圆的离心率 ．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
16．（5分）已知直线y＝ax与圆C：x2+y2﹣2ax﹣2y+2＝0相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则圆C的面积为 6π
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离为Rsin60°，再根据点到直线的距离公式列出方程，求出圆的半径即可．
【解答】解：圆C化为x2+y2﹣2ax﹣2y+2＝0，
即（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2﹣1，
且圆心C（a，1），半径R＝，
∵直线y＝ax和圆C相交，△ABC为等边三角形，
∴圆心C到直线ax﹣y＝0的距离为
Rsin60°＝×，
即d＝＝，
解得a2＝7，
∴圆C的面积为πR2＝π（7﹣1）＝6π．
故答案为：6π．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离是解题的关键．
四、解答题（本题共6道题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程、或演算步骤。）
17．（10分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．
（1）求AB的中垂线方程；
（2）求与直线AB平行且与圆x2+y2＝16相切的直线方程．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．
【答案】（1）3x﹣4y﹣23＝0；
（2）4x+4y+20＝0或4x+4y﹣20＝0．
【分析】（1）根据中点和斜率求得AB的中垂线方程．
（2）设出平行直线的方程，结合点到直线的距离求得正确答案．
【解答】解：（1），
所以AB的中垂线的斜率为，线段AB的中点为（5，﹣2），
所以AB的中垂线的方程为，即3x﹣4y﹣23＝0．
（2）设所求直线方程为，
圆x2+y2＝16的圆心为（0，0），半径r＝4，
圆心到直线4x+3y﹣3b＝0的距离，
所以所求直线方程为4x+4y+20＝0或4x+4y﹣20＝0．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（12分）已知椭圆的焦距为，短轴长为．
（1）求Ω的方程；
（2）若直线y＝x+2与Ω相交于A、B两点，求以线段AB为直径的圆的标准方程．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意求出a和b的值，即可求出椭圆Ω的方程；
（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与椭圆Ω的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB的中点和|AB|，即可得出所求圆的标准方程．
【解答】解：（1）设椭圆Ω的焦距为2c（c＞0），则，，
所以，，a2＝b2+c2＝8，
所以Ω的方程为；
（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，消去y，得5x2+16x+8＝0．
由韦达定理得，，
所以，线段AB的中点坐标为，
，
所以，所求圆的标准方程为．
【点评】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算以及圆的标准方程的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来计算，考查运算求解能力，属于中等题．
19．（12分）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2．
（1）求证：BF∥平面ADE；
（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．
【答案】（1）证明见解析，（2）．
【分析】（1）由题意以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CF＝h，求出平面ADE的法向量，，若两向量的数量积为零，则可得结论，
（2）求出平面BDE的法向量，利用空间向量求解即可．
【解答】证明：（1）因为AE⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
所以AE⊥AB，AE⊥AD，
因为AD⊥AB，
所以AB，AD，AE两两垂直，
所以以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设CF＝h（h＞0），因为CF⊥平面ABCD，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2，
所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2），F（1，2，h），
因为AB，AD，AE两两垂直，所以为平面ADE的一个法向量，
因为，
所以，所以，
因为BF⊄平面ADE，
所以BF∥平面ADE；
解：（2）由（1）可得，
设平面BDE的法向量为＝（x，y，z），则
，令z＝1，则，
所以，
设直线CE与平面BDE所成角为θ，则sinθ＝|cs＜，＞|，
所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行及空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD中点．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣BE﹣C的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）推导出BC⊥AB，BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，进而BC⊥PA．求出CD⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣C的正弦值．
【解答】证明：（1）∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，
又BC⊥PB，AB∩PB＝B，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA．
同理CD⊥PA，BC∩CD＝C，
∴PA⊥平面ABCD．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），B（2，0，0），
设＝（x，y，z）为平面ABE的一个法向量，
又＝（0，1，1），＝（2，0，0），
则，令y＝﹣1，得＝（0，﹣1，1）．
设平面BCE的法向量＝（x1，y1，z1），
＝（0，2，0），＝（﹣2，1，1），
则，取x1＝1，得＝（1，0，2），
∴cs＜＞＝＝＝，
∴二面角A﹣BE﹣C的正弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
21．（12分）已知一个动点P在圆x2+4x+y2﹣32＝0上移动，它与定点Q（6，0）所连线段的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过定点（0，﹣3）的直线l与点M的轨迹方程交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足+＝，求直线l的方程．
【考点】轨迹方程．
【答案】（1）（x﹣3）2+y2＝9；
（2）x﹣y﹣3＝0，17x﹣7y﹣21＝0．
【分析】（1）利用代入法求点M的轨迹方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，满足条件，当直线Ll的斜率存在时，设直线l：y＝kx﹣3，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，可求出满足条件的k值，进而得到直线l的方程，最后综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：（1）设M（x，y），动点P（x1，y1），
由中点的坐标公式解得x1＝2x﹣6，y1＝2y，
点P在圆x2+4x+y2﹣32＝0上，即点P在圆（x+2）2+y2＝36上，
所以（2x﹣4）2+（2y）2＝36，
所以点M的轨迹方程是（x﹣3）2+y2＝9．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，与圆M交于A（0，），B（0，﹣），
此时x1＝x2＝0，不合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx﹣3，则，
消去y，得（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4＝0，
由根与系数的关系得x1+x2＝，x1x2＝，
由已知+＝，可得+＝，x1x2⇒7k2﹣24k+17＝0⇒k＝1或k＝，
经检验Δ＞0．
综上，直线l为：x﹣y﹣3＝0，17x﹣7y﹣21＝0．
【点评】本题考查的知识点是轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，是直线与圆的综合应用，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．
（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；
（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且＝，求直线AB 的斜率．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用抛物线的离心率求得＝，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；
（2）方法一：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x＝my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由＝，则直线直线AB的斜率k；
方法二：由＝，y2＝2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．
【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e＝＝＝，则＝，①
由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，+＝1，②
解得：a2＝9，b2＝5，
∴椭圆E的标准方程为+＝1；
（2）方法一：由（1）可知：＝，则椭圆方程：5x2+9y2＝5a2，
设直线OC的方程为x＝my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），
，消去x整理得：5m2y2+9y2＝5a2，
∴y2＝，由y2＞0，则y2＝，
由＝，则AB∥OC，设直线AB的方程为x＝my﹣a，
则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy＝0，
由y＝0，或y1＝，
由＝，则（x1+a，y1）＝（x2，y2），
则y2＝2y1，
则＝2×，（m＞0），
解得：m＝，
则直线AB的斜率＝；
方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2＝5a2，则A（﹣a，0），
B（x1，y1），C（x2，y2），
由＝，则（x1+a，y1）＝（x2，y2），则y2＝2y1，
由B，C在椭圆上，
∴，
解得：x2＝，y2＝
则直线直线AB的斜率k＝＝；
直线AB的斜率＝
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．
考点卡片
1．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
2．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
3．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
4．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使＝x+y+z．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
3．空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别以，，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．
其中，点O叫做原点，向量，，都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
4．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得＝．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作＝（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
2．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
3．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
5．空间向量运算的坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量的坐标运算规律：
设空间向量，，则
（1）
（2）
（3）
（4）．
2．空间向量的坐标表示：
设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
＝（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1）
3．空间向量平行的条件：
（1）⇔，λ∈R
（2）若x2y2z2≠0，则⇔
4．空间向量垂直的条件：
⇔x1x2+y1y2+z1z2＝0
【解题方法点拨】
空间向量的坐标运算：
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
坐标运算解决向量的平行与垂直问题：
用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：
（1）若＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2），（为非零向量），则∥⇔（λ∈R）．若时，必有∥，必要时应对是否为进行讨论．
（2）⇔x1x2+y1y2+z1z2＝0
坐标运算解决夹角与距离问题：
在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
【命题方向】
（1）考查空间向量的坐标表示
例：已知：平行四边形ABCD，其中三个顶点坐标为A（﹣1，2，3），B（2，﹣2，3），C（1，5，1），则第四个顶点D的坐标为
分析：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．由平行四边形ABCD，可得，解出即可．
解答：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．
∵，＝（1﹣x，5﹣y，1﹣z）．
由平行四边形ABCD，可得，∴，解得x＝﹣2，y＝9，z＝1．
∴D（﹣2，9，1）．
故答案为（﹣2，9，1）．
点评：熟练掌握平行四边形的向量表示是解题的关键．
（2）考查空间向量的坐标运算
例：已知＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），＝（0，5，1），则（+）•＝ ．
分析：根据向量坐标形式的运算律进行计算即可
解答：由于＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），则+＝（7，0，9）
又由＝（0，5，1），则（+）•＝（7，0，9）•（0，5，1）＝9
故答案为 9
点评：本题考查向量坐标形式的运算，掌握其运算律是解题的关键．
（3）考查空间向量平行或垂直的条件
例：已知，，若∥，则λ与μ的值可以是（ ）
A． B． C．﹣3，2 D．2，2．
分析：直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出λ与μ的值即可．
解答：因为，，∥，
所以2μ﹣1＝0，解得μ＝，，解得λ＝2或λ＝﹣3．
所以λ与μ的值可以是：或﹣3，；
故选A．
点评：本题考查空间向量的坐标运算，向量的平行的应用，考查计算能力．
6．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直
【知识点的认识】
一、空间向量及其有关概念
二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
（1）•＝||||cs＜，＞；
（2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）；
（3）||2＝2，||＝．
2．向量的坐标运算
7．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|＝．
8．二面角的平面角及求法
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，
此时csθ＝cs＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，
csθ＝﹣cs＜，＞＝﹣．
9．直线的倾斜角
【知识点的认识】
1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）
3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．
4．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：①当a≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；
②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0 且tanα随α的增大而增大．
【解题方法点拨】
直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．
【命题方向】
（1）直接根据直线斜率求倾斜角
例：直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
解答：因为直线x+y﹣1＝0的斜率为：﹣，
直线的倾斜角为：α．
所以tanα＝﹣，
α＝120°
故选C．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
（2）通过条件转换求直线倾斜角
例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30° B.45° C．60° D．120°
分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．
解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，
∴直线AB的斜率k＝＝1，
∴直线AB的倾斜角α＝45°．
故选B．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
10．恒过定点的直线
【知识点的认识】
﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为：
a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0
其中a和b是直线的方向向量分量．
【解题方法点拨】
﹣求方程：
1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程．
2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式．
3．标准方程：得到直线方程如：
a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0
【命题方向】
﹣定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换．
11．两点间的距离公式
【知识点的认识】
﹣距离公式：两点（x1，y1）和（x2，y2）之间的距离由公式：
这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．代入公式：将两点的坐标代入距离公式．
2．简化计算：计算平方差的和，开方得到距离．
【命题方向】
﹣距离计算：常考查计算两点间的直线距离，尤其在几何题目中经常出现．
12．点到直线的距离公式
【知识点的认识】
﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程．
2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值．
3．计算模：计算法向量的模．
4．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离．
【命题方向】
﹣距离计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用．
13．两条平行直线间的距离
【知识点的认识】
﹣平行直线方程：两条平行直线的方程为：
直线Ax+By+C1＝0与
直线Ax+By+C2＝0
它们之间的距离为：
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．选择一条直线：选择其中一条直线计算点到另一条直线的距离．
2．应用公式：用点到直线距离公式，其中点选择在第一条直线上的点．
【命题方向】
﹣平行直线距离：常考查计算两条平行直线间的垂直距离，涉及相似方程和坐标变换．
14．关于点、直线对称的圆的方程
【知识点的认识】
（1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可．
（2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标．
15．圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．
【解题方法点拨】
例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为 ．
解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r＝．
①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，
∵圆心到直线x＝2的距离等于1，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；
②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．
∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，
∴圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解之得k＝﹣1，
因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．
综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．
这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．
例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为 ．
解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，
当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；
当过P的切线斜率存在时，设为k，
由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，
∴圆心到切线的距离d＝r，即＝2，
解得：k＝，
此时切线的方程为y﹣5＝（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，
综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．
这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．
【命题方向】
本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．
16．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
17．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
18．椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
19．直线与椭圆的综合
【知识点的认识】
直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与椭圆相交⇔Δ＞0；
直线与椭圆相切⇔Δ＝0；
直线与椭圆相离⇔Δ＜0；
【解题方法点拨】
（1）直线与椭圆位置关系的判断方法
①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；
②借助直线和椭圆的几何性质来判断．
根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．
（2）弦长的求法
设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AB|＝＝（k为直线斜率）
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
（3）中点弦、弦中点常见问题
①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；
②平行弦中点的轨迹；
③过定点的弦的中点的轨迹．
解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．
（4）椭圆切线问题
①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；
②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；
③过椭圆上一点只能作一条切线．
（5）最值与范围问题的解决思路
①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；
②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．
在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．
【命题方向】
1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；
2．由已知条件求直线的方程；
3．中点弦或弦的中点问题；
4．弦长问题；
5．与向量结合求参变量的取值．
20．由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数
【知识点的认识】
已知双曲线的一般方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0，可以转换为标准方程形式，通过配方和代数运算求解a和b．
【解题方法点拨】
1．转换方程：通过配方或代数方法将方程转化为标准方程形式．
2．解出参数：确定a和b的值．
【命题方向】
﹣给定一般方程，求解标准方程或参数．
﹣利用代数方法转化方程．
21．双曲线的几何特征
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
22．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【解题方法点拨】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
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语言描述
共线向量（平行向量）
表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．
共面向量
平行于同一平面的向量．
共线向量定理
对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使＝λ．
共面向量定理
若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使＝x+y．
空间向量基本定理
（1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x+y+z．
（2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1．

＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）
向量和
+＝（a1+b1，a2+b2，a3+b3）
向量差
﹣＝（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）
数量积
•＝a1b1+a2b2+a3b3
共线
∥⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）
垂直
⊥⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0
夹角
公式
cs＜，＞＝
标准方程
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y轴上
图形


顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e＝（0＜e＜1）
e＝（0＜e＜1）
准线
x＝±
y＝±
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0