江苏省镇江市2025届高三上学期期初质量监测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省镇江市2025届高三上学期期初质量监测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第65百分位数为( )
A.6B.7C.9D.11
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．已知,,,则的最小值为( ).
A.4B.C.6D.
4．由数字2,3,4组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为( )
A.B.C.D.
5．若正三棱锥的所有棱长均为3,则该正三棱锥的体积为( )
A.3B.C.D.
6．随机变量X服从若,则下列选项一定正确的是( )
A.B.
C.D.
7．已知正方体的棱长为2，点N为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
8．已知定义域为R的函数,满足,且,则以下选项错误的是( )
A.B.图象关于对称
C.图象关于对称D.为偶函数
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知事件A与B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
11．函数的定义域为I,区间,对于任意,,恒满足,则称函数在区间D上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．某人参加一次考试,共有4道试题,至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5,并且答每道题之间相互独立,则他能合格的概率为________.
13．已知二次函数从1到的平均变化率为,请写出满足条件的一个二次函数的表达式________.
14．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动,并且始终保持与两平面都接触（如图）.勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体.若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2,在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球,则该球的球半径最大值是________.
四、解答题
15．某自助餐厅为了鼓励消费,设置了一个抽奖箱,箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张,每张奖券的形状都相同,每位顾客可以从中任取2张奖券,最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算.
（1）求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率;
（2）若自助餐的原价为100元/位,记一位顾客最终结算时的价格为X,求X的分布列及数学期望.
16．如图,在四棱锥中,,,,,平面,,E,F分别是棱PB,PC的中点.
（1）证明:平面ACE;
（2）求二面角的正弦值.
17．我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”:,当且仅当时,等号成立.
（1）证明“三元不等式”:.
（2）已知函数.
①解不等式;
②对任意,恒成立,求实数m的取值范围.
18．在如图所示的平行六面体中,,,,,.
（1）求的长度;
（2）求二面角的大小;
（3）求平行六面体的体积.
19．已知函数.
（1）函数是否具有奇偶性?为什么?
（2）当时,求的单调区间;
（3）若有两个不同极值点,,证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：已知一组数据：4，6，7，9，11，13，共6个数，
则，
所以这组数据的第65百分位数为从小到大排列的第四个数9.
故选：C.
2．答案：B
解析：由题意可得,,则.
故选:B.
3．答案：B
解析：由于,,所以,当且仅当时取等号,故的最小值为.
故选:B
4．答案：A
解析：将2,3,4组成没有重复数字的三位数,共有种,
而其中偶数有两种情况:
①以2为个位数的三位数,是342,342,共有2种
②以4为个位数的三位数,是234,324,共有2种
所以,这个三位数是偶数的情况共有种,
所以,这个三位数是偶数的概率为事件A,则.
故选:A.
5．答案：C
解析：如图,正三棱锥,,
取BC中点D,连接AD,取等边三角形ABC的中心O,连接PO,
由正四面体的性质可知,顶点与底面中心连线垂直底面,
平面ABC
即三棱锥的高为PO,
,
,,
,
.
故选:C
6．答案：C
解析：因为
由正态分布的对称性,可得,正态分布方差无法判断,
,,
所以ABD错误.
故选::C
7．答案：D
解析：如图：
四面体的面是直角三角形，
O，为面与的中心，所以面，
因为斜边的中点O是三角形外心，所以球心在的直线上，
面也为直角三角形，O，E分别为与的中点，所以，
面，所以面，
因为斜边的中点E是三角形外心，所以球心在的直线上，
故球心为直线与直线的交点O，
正方体的棱长为2，
所以球的半径为，
所以四面体的外接球的表面积为：.
故选：D
8．答案：B
解析：对于A,令,,则,所以,故A正确;
对于B,令,则,即,
解得:或,因为,所以,
令,,所以,
所以图象不关于对称,故B错误;
对于C,令,则有
即,故图象关于对称,故C正确.
对于D,令,则有
即,即,
即,因为函数的定义域为R,
所以为偶函数,故D正确.
故选:B.
9．答案：CD
解析：对于A选项,,A错误;
对于B选项,,B错误;
对于C选项,,C正确;
对于D选项,,D正确.
故选:CD.
10．答案：BD
解析：对于A，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，
所以，不一定成立，故A错误；
对于B，由于，则，
则，故B正确；
对于C，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，
所以，也不一定成立，故C错误；
对于D，，故，故D正确；
故选：BD.
11．答案：AD
解析：对A:,,
,
由在上单调递增,故其等价于,
化简可得,故满足题意,故A正确;
对B:,,,
取,,可得,,
又,故此时不满足题意,故B错误;
对C:,,,
化简得恒成立,不满足题意,故C错误;
对D:,,,
左右平方后化简可得,故满足题意,故D正确.
故选:AD.
12．答案：
解析：某人参加考试,4道题目中,答对的题目数X满足二项分布,
所以
故答案为:
13．答案：（答案不唯一）
解析：设,
则,
由题意知,解之得,
显然c的取值不改变结果,不妨取,则.
故答案为:
14．答案：
解析：由对称性知,勒洛四面体ABCD内切球球心是正四面体ABCD的内切球、外接球球心O,
正外接圆半径,正四面体ABCD的高,
设正四面体ABCD的外接球半径为R,在中,,解得,
因此,勒洛四面体ABCD内切球半径为.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）答案见详解
解析：（1）从6张奖券中,任取2张奖券共有种选法,抽到的两张奖券相同的有3种选法,
所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为.
（2）X的所有可能取值为80,85,90,
,
,
,
的分布列为:
.
16．答案：（1）证明见详解
（2）
解析：（1）如图,连接EF,因为E,F分别为PB,PC的中点,
所以,,
又,,
所以,,
所以四边形ADFE是平行四边形,则,
因为平面ACE,平面ACE,
所以平面ACE.
（2）因为平面PAB,平面PAB,
所以,,
又,AD,PA是平面PAD内两条相交直线,
平面PAD,又平面PAD,
,
所以AB,AP,AD两两互相垂直,
以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,,
,,,,
设平面ACE的一个法向量为,
则,即,令,得,,
,
设平面BCE的一个法向量为,
则,即,令,得,,
,
设二面角的平面角为,
,则.
所以二面角的正弦值为.
17．答案：（1）见解析
（2）①;
②.
解析：（1）因为a,b,,
则
（当且仅当时取等）,
所以（当且仅当时取等）,
同理（当且仅当时取等）,
（当且仅当时取等）,
三式相加可得:
,
又因为,
所以,
所以（当且仅当时取等）.
（2）①由可得:,
所以,即,
即,则,
所以,
解得:.
②因为当时,,
当且仅当,即时取等,
所以当时,,
对任意,恒成立,
则,
所以,解得:.
所以实数m的取值范围为:.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）根据图形可知:,
则
;
（2）作,,则等于二面角的一个平面角,
因为,,,,
则,,,
易知
,
所以,所以,
即二面角的大小为;
（3）由（2）知平面,而四边形的面积,
则平行六面体的体积.
19．答案：（1）函数不具有奇偶性
（2）的单调递增区间为,单调递减区间为
（3）证明见解析
解析：（1）,而,
显然,且,
所以既不是奇函数,也不是偶函数,故函数不具有奇偶性.
（2）时,,
,
故当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减,
故的单调递增区间为,单调递减区间为
（3）,
因为有两个不同极值点,,故即有两个不等的实根,
令,所以有两个不等的正数根,,
所以,得,且,,
所以
,
设,,
所以在上单调递增,
所以,
故.
X
80
85
90
P